31

зависит от αi и может превышать амплитуду принуждённого тока. При αi = ±π2

	и весьма большой постоянной времени ( R ≈ 0 и τ =		L	→ ∞) возможен сверхток,
			R
	не превышающий 2Im
		(рис. 1.18 б).
	Из формулы (1.37)	следует, что при αi =αu −ϕ = 0 или αi =π

принуждённый режим наступает мгновенно, а свободный ток отсутствует.

1.12. Включение RC-цепи на синусоидальное напряжение

i	S t = 0		R

u

uC C

Рис. 1.19

В схеме на рис. 1.19 u =Um sin(ωt +αu ); uC (0− ) = 0;

RC

duc

+uC =Um sin(ωt +αu ) .

dt

uc =ucпр +ucсв,

uc пр

=Ucm sin(ωt +αu −ϕ −

π ),

1

Um

2

где U =

I

,

I =

,

ϕ=−

1

;

cm ωC

m

m

1

2

tg

ωCR

R

2

+

ωC

=Ucm sin(ωt +αu −ϕ −π ) + Ae−

t

uc = ucпр +ucсв

RC

,

где RC =τ – постоянная времени цепи.

2

uC (0−) = uC (0+ ) = 0,

32

0 =Ucm sin(αu −ϕ −

π ) + A; A = −Ucm sin(αu

−ϕ −π ).

2

2

Переходное напряжение на ёмкости

t

π

π

−

uc =Ucm sin(ωt +αu

−

ϕ −

) −Ucm sin(αu −ϕ

−

.

(1.38)

2

2

)e τ

Ток в цепи

t

du

c

I

m

π

−

i = C

= Im sin(ωt

+αi ) +

sin(αi −

2

)e

τ .

(1.39)

dt

ωCR

Мгновенное значение тока в момент коммутации, с учётом uC (0+ ) = 0,

i(0+ ) =

u(0+)

=

Um

sinαu .

(1.40)

R

R

Формула (1.40) следует также из выражения (1.39)

I

m

sinϕ

i(0+) = Im sinαi −

cosαi

= Im sinαi +

cosαi

=

ωCR

cosϕ

=	Um	sin(αi +ϕ) =	Um	sinαu.
	Z cosϕ
			R
Полученные выражения (1.38), (1.39) и (1.40) приводят к следующим
выводам:

1) переходный процесс в RC-контуре зависит от величин αu , R и X C =

1

;

π

ωC

2) в случае

αi = αu

−ϕ = ±

переходный процесс не возникает и сразу

2

наступает установившийся режим;

3) максимальное

значение

uc

не превышает

удвоенной амплитуды

Ucm =

1

Im =

1

U m

(αi = 0 или π , τ → ∞);

ωC

ωC

Z

Um

4) возможен

всплеск

тока

i(0+) =

sinαu ,

намного

превышающий

U m

R

амплитуду Im =

(при малых R << XC , ϕ → −π

и αu = ±

π );

Z

2

2

							33
uc	u	c св	=U	e −t τ					π
				cm	u		= U
U						cпр		sin ωt −	2
							cm
cm
0		π			3π					ωt
				π			2π			t
		2			2
		u c =u спр+ u ссв
− Ucm
							а
						Рис. 1.20
i		iпр		=Im sin ωt
Im
			i = iпр + iсв
0			π				2π			ωt
										t
	t пп= 3 τ
	iсв		T
−Im
							б
					Продолжение рис. 1.20

34

На рис. 1.20 а, б показаны кривые

uC и i для частного случая αu = − π

;

ϕ = − π

π

π .

4

; αi = αu −ϕ = 0; αuc = αu −ϕ−

= −

4

2

2

На рис. 1.20 для заданных значений αu и ϕ

i (0

+

)= i(0

+

)= −I

m

;

1

=1;

T

= 1 ;

τ = RC =

T

;

св

ωCR

2πRC

2π

3T

T

tnn = 3τ =

≈

.

