Общая теория статистики Назаров

8.1. Теоретические основы средних показателей

191

более высокому или заниженному курсу. Сущность средней в том и заключается, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действи ем случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные дей ствием основных факторов. Это позволяет средней отражать типич ный уровень признака и абстрагироваться от индивидуальных особенностей, присущих отдельным единицам.

Типичность средней непосредственным образом связана с од нородностью статистической совокупности. Средняя величина только тогда будет отражать типичный уровень признака, когда она рассчитана по качественно однородной совокупности. Так, если мы рассчитаем средний курс по акциям всех компаний, реализуемых в данный день на данной бирже, то получим фиктивную среднюю. Это будет объясняться тем, что используемая для расчета совокуп ность является крайне неоднородной. В этом и подобных случаях метод средних используется в сочетании с методом группировок: если совокупность неоднородна — общие средние должны быть заменены или дополнены групповыми средними, т.е. средними, рассчитанными по качественно однородным группам.

Категорию средней можно раскрыть через понятие ее определя ющего свойства. Согласно этому понятию средняя, являясь обоб щающей характеристикой совокупности, должна ориентироваться на определенную величину, связанную со всеми единицами этой совокупности. Эту величину можно представить в виде функции

f(x1, x2 ... xn). (8.1) Например, при расчете средней цены товара такой величиной будет общая выручка от его реализации; при расчете средней при были компании – общая прибыль всех компаний данной группы и т.д. Так как данная величина в большинстве случаев отражает реаль ную экономическую категорию, понятие определяющего свойства

средней иногда заменяют понятием определяющего показателя. Если в приведенной выше функции все величины х1, х2 ... хn за

менить их средней величиной x, то значение этой функции должно остаться прежним:

...f (x1 , x2 xn ) = f (

x

,

x

...

x

).

(8.2)

Выражение (8.2) показывает, что если бы все товары одного вида продавались по средней цене, то общая выручка от их реализации

192 Глава 8. Статистические показатели в форме средних величин

не изменилась бы, а если бы все компании имели среднюю при быль — их общая прибыль осталась бы без изменений и т.п. Исходя из данного равенства и определяется средняя.

На практике определить среднюю во многих случаях можно че рез исходное соотношение средней (ИСС) или ее логическую фор мулу

Так, для расчета средней заработной платы работников предпри ятия необходимо общий фонд заработной платы разделить на чис ло работников:

Числитель исходного соотношения средней представляет собой определяющий показатель. Для средней заработной платы таким определяющим показателем является фонд заработной платы. Не зависимо от того, какой первичной информацией мы располага ем — известен ли нам общий фонд заработной платы или заработная плата и численность работников, занятых на отдельных должно стях, или какие либо другие исходные данные, — в любом случае среднюю заработную плату можно получить только через данное исходное соотношение средней.

Для каждого показателя, используемого в экономическом ана лизе, можно составить только одно истинное исходное соотноше ние для расчета средней величины. Если, например, требуется рас считать средний размер вклада в банке, то исходное соотношение будет следующим:

Если же необходимо определить среднюю процентную ставку по кредитам, выданным на один и тот же срок, то потребуется сле дующее исходное соотношение:

8.2. Средняя арифметическая

193

От того, в каком виде представлены исходные данные для рас чета средней, зависит, каким именно образом будет реализовано ее исходное соотношение. В каждом конкретном случае для реализа ции исходного соотношения потребуется одна из следующих форм средней величины:

•средняя арифметическая;

•средняя гармоническая;

•средняя геометрическая;

•средняя квадратическая, кубическая и т.д.

Перечисленные средние объединяются в общей формуле сред ней степенной (при различной величине k):

x= k ∑ xik fi ,

∑fi

где хi — i й вариант осредняемого признака (i =1, n); fi — вес i го варианта.

Помимо степенных средних в экономической практике также используются средние структурные, среди которых наиболее рас пространены мода и медиана. При осреднении уровней динами ческих рядов применяются различные виды средней хронологичес кой.

