13. Элементы динамики сплошных сред

1.14.1. Неразрывность струи

Помимо движения твердых тел механика рассматривает также движение сплошных сред – жидкостей и газов. Проведем в движущейся жидкости линии так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с вектором скорости . Эти линии называютлиниями тока. Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока. Если вектор скорости в каждой точке остается постоянным, то течение жидкости называют стационарным.

Рис. 1.72

Рассмотрим тонкую трубку тока с переменным поперечным сечением S (рис. 1.72). Будем считать скорость жидкости постоянной в пределах одного сечения. За время dt через сечение S₁ пройдут частицы, заключенные в объеме , а через сечениеS₂ частицы, заключенные в объеме . Если жидкость несжимаема, тои.

Следовательно, для несжимаемой жидкости величина в любом сечении одной и той же трубки тока одинакова. Это заключение представляет собой теорему о неразрывности струи.

2. Уравнение Бернулли

Представим себе жидкость, в которой слои, перемещаясь друг относительно друга, не испытывают трения. Такую жидкость называют идеальной.

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока, ограниченную сечениями S₁ и S₂ (рис. 1.72). За время dt сечение S₁ переместится в положение , а сечениеS₂ в положение . Этот процесс эквивалентен тому, что окрашенный объем жидкостивошел в неокрашенную область слева, а вышел справа (). Согласно уравнению неразрывности оба эти объема равны (). В неокрашенной области никаких изменений не происходит, поэтому изменение энергии жидкости, заключенной между сечениями S₁ и S₂, равно разности энергий закрашенных областей.

Энергия левой выделенной области складывается из кинетической и потенциальной энергий:

Энергия правой закрашенной области:

Приращение энергии:

.

Это приращение энергии происходит благодаря работе сил давления и, действующих соответственно на левую и правую выделенные области. Для левой области направление силы сопадает с напрвлением перемещения, и работа положительна:

Для правой области направление силы противоположно напрвлению перемещения, работа отрицательна:

Полная работа сил давления:. Приравняв эту величину к приращению механической энергииdW и сократив на dV, получим:

или

.

Отсюда следует, что

Последнее соотношение было получено в 1738 году швейцарским физиком Бернулли и носит его имя. Оно выражает закон сохранения энергии для стационарно текущей идеальной жидкости. Величину p называют статическим давлением, динамическим давлением, а гидростатическим давлением.

Для горизонтальной трубки тока и уравнение Бернулли принимает вид:

Здесь сумму статического и динамического давлений называют полным давлением. Согласно уравнению Бернулли полное давление в горизонтальной трубке тока есть величина постоянная. Отсюда следует, что в узких местах трубки тока, где скорость течения выше, статическое давление р будет меньше, а в широких местах, где скорость ниже, статическое давление, напротив, будет больше. Это явление положено в основу работы водоструйного насоса. Струю воды подают в трубку, выходящую в атмосферу, так что на выходе из трубки давление равно атмосферному. В трубке имеется сужение, статическое давление в котором меньше атмосферного. Это сужение имеет выход в камеру, из которой нужно откачать воздух или другой газ. Благодаря пониженному давлению в трубке, газ будет засасываться в нее и уноситься потоком воды.