2π

2

1.13. Включение RLC-цепи на постоянное напряжение

Заданы параметры цепи (рис. 1.21): R , L, C ; напряжение U ; независимые начальные условия:

i(0− )= 0, uC (0− )= 0. (1.41)

Требуется найти ток i и напряжения uR , uC , uL .

		t=0
+	S	R
	i	uR

U

uL L

uC

-

C

Рис. 1.21

Составим интегродифференциальное уравнение равновесия напряжений в контуре

	Ri+L	di		+	1		∫idt =U.	(1.42)
		dt			C

Для получения дифференциального уравнения выразим ток i через напряжение uC

i = C dudtC ;

		35
LC	d 2uC	+ RC	duC	+uC =U .	(1.43)
	dt2
			dt

Общее решение уравнения (1.43) имеет вид

uC = uC np + uC CB ; uC np =U .

Свободная составляющая uC св является общим решением однородного уравнения

	LC	d 2uC св	+ RC	duC св	+uC св = 0 .
		dt2		dt

Соответствующее характеристическое уравнение

LCp2 + RCp +1 = 0 или

p2 + RL p + LC1 = 0 .

Как уже отмечалось ранее в § 1.4, характеристическое уравнение проще составить, записав для цепи комплексное входное сопротивление

	Zвх = R + jωL+		1			.
			jω C
При jω = p		Z( p) = R + Lp +		1			.
				Cp

Приравняв Z ( p) к 0, получим характеристическое уравнение (1.45). Корни уравнения (1.45)

(1.44)

(1.45)

(1.45)

p

= −

R

±

R

2

−

1

= −β ± β 2 −ω2 ,

(1.46)

1,2

2L

2L

LC

0

где β =

R

– коэффициент затухания;ω0 =

1

– резонансная частота.

LC

2L

p1 и p2 . Из

Решение однородного уравнения (1.44) зависит от вида корней

формулы

(1.46) следует,

что

корни

могут

быть

вещественными

неравными

( β 2 >ω02 ), вещественными равными ( β 2 =ω02 )

и комплексно-сопряжёнными

( β 2 <ω02 ). Соответственно различают три случая свободного процесса в цепи

(рис. 1.21).

1. Апериодический случай: корни p1 и p2 – вещественные, отрицательные и неравные

p

p

R

2

1

или β 2

>ω2 .

>

>

;

2

1

2L

LC

0

36

Каждый из корней даёт независимое решение, и свободная составляющая напряжения на ёмкости

uC св = Ae p1t + Be p2t ,

(1.47)

где A и B – постоянные интегрирования.

Переходное напряжение uC примет вид

uc = ucпр +ucсв =U + Ae p1t + Be p2t ,

(1.48)

а переходный ток в контуре

i = C

duc

= Cp Ae p1t + Cp

2

Be p2t .

(1.49)

dt

1

A и B , используя начальные условия

Найдём постоянные интегрирования

(1.41) и законы коммутации:

uC (0−) = uC (0+ ) = 0; i(0−) = i(0+) = 0.

(1.50)

Для момента t = 0+ из выражения (1.48) и выражения (1.49) следует

uc (0+ ) =U + Ae p1 0 + Be p2 0 = 0;

i(0

+

) = Cp Ae p1 0 +Cp

2

Be p2 0 = 0 ;

1

A+B =−U,

(1.51)

откуда

p1A+ p2B =0,

− p2U

p1U

A =

; B =

.

(1.52)

p

p

2

− p

2

− p

1

1

Подставив A и B в выражение (1.48) и в выражение (1.49), получим

uc =U −

p2U

e p1t +

p1U

e p2t ;

(1.53)

p2 − p1

p2 − p1

i = −

Cp1 p2U

(e p1t

− e p2t ) .

p

2

− p

1

Так как в уравнении (1.46) p

p

2

=

1

,

1

LC

U

то

i =

(e p1t −e p2t ).

(1.54)

L( p − p

2

)

1

Переходные напряжения uR и uL найдём по формулам

u

R

= Ri ; u

L

= L

di

=

U

( p e p1t

− p

2

e p2t ) .

dt

( p1

− p2 )

1

Графики переходного процесса для uC , uL и i построены на рис. 1.22 а, б.

