Общая теория статистики Назаров

8.3. Средние гармоническая, геометрическая и квадратическая 201

известны индивидуальные значения признака и веса w за ряд вре менных интервалов.

Средняя гармоническая невзвешенная. Эта форма средней, ис пользуемая значительно реже, имеет следующий вид:

		=	n
	x					.
			1				(8.13)
			∑
				x
				i

Для иллюстрации области ее применения воспользуемся упро щенным условным примером. Предположим, в фирме, специали зирующейся на торговле по почте на основе предварительных за казов, упаковкой и отправкой товаров занимаются два работника. Первый из них на обработку одного заказа затрачивает 10 мин., вто рой — 20 мин. Каковы средние затраты времени на один заказ, если общая продолжительность рабочего времени у работников равна?

На первый взгляд, ответ на этот вопрос заключается в осредне нии индивидуальных значений затрат времени на один заказ, т.е. (10 + 20) : 2 =15 мин. Проверим обоснованность такого подхода на примере одного часа работы. За этот час первый работник обраба тывает шесть заказов (60 : 10), второй — три заказа (60 : 20), что в сумме составляет девять заказов. Если же заменить индивидуаль ные значения их предполагаемым средним значением, то общее число обработанных обоими работниками заказов в данном случае уменьшится:

60 + 60 = 8 заказов.

15 15 Подойдем к решению через исходное соотношение средней. Для

определения средних затрат времени необходимо общие затраты времени за любой интервал (например, за час) разделить на общее число обработанных за этот интервал двумя работниками заказов:

		=	60 + 60					=	1 +		1		=	2	= 13,3 мин.
	x
				60	+	60			1	+		1		0,1 + 0,05
			10			20			10		20

Если теперь мы заменим индивидуальные значения их средней величиной, то общее количество обработанных за час заказов не изменится:

60 + 60 = 9 заказов.

13,3 13,3

202 Глава 8. Статистические показатели в форме средних величин

Подведем итог: средняя гармоническая невзвешенная может использоваться вместо взвешенной в тех случаях, когда значения wi для единиц совокупности равны (в рассмотренном примере ра бочий день у сотрудников одинаковый).

Следует отметить, что средняя гармоническая взвешенная, как и средняя арифметическая взвешенная, в расчетах используется значительно чаще аналогичных невзвешенных формул. Это объяс няется тем, что на практике достаточно редко имеют место ситуа ции, когда веса осредняемых вариантов равны (одинаковое отра ботанное время, одинаковая численность работников в группах, одинаковый товарооборот торговых предприятий и т.п.).

Средняя геометрическая. Еще одной формулой, по которой мо жет осуществляться расчет среднего показателя, является средняя геометрическая:

x

= k x x

2

x

3

... x

k

= k

Пx

i

— невзвешенная;

(8.14)

1

= ∑ m x1m1 x2m2 x3m3 ... xkmk

= ∑ m Пximi — взвешенная.

(8.15)

x

Рассмотрим применение средней геометрической на следующем условном примере. Предположим, мы положили сумму в 100 тыс. руб. на депозит в банк, планируя забрать деньги через два года. В первый год процентная ставка составляла 22% годовых. Однако на следующий год банк снизил процентную ставку до 8%. Опреде лим среднегодовую процентную ставку, под которую были разме щены наши деньги.

Определяющим показателем здесь будет выступать общая сум ма, включая проценты по вкладу, которую мы получим через два года. Эта сумма составит:

100 000 1,22 1,08 = 131 760 руб.

Попробуем рассчитать среднюю процентную ставку по средней арифметической:

x = 8 + 22 = 15%. 2

Используя рассчитанную таким образом среднегодовую процент ную ставку, определим, какую сумму мы получим через два года, вложив первоначально 100 000 руб.:

100 000 1,15 1,15 = 132 250 руб.