8.2. Средняя арифметическая

Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифметическая, которая, как и все средние, в зависимости от характера имеющихся данных может быть невзвешенной (про стой) или взвешенной. Эта форма средней используется в тех слу чаях, когда расчет осуществляется по несгруппированным данным.

Предположим, пять филиалов компании имеют следующий объем реализации продукции за месяц (табл. 8.1).

Таблица 8.1

Объем реализации продукции по филиалам компании, тыс. шт.

Филиал	1	2	3	4	5
Объем реализации	12,5	43,2	23,8	18,0	34,4

194 Глава 8. Статистические показатели в форме средних величин

Для того чтобы определить средний объем реализации в расчете на один филиал, необходимо воспользоваться следующим исход ным соотношением:

Используя приведенные в п. 8.1 условные обозначения, запи шем формулу данной средней:

		=	x1 + x2 + ... + xn	=	∑ xi	.	(8.3)
	x
			n
					n

С учетом имеющихся данных получим:

= 12,5 + 43,2 + 23,8 + 18,0 + 34,4 =

x 25,4 тыс. шт. 5

В связи с тем что в данном случае каждый вариант признака встречался только один раз, т.е. у всех филиалов был разный объем реализации, при расчете мы использовали формулу средней ариф метической простой (невзвешенной).

Средняя арифметическая взвешенная. При расчете средних вели чин отдельные значения осредняемого признака могут повторяться, встречаться по нескольку раз. В подобных случаях расчет средней производится по сгруппированным данным или вариационным ря дам, которые могут быть дискретными или интервальными.

Рассмотрим следующий условный пример (табл. 8.2).

		Таблица 8.2
Реализация продукции «Z» на региональном рынке
Торговая фирма	Объем реализации, шт.	Цена, тыс. руб./шт.
А	363	26
Б	118	29
В	490	25

Определим по данному дискретному вариационному ряду среднюю цену продажи 1 ед. данной продукции, что можно сделать, только используя следующее исходное соотношение:

Чтобы получить общую выручку от реализации данной продук ции, необходимо по каждой фирме умножить цену на объем реа

8.2. Средняя арифметическая

195

лизации в натуральном выражении и полученные произведения сложить. В итоге мы будем иметь следующий результат:

		=	26 363 + 29 118 + 25 490	=	25110	= 25,86 тыс. руб.
	x
	363 + 118 + 490			971

В данном примере каждый вариант осредняемого признака «Цена» имел собственный вес или число повторов — объемов про дажи продукции по данной цене. Поэтому расчет средней цены в данном случае произведен по формуле средней арифметической взвешенной:

	=	∑ xi fi .
x			(8.4)
		∑ fi

Необходимо отметить, что в отдельных случаях веса могут быть представлены не абсолютными величинами, а относительными (в процентах или долях единицы). Так, в приведенном выше при мере удельный вес каждой фирмы в общем объеме продаж данной продукции (в натуральном выражении) соответственно составляет 37,4% (0,374), 12,1% (0,121) и 50,5% (0,505). Тогда с учетом неслож ного преобразования формулы (8.4) получим

			fi
	x	= ∑ xi			,	(8.5)
			∑ fi

или

x= 26 0,374 + 29 0,121+ 25 0,505 = 25,86 тыс. руб.

Вданном случае при расчете средней знаменатель представляет собой сумму долей каждой фирмы в общем объеме продаж, равную единице.

На практике наиболее часто встречаемая при расчете средних ошибка заключается в игнорировании весов в тех случаях, когда эти веса в действительности существуют, но неизвестны или по той или иной причине не представлены в исходных данных. Предположим, имеются следующие данные (табл. 8.3).

	Таблица 8.3
Итоги биржевых торгов акциями компании Y
Биржевая сделка	Курс продажи акций, руб.
1	425
2	437

196 Глава 8. Статистические показатели в форме средних величин

Можно ли по имеющимся данным определить средний курс про дажи акций данного эмитента по двум сделкам, вместе взятым? Можно, но только в том случае, если объемы данных двух пакетов акций совпадают, т.е. количество акций, проданных в результате первой и второй сделок, одинаково. Тогда средний курс составит 431 руб. (доказательство этого правила будет приведено ниже). Од нако в результате первой сделки может быть реализовано, напри мер, 300 акций, а в результате второй — 5000 акций. Тогда для рас чета среднего курса потребуется уже средняя арифметическая взвешенная:

= 425 300 + 437 5000 =

x 436,3 руб. 300 + 5000

Общий вывод заключается в следующем: использовать среднюю арифметическую невзвешенную можно только тогда, когда точно установлено отсутствие весов или их равенство.