37

uc

t пп= 3τ1

ucпр=U

uL

U

u L = u L св1

+ u L св2

P1U

P2 − P1

u

=u

+ u

1 + u

c

c пр

c св

2

c св

u c св 2

0

τ2

τ1

2τ1

3τ1

t

−

P2U

uc св1

P

− P

2

1

а

CP

i

P U

−

1

2

P − P

2

1

iсв

1

Im

0

i =iсв1+iсв2

tm

t

τ1

2τ1

3τ1

τ2

iсв2

CP P U

1

2

P2 − P1

б

Рис. 1.22

38

Найдём максимум (амплитуду) импульса переходного тока (рис. 1.22 б)

di = −Cp1−p2U ( p1e p1t − p2e p2t ) . dt p2 p1

Приравняв эту производную нулю, получим время максимума

e( p1−p2)tm =

p2

p2

ln

p2

;

( p − p

)t = ln

;

tm =

p1

.

p1

1

2 m

p1

p1 − p2

Подставив tm в формулу (1.54), найдём амплитуду импульса Im .

2. Колебательный случай: корни (1.46) характеристического уравнения

комплексно-сопряжённые

R

2

1

p

= −β ± j ω2

− β 2

= −β ± jω

<

;

C

,

(1.55)

2L

LC

1,2

0

где ωC = ω02 − β 2 – частота собственных (свободных) колебаний контура. Выражения для uC и i в этом случае можно вывести, воспользовавшись

результатами, полученными ранее для апериодического процесса (1.53), (1.54).

После подстановки

p1

и p2

(1.55) в

выражение

(1.53) с учётом

p2 − p1 = − j2ωC :

(−β+ jω

)t

U

(−β− jω )t

uc

= U +

(− β −

jωc )e

c

− (−β

+

jωc )e

c

j2ωc

.(1.56)

Используя формулы Эйлера для комплексных чисел, далее получим формулу

U uc = U − ωc

			e	jω	c	t	− e	− jω		c	t
e	−βt	β
							j2
									β
		= U −Ue−βt
									ωc

	+ωc	e jωct + e− jωct
		2

sin ωct + cos ωct .

=

(1.57)

Дальнейшее упрощение формулы (1.57) возможно, если учесть геометрическую связь между β , ωC и ω0 (1.55) (рис. 1.23):

ω =	β2 + ω2	ωC		sinα		ωC	2	2 2
0	с		= tgα =
					; sinα =		; ω0 = β	+ωC ,
	ωс
		β		cosα		ω0
	α

βРис. 1.23

39

sin ω

c

t cosα + cosω

t sinα

uc =U −Ue−β t

c

=

sinα

=U −U

ω0 e−β t

sin(ωc t +α).

(1.58)

ωc

Переходный ток i найдём, воспользовавшись формулой (1.56):

i =C

duc

=

CU

(β2 +ωc2 )e(−β+jωc)t −(β2 +ωc2 )e(−β−jωc)t

=

dt

j2ω

C

=

CUω02

e

−β t e jωct

−e−jωct

=

U

e

−βt

sinωct,

(1.59)

ωc

j2

ωcL

где ω02 = LC1 .

Переходное напряжение на индуктивности

u

L

= L

di

= −U ω0 e−βt sin(ω t −α) = U ω0 e−βt sin(ω t +π −α)

dt

ωc

c

ωc

c

. (1.60)

Графики uC и

i представлены на рис. 1.24 а, б.

3

6 L

uc

t пп=

=

β

R

σmax

u c = u c пр+ u cсв

± 0,05U

U

uc пр =U

0

uc св

t

-U

−U

ω

0

− βt

ω

e

Tc =

2 π

c

ωc

а

				40
i		U		e −βt1
		ω c L
					U		e	−β(t1+Tc)
					ωcL
0	t1			t1 +Tc						t

б

Рис. 1.24

Для характеристики скорости затухания колебаний используют отношение называемое декрементом затухания (от англ. decrement – уменьшение, степень убыли), показывающее, во сколько раз ток или напряжение уменьшаются за

период TC (рис. 1.24 б):

i(t1)

−βt

∆ =

=

e

1

= eβTC .

(1.61)

i(t1 +TC )

e

−β(t

+T )

1

C

Натуральный логарифм этого отношения называют логарифмическим

декрементом затухания:

β =

2πβ .

ln ∆ = βT

= 2π

(1.62)

C

ωC

ω2

− β 2

0

R

Представив в выражении (1.62)

β и ω0 через параметры цепи β =

и

1

2L

ω0 =

, получим формулу

LC

π

π

π

ln ∆ = L

R2

=

ρ2

=

,

(1.63)

1

Q2 − 0,25

−

− 0,25

L

R

LC

4L2

R2

где ρ =

– характеристическое сопротивление; Q = ρ

– добротность контура.

