1.13.1.3. Момент силы относительно оси вращения

Рассмотрим произвольное тело, имеющее ось вращения z, которая закреплена в подшипниках. На это тело действует сила , которую можно разложить на три взаимно перпендикулярные составляющие. Силыине вызывают вращения тела, а вызывают деформацию оси в подшипниках. Силасоздаёт вращающий момент.

Рис. 1.53.

Вектор момента силы относительно произвольной точкиО, взятой на оси вращения, равен ,– радиус-вектор, проведенный из точкиО в точку приложения силы. Модуль этого момента (угол между векторамииравен 90°,). Найдём проекцию векторана ось вращенияz (см рис. 1.53): . Из заштрихованного треугольника видно, что, где– кратчайшее расстояние от точки приложения силы до оси вращения (радиус вращения точки приложения силы). Таким образом,момент силы относительно оси вращения равен:

и не зависит от выбора точки О. Этот момент тем больше, чем больше расстояние от точки приложения силы до оси вращения. Мы наблюдаем это, когда пользуемся отверткой, обычным дверным ключом. Дверь также гораздо легче открыть, нажимая на нее около ручки, а не около петель.

Если сила по отношению к осиz создаёт правовинтовое вращение, то момент этой силы принимает положительное значение , при левовинтовом вращении.

Если на тело действует несколько сил, то результирующий момент относительно оси вращения z равен алгебраической сумме моментов всех сил: с учетом направлений вращения, создаваемых этими силами.

Момент силы, взятый относительно оси, характеризует способность силы вызывать поворот относительно этой оси. Моменты сил и относительно точки О (рис.1.53) не равны нулю, однако проекции этих моментов на ось вращения z имеют нулевое значение. Такие силы не могут вызвать поворот тела относительно данной оси.

2. Момент импульса твердого тела относительно оси вращения (собственный момент импульса)

1. Момент импульса материальной точки

Вектором момента импульса движущейся материальной точки относительно произвольной точкиО называют векторное произведение радиус-вектора на вектор импульсаэтой точки. Радиус-векторпроведен из точкиО к движущейся материальной точке (рис. 1.54):

Рис. 1.54.

.

Направление вектора определяется по правилу буравчика, как и для вектора. Модуль вектора момента импульса материальной точки

,

где h — плечо импульса (см. рис. 1.54). Плечо импульса есть кратчайшее расстояние от точкиО до линии действия импульса (длина перпендикуляра, опущенного на линию действия импульса).

Моментом импульса материальной точки относительно произвольной оси z называют скалярную величину равную проекции вектора момента импульса , найденного относительно произвольной точки осиz, на эту ось:

.

Здесь r – расстояние от материальной точки до оси вращения, – касательная компонента вектора импульса материальной точки (см. рис. 1.55).

Если материальная точка движется по окружности, то целесообразно за точку О выбрать центр окружности. В этом случае вектор момента импульса будет направлен по оси вращения и связан с направлением вращения правовинтовой системой (рис. 1.56), а модуль момента импульса. Линейная скоростьсвязана с угловой скоростью соотношением, тогда. Обозначив произведение как I и, учитывая, что угловая скоростьсовпадает по направлению с вектором, запишем

Рис. 1.55.

_.

Величину называютмоментом инерции материальной точки.

Рис. 1.56.