В рассмотренных примерах представлен расчет среднего пока зателя по дискретному вариационному ряду. При расчете средней по интервальному вариационному ряду для выполнения необходи мых вычислений от интервалов переходят к их серединам. Рассмот рим следующий пример (табл. 8.4).

	Таблица 8.4
Распределение работников предприятия по стажу работы
Стаж работы, лет	Численность работников, человек
До 5	22
5—10	54
10—15	37
15—20	11
20 и более	2
Итого	126

Для определения среднего стажа работы сотрудников данного предприятия найдем середины интервалов. При этом величины открытых интервалов (первого и последнего) условно приравнива ются к величинам интервалов, примыкающих к ним (второго и предпоследнего). С учетом этого середины интервалов будут сле дующими:

2, 5; 7,5; 12,5; 17,5; 22,5.

8.2. Средняя арифметическая

197

Используя среднюю арифметическую взвешенную, определим средний стаж работы:

		=	2,5 22 + 7,5 54 + 12,5 37 + 17,5 11 + 22,5 2	= 9,2 года.
	x
	22 + 54 + 37 + 11+ 2

Свойства средней арифметической. Средняя арифметическая об ладает некоторыми математическими свойствами, более полно рас крывающими ее сущность и в ряде случаев используемыми при ее расчете. Рассмотрим эти свойства.

1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведе0 ний отдельных вариантов на соответствующие им частоты:

	∑ fi = ∑ xi fi .	(8.6)
x

Действительно, если мы обратимся к приведенному выше при меру расчета средней цены продукции (табл. 8.2), то получим сле дующее равенство (за счет округления при расчете средней цены до сотых правая и левая части равенства в данном случае будут не значительно различаться):

25,86 971 = 26 363 + 29 118 + 25 490.

2. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от сред0 ней арифметической равна нулю:

∑	( i	−		)	i	= 0.	(8.7)
	x		x	f

Для нашего примера (26 – 25,86) 363 + (29 – 25,86) 118 + (25 – 25,86) 490 ≈ 0.

Математическое доказательство данного свойства сводится к следующему:

∑ (xi − x) fi = ∑ xi fi − ∑ x fi = ∑ xi fi − x ∑ fi = 0.

3. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений призна0 ка от средней арифметической меньше, чем сумма квадратов их от0 клонений от любой другой произвольной величины С:

2

= ∑(xi

2

2

=

∑ (xi − C ) fi

− x + x − C ) fi

=∑ (xi

− x ) + (x − C )

fi

2

2

2

fi = ∑(xi − x ) fi +

= ∑ (xi

− x)

+ 2(xi

− x)(x − C) + (x − C )

+ 2(

− C)∑ (xi −

) fi + ∑ (

− C )2 fi = ∑ (xi −

)2 fi +

(8.8)

x

x

x

x

+ 2(x − C) 0 + ∑ (x − C)2 fi .

198 Глава 8. Статистические показатели в форме средних величин

Следовательно, сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от произвольной величины С больше суммы квадратов их отклонений от своей средней на величину ∑ (x − C)2 fi

или (x − C)2 ∑ fi.

На использовании этого свойства базируется расчет централь ных моментов, представляющих собой характеристики вариацион ного ряда при C = x 1:

			∑ (xi	−		)k fi
	μk	=			x		,
			∑ fi

где k определяет порядок момента (центральный момент второго поряд ка представляет собой дисперсию).