8.4. Структурные средние

203

Так как данная сумма отличается от фактически полученной сум мы (131 760 руб.), можно заключить, что полученное на основе сред ней арифметической значение средней процентной ставки не со ответствует фактическим данным. Произведем расчет на основе средней геометрической:

x = 1,22 1,08 = 1,1479;

100 000 1,1479 1,1479 = 131 767 руб.

Таким образом, соответствующая фактическим данным средне годовая процентная ставка составляла 14,79%. Полученное в дан ном случае расхождение в 7 руб. (131 767 – 131 760) объясняется погрешностями при округлении до сотых.

Отметим, что наиболее широкое применение этот вид средней получил в анализе динамики при определении среднего темпа рос та, что будет рассмотрено в соответствующей главе.

Средняя квадратическая. В основе вычислений ряда сводных рас четных показателей лежит средняя квадратическая:

			∑ x	2
	x =			i		— невзвешенная;			(8.16)
			n
			∑ x2			f
	x =						i
				i				— взвешенная.	(8.17)
			∑ fi

Наиболее широко этот вид средней используется при расчете показателей вариации, коэффициентов структурных сдвигов, ин дексов.

В статистическом анализе также применяются степенные сред ние 3 го порядка и более высоких порядков.

8.4. Структурные средние

Структурными средними называют два статистических показа теля – моду и медиану, на основе которых решаются аналитичес кие задачи, близкие по содержанию к тем задачам, которые реша ются на основе расчета средних показателей, рассмотренных в предыдущих параграфах. Структурные средние, так же как и дру гие виды средних, позволяют обобщить значения признака по ста тистической совокупности и оценить уровень изучаемого явления.

Мода представляет собой значение изучаемого признака, повто ряющееся с наибольшей частотой. Это наиболее типичное, распро

204 Глава 8. Статистические показатели в форме средних величин

страненное значение признака в изучаемой статистической сово купности.

Медианой называется значение признака, приходящееся на се редину ранжированной (упорядоченной) совокупности. Главное свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных от клонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины:

Рассмотрим определение моды и медианы по несгруппированным данным.

Предположим, что девять торговых фирм города реализуют то вар А по следующим оптовым ценам (тыс. руб.):

7,6; 7,5; 7,4; 7,6; 7,3; 7,5; 7,6; 7,5; 7,6.

Так как чаще всего встречается цена 7,6 тыс. руб., то она и будет модальной.

Для определения медианы необходимо провести ранжирование:

7,3; 7,4; 7,5; 7,5; 7,5; 7,6; 7,6; 7,6; 7,6.

Центральной в этом ряду является цена 7,5 тыс. руб., следова тельно, данная цена и будет медианой. Если ранжированный ряд включает четное число единиц, то медиана определяется как сред няя из двух центральных значений.

Если мода отражает типичный, наиболее распространенный ва риант значения признака, то медиана практически выполняет фун кции средней для неоднородной, не подчиняющейся нормально му закону распределения совокупности. Она также используется в тех случаях, когда средняя не позволяет объективно оценить ис следуемую совокупность вследствие сильного влияния максималь ных и минимальных значений. Проиллюстрируем познавательное значение медианы следующим примером.

Допустим, нам необходимо дать характеристику среднего дохо да группы людей, насчитывающей 100 человек, из которых 99 име ют доходы в интервале от 100 до 1000 долл. в месяц, а месячные доходы последнего составляют 10 000 долл.:

№ п/п	1	2	3	4	...	50	51	...	99	100
Доход (долл.)	100	104	104	107	...	184	186	...	200	30 000

Если мы воспользуемся средней арифметической, то получим средний доход, равный примерно 400—500 долл., который не толь

8.4. Структурные средние

205

ко в несколько раз меньше дохода 100 го человека, но и имеет мало общего с доходами остальной части группы. Медиана же, равная в данном случае 185 долл., позволит дать объективную характерис тику уровня доходов 99% данной совокупности людей.

Рассмотрим определение моды и медианы по сгруппированным дан0 ным (рядам распределения).