C

R

Формула (1.63) показывает связь между логарифмическим декрементом и добротностью контура. Чем меньше потери в контуре R и соответственно выше добротность Q , тем медленнее затухают колебания, т.е. тем меньше β и ln ∆. В

						41
предельном	(теоретическом)				случае при R = 0, Q = ∞, β = 0 , ln ∆ = 0 ,
ωC = ω0 ,	α = arctg	ωC		=	π	из формул (1.58) и (1.60) находим
					2
		β
uc =U −U cosω0t , i =			U		sinω0t =		U	sinω0t , uL =U cosω0t	.(1.64)
		ω0 L					ρ

Таким образом, сразу после коммутации в контуре устанавливается стационарный режим гармонических колебаний напряжений и тока с частотой

ωC = ω0 , при этом напряжение uC изменяется в пределах от 0 до 2U .

Впрактических задачах время колебательного переходного процесса (в САР

–время регулирования) отсчитывают в тот момент, когда разность между мгновенным значением напряжения (или тока) и его принуждённым (установившимся) значением не превышает заданной малой величины, обычно

±0,05U уст (рис. 1.24 а). При этом tПП достаточно близко совпадает с

затуханием огибающей колебания ±U

ω0

e−β t

за время, равное 3τ =

3

.

ω

β

C

3

L

Найдём число периодов свободных колебаний за время tПП =

= 6

.

β

tПП

6L

ωC

ω0 L

ρ

R

µ =

=

≈

=

= Q.

(1.65)

T

R

R

2π

R

C

Формула (1.65) справедлива при ωC ≈ ω0 , что имеет место при ω02 << β 2

(при малых затуханиях) и даёт способ оценки добротности контура с помощью осциллограммы переходного процесса.

Практический интерес представляет также максимальное отклонение

напряжения от установившегося значения

σmax

(рис.

1.24

а).

Обычно

σmax

выражают

в

процентах

от

U уст.

На

рис.

1.24

а

σmax [%] =

uC max

−uC пр

100%.

uC пр

В импульсной

технике σmax

характеризует

величину выброса фронта

импульса, в САР – наибольшее перерегулирование.

3. Предельный апериодический (критический) случай: корни p1 и p2 (1.46)

R 2

=

1

p1,2

= −

R

= −β .

– вещественные, отрицательные и равные,

,

LC

2L

2L

42

В этом граничном случае выражение для uC

можно просто получить из

формулы (1.57), используя предельный переход

при

ωC → 0

и

раскрывая

неопределённость

0 по правилу Лопиталя:

0

β

uc =

lim

U −Ue

−β t

sin ωCt +cosωCt =

ωC →0

ωC

ωCt

=U −Ue

−β t

β lim

sin

+ lim cosωCt =

ωC

→0

ωC

ωC →0

=U −Ue−β t (βt +1)=U −Ue−β t

− βUte−β t ,

(1.66)

i = C duc = CUβe−β t

−CUβe−β t

+Cβ2Ute−β t = Cβ2Ute−β t .

(1.67)

dt

Графики переходного процесса для этого случая показаны на рис.

1.25 а,

б. Из формулы (1.66) и графика (рис. 1.25 а) следует, что напряжение uC

устанавливается дольше, чем при апериодическом заряде ёмкости при равных в

обоих случаях постоянных времени τ1 =

1

и

τ =

1 . При расчёте

p1

β

uc

t пп = 5τ1=

5

β

uc пр = U

U

u

c

= u

c

п р+ u

c

св1

+ u

c

2

св

0

τ=1 β 2 τ

3 τ

4τ

5 τ

t

u ссв2

= − β Ute −βt

u ссв1 = −Ue −βt

а

43

i

Imax

0

tmax=τ=1 β

2τ

3τ

4τ

t

б

uC

Рис. 1.25

от uC пр =U

по формуле (1.66)

напряжение

отличается

при 3τ

на

0,2U (20%), при 4τ на 0,09U (9%) , при 5τ на 0,042U (4,2%) . Таким образом,

время переходного процесса tПП можно считать близким к 5τ .

В практических случаях представляет интерес амплитуда импульса тока,

которым заряжается конденсатор.

Приравняв производную

di

= Cβ2U (e−β t

− βte−β t ) к нулю,

dt

найдём tmax =

1

и Imax = 0,368CβU = 0,184 RC U .

