Уравнение вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

Пусть тело вращается вокруг неподвижной оси Oz, проходящей через т.О. В этом случае вращение происходит только под действием составляющей Mz момента М внешних сил относительно точки О и уравнение вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси примет вид: (48)

Где называется результирующим моментом внешних сил относительно осиO_z, - составляющая момента импульсаотносительно осиO_z и называется моментом импульса тела относительно оси O_z.

Момент импульса тела относительно неподвижной оси.

Рассмотрим i-тую точку твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Oz. Если и- масса и скорость точки, а- ее радиус-вектор относительно т.О, то момент импульса точки равен: а его модуль:

Здесь учтено, что векторы ивзаимно перпендикулярны. Проекция момента импульсана осьO_z равна:

где - радиус окружности, по которой движетсяi-тая точка при вращении тела,

- угловая скорость вращения.

Момент импульса всего тела относительно оси O_z.

(49)

Произведение массы точки на квадрат ее кратчайшего расстояния до оси вращения называется моментом инерции точки относительно этой оси:

(50)

Величина:

(51)

называется моментом инерции тела относительно этой оси.

С учетом (51) перепишем (49) в виде:

(52)

Поставим (52) в уравнение (48) вращательного движения тела относительно оси O_z:

(53)

Это уравнение справедливо только в том случае, когда , из сравнения (53) со вторым законом Ньютонаможно сделать вывод, что момент инерцииявляется мерой инерции твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

Момент инерции твердых тел. Теорема Штейнера.

Для нахождения момента инерции тела его разбивают на малые элементы объемом , определяют их массы и расстояния до оси вращения и суммируют произведения масс элементов на квадраты их расстояний до оси вращения:

или: (54)

где - плотность тела,- его объем.

Моменты инерции твердых тел найдены и сведены в таблицы.

Моменты инерции однородных тел массой m, имеющих правильную геометрическую форму и равномерное распределение массы по объему

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиуса R	ось симметрии
Сплошной цилиндр или диск радиуса R	ось симметрии
Прямой тонкий стержень длиной l	ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину
Шар радиусом R	ось проходит через центр шара

Для нахождения момента инерции тела относительно оси, не проходящей через центр тяжести, применяется теорема Штейнера:

-момент инерции I тела относительно оси OO’ равен моменту инерции I0 тела относительно параллельной ей оси CC’, проходящей через центр масс, сложенному с произведением массы m этого тела на квадрат расстояния a между осями: (55)

Например, момент инерции прямого тонкого стержня длиной l относительно оси, которая перпендикулярна стержню и проходит через его конец (эта ось отстоит на l/2 от оси, проходящей через центр стрежня):

Таким образом, величина момента инерции зависит от выбора оси вращения.