Предположим, распределение торговых предприятий города по уровню розничных цен на товар А имеет следующий вид:

Цена, руб.	Число торговых предприятий
94	11
95	29
96	42
97	49
98	27
Всего	158

Определение моды по дискретному вариационному ряду не со ставляет большого труда — наибольшую частоту (49 предприятий) имеет цена 97 руб., следовательно, она и является модальной.

Для определения медианного значения признака находят номер медианной единицы NMe ряда по следующей формуле:

NMe	=	n + 1	,	(8.18)
	2

где n — объем совокупности.

В нашем случае NMe = 158 + 1 = 79,5. 2

Полученное дробное значение, всегда имеющее место при чет ном числе единиц в совокупности, указывает, что точная середина находится между 79 м и 80 м предприятиями. Именно на эти тор говые предприятия и приходится медианная цена товара. Необхо димо определить, в какой группе находятся предприятия с этими порядковыми номерами. Это можно сделать, рассчитав накоплен ные частоты. Очевидно, что магазинов с этими номерами нет в пер вой группе, где всего лишь 11 торговых предприятий, нет их и во второй группе (11 + 29 = 40). 79 е и 80 е предприятия находятся в третьей группе (11 + 29 + 42 = 82) и, следовательно, медианой яв ляется цена 96 руб.

206 Глава 8. Статистические показатели в форме средних величин

Таким образом, для определения медианы по дискретному ва риационному ряду необходимо рассчитывать накопленные часто ты до тех пор, пока они не превысят половину суммы всех частот. Медианным будет вариант признака, которому соответствует на копленная частота, первой превысившая половину суммы всех ча стот.

Вотличие от дискретных вариационных рядов определение моды

имедианы по интервальным рядам требует проведения определен ных расчетов на основе следующих формул:

Мo = xMo	+ i		( fMo	− fMo−1 )		(8.19)
					,
		( fMo
			− fMo−1 ) + ( fMo − fMo +1 )

где хMо — нижняя граница модального интервала (модальным называет ся интервал, имеющий наибольшую частоту);

i — величина модального интервала; fМо — частота модального интервала;

fМо–1 — частота интервала, предшествующего модальному; fМо+1 — частота интервала, следующего за модальным;

1		∑ fi − sMe−1
Me = xMe + i	2
			,	(8.20)
		fMe

где хMe — нижняя граница медианного интервала (медианным называет ся первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);

i — величина медианного интервала;

SMe–1 — накопленная частота интервала, предшествующего медиан ному;

fMe — частота медианного интервала.

Проиллюстрируем применение этих формул, используя данные табл. 8.6. Информация, представленная в этой таблице, характери зует расслоение, дифференциацию населения по величине денеж ных доходов; в маркетинговых исследованиях она используется для получения четкого представления о покупательной способности населения страны или региона, для оценки эластичности спроса и в итоге для выбора того или иного метода ценообразования и обо снования окончательной цены на товар.

8.4. Структурные средние

207

		Таблица 8.6
Распределение населения региона по величине
	среднедушевых денежных доходов
Среднедушевой денежный доход,		Удельный вес населения, %
руб./месяц
	До 1 000	1,6
1	000—2 000	3,3
2	000—3 000	5,1
3	000—4 000	9,8
4	000—5 000	10,4
5	000—6 000	13,2
6 000—7 000		15,1
7 000—8 000		17,8
8 000—9 000		13,2
9 000—10 000		7,3
10	000 и более	3,2
	Всего	100,0

Интервал с границами 7000—8000 в данном распределении бу дет модальным, так как он имеет наибольшую частоту. Используя формулу (8.19), определим моду:

Мo = 7000 + 1000		17,8 − 15,1		= 7369,9 руб.
		− 15,1) + (17,8 − 13,2)
(17,8

Для определения медианного интервала необходимо определять накопленную частоту каждого последующего интервала до тех пор, пока она не превысит 1/2 суммы накопленных частот (в нашем слу чае — 50%).