β

L

Из равенства

R

2

1

, при котором

корни характеристического

=

LC

2L

R ,

уравнения становятся равными,

находят граничное значение сопротивления

которое называют критическим:

Rкр = 2 CL = 2ρ.

При R ≥ Rкр переходный процесс имеет апериодический характер, при R < Rкр процесс становится колебательным. Добротность контура в критическом режиме

Qкр = Rρ = 0,5.

кр

Контур с добротностью Q > 0,5 называют колебательным.

44

1.14.Включение колебательного контура на синусоидальное напряжение

Последовательный колебательный контур (Q > 0,5) (рис. 1.26) подключается при t = 0 к источнику синусоидального напряжения u =Um sin(ωt +αu )

i	t=0	R	L
	S
u			C	uС

Рис. 1.26

Начальные условия нулевые: uC (0−) = 0, i(0−) = 0. Требуется найти uC и ток

i .

Дифференциальное уравнение равновесия напряжений в контуре составим по аналогии с уравнением (1.43)

LC

d 2uC

+ RC

duC

+u

=U

m

sin(ωt +α

u

) .

(1.68)

dt2

dt

C

Общее решение уравнения (1.68):

uc = uc пр + uc св =U Cm sin(ωt +αu c ) + Ae p1t + Be p2t ,

(1.69)

где UCm =

1

Im =

1

U m

=

U m

;

ωC

ωC

Z

1

2

ωC R2 + ωL

−

ωC

−π

π ;

ωL −

1

αuC =αi

=αu −ϕ −

ϕ

= arctg

ωC

.

duc

2

2

R

i = C

= ωCU

Cm

cos(ωt +α

uc

)+Cp Ae p1t

+Cp

2

Be p2t . (1.70)

dt

1

Подставив начальные условия: uC (0−) = uC (0+ ) = 0и i(0−) = i(0+) = 0 в

уравнения (1.69) и (1.70), получим уравнения для постоянных интегрирования A и B

A + B = −UCm sinαuc ,	(1.71)
p1A + p2 B = −ωUCm cosαuc ,

45

	откуда находим		UCm
	A =				(− p2 sinαuc +ωcosαuc );						(1.72)
			p2 − p1
	B =		UCm		(p sinα		uc	−ωcosα	uc	).	(1.73)
			p2 − p1		1
	В колебательном режиме корни характеристического уравнения равны (1.55)
	p1,2 = −β ± jωC ;					p2 − p1 = − j2ωC .					(1.74)

В результате преобразований выражений (1.72) и (1.73) с учётом формул (1.74) получаем постоянные интегрирования

A = U2Cm

B = U2Cm

		ω
−sinαuc + j		ωC
		ω
−sinαuc − j		ωC

cosαuc +ωβ

C

cosαuc +ωβC

	;	(1.75)
sinαuc
		(1.76)
sinαuc .

Ограничимся решением для наиболее важного для практики случая, когда контур имеет достаточно высокую добротность. Сначала установим связь между

частотой собственных колебаний контура ωC и его добротностью Q :

ωc = ω02 − β2 = ω0 1 −

β2

= ω0

1 −

R2

= ω0 1 −

1

(1.77)

ω02

4

ρ2

4Q2 .

В

формуле (1.77)

ω0 =

1

–

резонансная частота,

β = −

R

–

LC

2L

L

коэффициент затухания,

p =

– характеристическое сопротивление, Q = ρ

–

добротность контура.

C

R

Расчёты по формуле (1.77) показывают, что при Q = 3,5 ωc = 0,989ω0 , при

Q = 5

ωc = 0,995ω0 .

Таким

образом,

уже

при Q = 3,5

можно

принять

ωc ≈ ω0

с погрешностью не более 1%, а при Q ≥ 5 – с погрешностью не более

0,5%.

Из

формулы (1.77) следует

также, что

при Q > 5

β

=

1

<<1

и

ω0

2Q

β <<ω0 .

Полагая ωc ≈ω0

и β <<ωc , предположим также, что частота ω

приложенного напряжения близка к частоте ωc .

