1.12.9. Связь массы, импульса и энергии релятивистской частицы

Приращение кинетической энергии материальной точки равно работе равнодействующей силы:

.

_{Возведём обе части равенства} в квадрат и избавимся от знаменателя. Получим . Теперь умножим обе части на

. Продифференцировав это равенство и проведя сокращения, получим и. Тогда . Отсюда следует, что

или

Величину называютполной энергией тела, а величину –энергией покоя тела.

.

Значения ине зависят от выбора инерциальной системы отсчёта. Для элементарной частицы они являются неизменными характеристиками. Масса и энергия покоя системы частиц зависят от состава системы и от её внутреннего состояния.

Выразим полную энергию частицы через её импульс.. Возведем обе части этого равенства в квадрат и освободимся от знаменателя. Получим:. Учитывая, что, получим. Произведение массы частицы на скорость ее движения есть импульс этой частицы, тогда после сокращения на уравнение примет вид или, с учетом того, что,

.

5. Динамика вращательного движения твердого тела

1.13.1. Момент силы

1.13.1.1. Момент силы относительно точки

Вектором момента силы относительно произвольной точки О называют векторное произведение радиус-вектора на вектор силы, где радиус-векторпроведён из точкиО к точке приложения силы (рис. 1.48):

Рис. 1.48.

.

Направление вектора определим по правилу буравчика (правого винта).Векторы ,иобразуют правовинтовую систему: рукояткой буравчика служит вектор, конец рукоятки надо вращать в направлении вектора, тогда поступательное движение буравчика укажет направление вектора(см. рис. 1.49).Условимся вектор, направленный за плоскость чертежа обозначать символом , а направленный к нам символом . Так, на рис.1.48 вектор направлен от нас и обозначен.

Рис. 1.49.

Модуль момента силы

,

где α – угол между векторами и . Произведение есть плечо силы – кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы (см. рис. 1.50). Тогда модуль момента силы

.

За единицу момента силы принимают момент, созданный силой в 1 Н с плечом равным 1 м: .

Разложим вектор силы на две составляющих: радиальнуюи тангенциальную . Как видно из рис. 1.50, , тогда модуль момента силы

Рис. 1.50.

  .

Момент силы, взятый относительно точки, характеризует способность силы вызывать поворот относительно этой точки. Если сила направлена вдоль радиус-вектора, ее плечо равно нулю. Такая сила не может вызывать поворот тела вокруг точки О. Этот поворот вызывается только тангенциальной (касательной) компонентой силы , направленной перпендикулярно радиус-вектору.

Результирующий момент сил взаимодействия тел всегда равен нулю. Действительно, для двух взаимодействующих материальных точек согласно третьему закону Ньютона , т. е. силы равны по величине, противоположно направлены и расположены на прямой, соединяющей взаимодействующие точки. Моменты этих сил относительно произвольной точкиО будут равны по модулю, так как эти силы обладают одним и тем же плечом (см. рис. 1.51), и противоположно направлены: , .

Рис. 1.51.

1.13.1.2. Момент пары сил

Парой сил называют две равные по величине противоположные по направлению силы, не лежащие на одной прямой.

Пусть на плоскую пластинку (на рис.1.52 она находится в горизонтальной плоскости) в точках 1 и 2 действует пара сил .

Рис. 1.52.

Возьмём произвольно точку О и найдём сумму моментов этих сил относительно нее: . Учитывая, что, получимили. Вектор– это вектор, проведённый от точки приложения силы к точке приложения силы, тогда. Как видим, момент пары сил не зависит от выбора точкиО. По правилу буравчика вектор направлен вертикально вверх, а модуль момента пары сил. Обозначим – плечо пары сил (кратчайшее расстояние между линиями действия сил). Учтем, что , и получим

.