Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

Разобьем твердое тело, вращающееся вокруг оси O_z, на n малых элементов; и- масса и скоростьi-го элемента, - кинетическая энергияi-го элемента;

- кинетическая энергия всего тела.

Как известно, , где- радиус окружности, по которой движетсяi-я точка. Тогда:

т.е. (56)

Работа при вращательном движении.

Если момент внешних сил M_z относительно оси вращения отличен от нуля, то угловая скорость  и кинетическая энергия тела будут меняться. Изменение кинетической энергии dT тела за время dt равно работе dA, совершаемой внешними силами:

(57)

(тело не деформируется, поэтому внутренние силы работы не совершают).

Из (56) следует, что , тогда:

(58)

Подставим (58) в (57):

(59)

где и- угол поворота тела за времяdt.

Полная работа, совершаемая при повороте тела на угол , равна:

(60)

Закон сохранения момента импульса.

В случае замкнутой системы момент внешних сил равен нулю, поэтому из уравнения вращательного движения тела относительно точки: следует, что

, ,

Этот результат носит название закона сохранения момента импульса:

в замкнутой системе момент импульса твердого тела относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени как по величине, так и по направлению.

Из уравнения вращательного движения тела вокруг неподвижной оси:

следует закон сохранения момента импульса тела относительно этой оси.

В самом деле, если , тоиили.

Закон сохранения момента импульса можно обобщить и на случай любой незамкнутой системы:

если результирующий момент всех внешних сил, приложенных к телу, относительно какой-либо неподвижной оси тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой оси не меняется с течением времени.

Элементы специальной теории относительности. Принцип относительности в механике.

Ранее было введено понятие инерциальных систем отсчета, в которых выполняются законы Ньютона. Оказалось, что инерциальных систем отсчета существует бесчисленное множество.

Покажем, что любая система, движущаяся относительно инерциальной с постоянной по величине и направлению скоростью, тоже является инерциальной. Для этого рассмотрим 2 системы отсчета:

К – неподвижная инерциальная система отсчета; K’ – система, движущаяся относительно инерциальной с постоянной скоростью по осиx. Выберем некоторую точку M и обозначим: x,y,z – координаты точки M в системе K,

x’,y’,z’ – координаты т. M в системе K’.

Выразим координаты этой точки в движущейся системе отсчета через координаты ее в неподвижной системе, предполагая, что в начальный момент времени точки O и O’ совпадали. Из рисунка видно, что:

(61)

Эти соотношения называют соотношениями Галилея. Продифференцируем (61) по времени:

(62)

Запишем (62) в векторной форме:

(63)

Соотношения (62) и (63) называются классическим законом сложения скоростей.

Продифференцируем по времени (63):

(64)

Таким образом, ускорение тела по отношению к различным инерциальным системам отсчета одинаково.

Поэтому, если система K инерциальна (в отсутствии внешних воздействий на т. M ее ускорение равно нулю), то и системаK’ тоже является инерциальной ().

Из (64) следует, что силы, действующие на тело, одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. В самом деле, . Это значит, что во всех инерциальных системах отсчета механические явления протекают одинаково, а законы Ньютона не меняются при переходе от одной инерциальной системы к другой. Говорят, что законы Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея.

Принцип относительности Галилея:

никакими механическими опытами, проведенными в замкнутой системе отсчета, нельзя установить, движется эта система прямолинейно и равномерно или покоится.