8

ГЛАВА 1 Классический метод расчёта переходных процессов

1.1. Определение переходного процесса

Переходным процессом называется изменение во времени токов и напряжений в электрической цепи при переходе от одного установившегося режима к другому.

Установившийся (стационарный) режим создаётся в цепи источником постоянной ЭДС, источником периодически изменяющейся ЭДС произвольной формы (в том числе синусоидальной). К этому режиму относится также случай отсутствия токов в ветвях цепи.

В отличие от установившегося, переходной режим – неустановившийся, нестационарный процесс, характеризующийся быстрыми изменениями токов и напряжений.

Переходной процесс начинается с мгновенного изменения состояния цепи, называемого к о м м у т а ц и е й: замыкания, размыкания, переключения выключателей, контактов реле и других коммутационных устройств, объединённых общим названием – «ключи» (рис. 1.1). Под это понятие попадают также электронные схемы, работающие в ключевом режиме.

1

2

Рис. 1.1

В дальнейшем будем считать, что коммутация происходит при t = 0. Момент времени, предшествующий коммутации, будем обозначать t = 0− , а момент времени сразу после коммутации – t = 0+ .

Вмомент коммутации в электрической цепи скачком изменяется приложенное к ней напряжение или её параметры, причём переходный процесс возможен только в такой цепи, в состав которой входят реактивные элементы – индуктивность и (или) ёмкость, способные запасать энергию магнитного и электрического полей. Переходной процесс отсутствует в цепях, содержащих лишь активные сопротивления. При коммутации в таких цепях токи и напряжения устанавливаются мгновенно.

Врадиотехнике и связи переходные процессы имеют первостепенное значение, так как длительность сигналов соизмерима со временем переходных процессов. Они влияют на форму сигналов. В некоторых схемах они нежелательны, поскольку являются причиной переходных искажений; в других – используются для получения сигналов заданной формы.

Вавтоматическом регулировании параметры переходного процесса определяют показатели качества системы (перерегулирование, время регулирования, декремент затухания и др.).

Во время переходных процессов на отдельных участках цепи могут возникать напряжения и токи, во много раз превышающие установившиеся

	9
значения. Это	обстоятельство необходимо учитывать при разработке

электрических и электронных схем.

1.2. Законы коммутации

Ток в индуктивности и напряжение на ёмкости в момент коммутации не могут изменяться скачком, а являются непрерывными функциями времени, т.е.

iL (0−) = iL (0+);

(1.1)

uC (0−) = uC (0+).(1.2)

Равенства (1.1) и (1.2) выражают аналитически соответственно первый и второй законы коммутации.

В схеме на рис. 1.2 а происходит коммутация в цепи постоянного тока,

содержащей индуктивность. Ток в цепи до коммутации i =		U				; ток в
1	R1	+ R2
установившемся режиме после окончания переходного процесса i		=	U	.
	2		R1

а

б

Рис. 1.2

На основании первого закона коммутации,

iL (0−) = iL (0+) = i1 = R1 U+ R2 .

На рис. 1.2 б показан постепенный, непрерывный процесс установления тока в цепи после замыкания ключа S.

На рис. 1.3 поясняется второй закон коммутации.

В схеме на рис. 1.3 а за время переходного процесса напряжение на ёмкости непрерывно изменяется от значения uC1 = E1 до uC 2 = E1 + E2 (рис. 1.3 б).

В момент переключения в цепи при t=0 должен выполняться второй закон коммутации

uC (0− ) = uC (0+ ) = E1 .

				10
E2	+
	2	S	R		uc
	-
	1		t = 0
	+		uC	C	uc2=E1+E2
E1
				uc1=E 1
	-
					t
				0
			а	Рис. 1.3	б

С физической точки зрения законы коммутации являются частными проявлениями общего закона природы – закона непрерывности энергии. Энергия

Li2

L

магнитного поля, запасённая в индуктивности wL = 2 , и энергия

	w =	Cu2
электрического поля, запасённая в ёмкости		C	, не могут изменяться
	C	2

скачком. Действительно, скачкообразное изменение iL или uC влечёт за собой скачкообразное изменение wL или wC . В этом случае мгновенные мощности в

индуктивности pL = dwdtL в ёмкости pC = dwdtC равны бесконечности, что

лишено физического смысла, так как реальные источники энергии не могут развивать бесконечно большую мощность.

С другой стороны, если допустить, что в момент коммутации ток iL (или напряжение uC ) изменяется скачком, то напряжение на индуктивности

uL = L didtL (ток в ёмкости iC = C dudtc ) примет бесконечно большое значение, и в

цепи не будет выполняться второй (или соответственно первый) закон Кирхгофа. Заметим, что ток в ёмкости и напряжение на индуктивности не являются носителями энергии, поэтому законам коммутации не подчиняются и могут

изменяться скачком.

1.3. Переходный, принуждённый и свободный процессы

Изучение переходных процессов сводится к исследованию и решению уравнений равновесия токов в узлах и напряжений в контурах, составленных применительно к их мгновенным значениям, т.е. в интегро-дифференциальной форме.

11

Рассмотрим пример подключения последовательного RLC-контура

(рис. 1.4) к источнику непрерывно изменяющейся ЭДС, заданной аналитически.

	i	S	R
			uR
e			uL	L
			uC

C

Рис. 1.4

Полагая uC (0− ) = uC (0+ ) = 0 , для произвольного t > 0 составим уравнение

	равновесия напряжений в контуре
	Ri + L di	+	1	∫	idt = e.	(1.3)
			C
	dt

Ток i в уравнении (1.3) называется током переходного процесса или переходным током.

После окончания переходного процесса наступает принуждённый (вынужденный) режим, который создается в цепи источником ЭДС.

В случае постоянной, синусоидальной или любой периодически изменяющейся ЭДС принуждённый режим называют также установившимся.

С установлением принуждённого режима уравнение (1.3) примет вид

	Riпр + L	diпр	+	1	∫iпрdt = е,	(1.4)
		dt		C

где iпр – принуждённый ток.

Вычитая из уравнения (1.3) уравнение (1.4) и вводя обозначение

	i −iпр = iсв,				(1.5)
получим
Riсв + L	diсв	+	1	∫iсвdt = 0 .	(1.6)
			C
	dt

Ток iсв называется свободным током или током свободного процесса.

Уравнение (1.5) показывает, что переходный процесс в цепи можно рассматривать как суперпозицию (наложение) двух процессов - принуждённого, наступающего сразу после коммутации, и свободного, существующего только во время переходного процесса, т.е.

i = iпр +iсв .

(1.7)