Интервал	Накопленная частота, %
До 1 000	1,6
1 000—2 000	4,9
2 000—3 000	10,0
3 000—4 000	19,8
4 000—5 000	30,2
5 000—6 000	43,4
6 000—7 000	58,5

Мы выяснили, что медианным является интервал с границами 6000—7000 руб. Определим медиану:

208 Глава 8. Статистические показатели в форме средних величин

1100,0 − 43,4

Me = 6000 + 1000	2		= 6437,1 руб.
		15,1

Соотношение моды, медианы и средней арифметической ука зывает на характер распределения признака в совокупности, по зволяет оценить его асимметрию. Если Мо < Me < X — имеет место правосторонняя асимметрия, при X < Me < Мо следует сделать вы вод о левосторонней асимметрии ряда.

На основе полученных в последнем примере значений структур ных средних можно заключить, что наиболее распространенным, типичным является среднедушевой доход, составляющий пример но 7370 руб. в месяц. В то же время более половины населения рас полагает доходом свыше 6437 руб. при среднем уровне 6190 руб. (средняя арифметическая взвешенная). Из соотношения этих по казателей следует вывод о левосторонней асимметрии распределе ния населения данного условного региона по уровню среднедуше вых денежных доходов.

Контрольные вопросы и задания

1.Возможны ли случаи, когда взвешенные и невзвешенные сред ние приводят к одному и тому же результату?

2.Могут ли веса средней быть выражены относительными по казателями?

3.Может ли одно и то же исходное соотношение быть реализо вано на основе различных форм средней?

4.Как изменится средняя величина, если все варианты призна ка уменьшить в 1,5 раза, а все веса в 1,5 раза увеличить?

5.Изменится ли средняя величина, если все веса уменьшить на

20%?

6.Изменится ли средняя величина, если все веса уменьшить на некоторую постоянную величину?

7.Можно ли вместо средней арифметической невзвешенной использовать среднюю гармоническую невзвешенную?

8.В каких случаях для осреднения показателей используется средняя геометрическая?

9.Назовите основное свойство медианы.

10.Может ли ряд распределения характеризоваться двумя мо

дами?

Тесты

209

11.Могут ли мода, медиана и средняя арифметическая совпа

дать?

12.Сделайте выводы о распределении изучаемого признака на основе сравнения моды, медианы и средней.

Тесты

1.В каком случае невзвешенная формула может использоваться при расчете средней величины?

А. Если веса всех вариантов признака неизвестны.

Б. Если веса всех вариантов признака равны между собой.

В. Если веса всех вариантов признака в сумме составляют 100%.

2.Как могут быть выражены веса при расчете средней величины? А. Только абсолютными показателями.

Б. Только относительными показателями.

В. Как абсолютными, так и относительными показателями.

3.Как изменится средняя величина, если все варианты призна ка уменьшились в 1,5 раза, а все веса увеличились в 1,5 раза?

А. Не изменится. Б. Уменьшится. В. Возрастет.

4.Как изменится средняя величина, если все веса уменьшатся на 70%?

А. Уменьшится на 70%. Б. Уменьшится на 30%. В. Не изменится.

5.Какая средняя используется, если известен числитель исход ного соотношения средней, но неизвестен знаменатель?

А. Средняя арифметическая. Б. Средняя гармоническая. В. Средняя квадратическая.

6.При каком осреднении индивидуальных показателей исполь зуется средняя геометрическая?

А. В динамике.

210Глава 8. Статистические показатели в форме средних величин

Б.В статике.

В. В пространственно территориальном разрезе.

7.Могут ли мода, медиана и средняя арифметическая совпадать? А. Могут.

Б. Могут совпадать только средняя и медиана. В. Не могут.

8.Какой показатель может вычисляться для переменных, выра женных количественными признаками?

А. Только средняя.

Б. Только средняя и медиана. В. Средняя, медиана и мода.

9.Какой показатель может вычисляться для переменных, выра женных порядковыми признаками?

А. Только мода и медиана. Б. Только средняя и медиана. В. Только средняя и мода.

10.Какой показатель может вычисляться для переменных, вы раженных атрибутивными признаками?

А. Только средняя. Б. Только медиана. В. Только мода.