4. Если все варианты значений признака уменьшить или увеличить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на ту же величину:

	∑ (xi	± A) fi		∑ xi	fi		∑ A fi
			=			±		= x ± A.			(8.9)
	∑ fi			∑ fi			∑ fi

Так, для рассматриваемого случая, если каждая торговая фирма увеличит цену, например на 2 тыс. руб., то средняя цена также уве личится на 2 тыс. руб.:

		=	28 363 + 31 118 + 27 490	= 27,86 = (25,86 + 2) тыс. руб.
	x
	363 + 118 + 490

5.Если все варианты значений признака уменьшить или увеличить

вА раз, то средняя также соответственно увеличится или умень0 шится в А раз:

∑

xi

1

∑ xi

fi

=

fi

=

1

A

A

(8.10)

x.

∑ fi

∑ fi

A

Предположим, каждая торговая фирма увеличит цену на 10%, или в 1,1 раза. Тогда и средняя цена также увеличится на 10%:

		=	26 1,1 363 + 29 1,1 118 + 25 1,1 490	= 28,45 =
	x
	363 + 118 + 490

=(25,86 1,1) тыс. руб.

1 При С = 0 получают начальные моменты (начальный момент 1 го порядка — средняя арифметическая и т.д.).

8.3. Средние гармоническая, геометрическая и квадратическая 199

6. Если все веса уменьшить или увеличить в А раз, то средняя ариф0 метическая от этого не изменится:

∑ xi

fi

1

∑ xi

fi

A

=

A

=

.

x

(8.11)

f

1

∑ fi

∑

i

A

A

Так, в отдельных случаях, когда веса представляют собой боль шие числа с рядом нулей на конце, для удобства расчетов их можно пропорционально уменьшить. Например, если по цене 180 руб. про дали 7000 ед. товара, а по цене 190 руб. продали 5000 ед., то в дан ном случае при расчете средней веса целесообразно уменьшить в 1000 раз:

		=	180 7 + 190 5	= 182,2 руб.
	x
	7 + 5

Из данного свойства следует, что если все веса равны между со бой, то расчеты по средней арифметической взвешенной и сред ней арифметической невзвешенной приведут к одному и тому же результату.

8.3. Средние гармоническая, геометрическая и квадратическая

Несмотря на то что средняя арифметическая является самой рас пространенной формой средней величины, кроме нее при расчете статистических показателей применяются и другие виды средних. При этом следует учитывать, что в каждом конкретном случае, в зависимости от характера имеющихся данных, существует только одно истинное среднее значение показателя, являющееся следстви ем реализации его исходного соотношения.

Средняя гармоническая взвешенная используется, когда известен числитель исходного соотношения средней, но неизвестен его зна менатель. Рассмотрим пример расчета средней себестоимости про дукции (табл. 8.5).

Средняя себестоимость единицы произведенной продукции (в данном случае — сельскохозяйственной продукции) в среднем по нескольким предприятиям, цехам, агрофирмам, фермерским хо

200 Глава 8. Статистические показатели в форме средних величин

Таблица 8.5

Себестоимость и затраты на производство продукции в трех агрофирмах

Агрофирма	Себестоимость	Затраты на производство
	продукции, руб./ц	продукции, тыс. руб.
А	380	273,6
Б	420	258,3
В	310	291,4

зяйствам и т.п. может быть определена только на основе следую щего исходного соотношения:

Общие затраты на производство продукции мы получим про стым суммированием затрат по трем агрофирмам. Данные же об общем объеме произведенной продукции отсутствуют, но их можно получить, разделив по каждой агрофирме произведенные затраты на себестоимость единицы продукции. С учетом этого определим ис комую среднюю, предварительно переведя для сопоставимости тысячи рублей в рубли:

		=	273 600 + 258 300			+ 291400			=	823 300	= 361,9 руб.
	x
			273 600		258 300			291400
				+			+		2 275
			380		420			310

Таким образом, общий объем производства продукции по трем аг рофирмам в целом составлял 2275 ц, а средняя себестоимость 1 ц — 361,9 руб.

В данном случае расчет произведен по формуле средней гармо нической взвешенной:

			=	∑ wi		,
		x
					wi
				∑		(8.12)
					x
					i

где wi = xi fi.

Отметим, что данная формула может использоваться для расче та средних показателей не только в статике, но и в динамике, когда