В результате выражения (1.75) и (1.76) можно приближённо представить в

виде

46

A ≈

UCm

(−sinαuc + j cosαuc )= −

UCm

e jαuc

;

(1.78)

UCm

2

UCm

j2

B ≈

(−sinαuc − j cosαuc )=

e− jαuc

,

(1.79)

j2

2

а соотношение (1.69) следующим образом:

UCm

uc =UCm sin(ωt +αuC ) −

UCm

e

jαuc

e

(−β + jω0 )t

+

e

− jαuc

e

(−β − jω0 )t

=

j2

j

2

=UCm sin(ωt +αuC ) −UCme

−βt e j(ω0 +αuC )t −e− j(ω0 +αuC )t

=

j2

=UCm sin(ωt +αuC ) −UCme−βt sin(ω0t +αuC ) .

(1.80)

i = C

duc

= ωCUCm cos(ωt + αuC ) −

dt

−CUCme−β t [ω0 cos(ω0t +αuC ) − β sin(ω0t +αuC )]=

=ωCUCm cos(ωt +αuC ) −

β

−ω0CUCme−β t cos(ω0t +αuC ) −

sin(ω0t +αuC )

ω0

.

Полагая

β

≈ 0; αuC

=αi

−

π

, получим

2

ω0

e−β t

i = I

m

sin(ωt +α

) − I

m

sin(ω t +α

).

(1.81)

i

0

i

В радиотехнике и связи нормальным режимом работы последовательного колебательного контура является режим резонанса напряжений, при котором частота приложенного напряжения совпадает с резонансной частотой контура, т.е.

ω = ω0 . При этом ϕ0 = αu −αi = 0 ; Z = R ; амплитуда напряжения на выходе

контура (рис. 1.26)	1			U m		ρ
UCm0 =					=		U m = QU m .
	ω0C			R		R
Для контура, настроенного в резонанс, выражения (1.80) и (1.81) принимают
вид
uC =UCm0 (1 − e−β t ) sin(ω0t +αuC ) =QU m (1 − e−β t ) sin(ω0t +αuC ) ;(1.82)
i = Im0 (1−e−β t )sin(ω0t +αi ) .								(1.83)
Как видно из рис. 1.27				а,	огибающая выходного			напряжения

UCm (t) = QUm (1−e−β t ) нарастает по экспоненциальному закону от нуля до

47

установившегося значения UCmпр = QU . Время переходного процесса, как и

прежде (§1.13, п. 2), будем считать равным

tПП =

3

= 6

L

=

6ω0 L

=

6

ρ

=

6Q

.

(1.84)

β

R

ω0 R

ω0

R

ω0

Время установления колебаний тем больше, чем выше добротность контура. Далее рассмотрим случай расстройки контура, когда частоты ω и ω0

принуждённой и свободной составляющих (1.80) достаточно близки, но не равны (разность частот мала по сравнению с самими частотами). Если в первом приближении пренебречь затуханием свободной составляющей ( β = 0 ), то из

формулы (1.80) получим разность двух синусоид с одинаковыми амплитудами и
разными частотами:
uC =UCm [sin(ωt +αuC )−sin(ω0t +αuC )]=
ω −ω		0			ω +ω		0
= 2UCm sin			t	cos				t +αuC	=
	2				2
			ω +ω		0
=UCm (t) cos						t +αuC .
				2

(1.85)

Из выражения (1.85) следует, что результирующее напряжение uC представляет собой произведение двух функций: гармонического колебания со

	средней частотой	ω +ω0	, близкой к резонансной, и медленно изменяющейся
		2

синусоидальной функции UCm (t) (огибающей) с амплитудой 2UCm и частотой

ω−ω0 .

2

			UCm (t) = 2UCm sin			ω −ω0	t = 2UCm sin Ωt	,	(1.86)
где Ω =			ω −ω0		; Ω <<ω0 .	2	2
	На рис. 1.27 б изображена временная диаграмма, показывающая
периодическое изменение амплитуды результирующего колебания uc									(1.85) от 0
до			2Ucm ,			так	называемые		биения1

1 * В радиотехнике и связи операция изменения амплитуды колебания высокой частоты (переносчика) под воздействием низкочастотного сигнала называется амплитудной модуляцией (АМ). Биения представляют пример разновидности АМ, так называемой балансной (100%) АМ.

. Угловая частота биений Ω = ω −ω0 , период биений T =			2π .
			Ω
Возникновение биений объясняется набегом текущей фазы			Ωt	в выражении
	Ωt обращается в 0 или 1.		2
(1.86) до значений, когда sin
	2
uc
QUm
0				t
− QU m	t п =3
		β
	п ω = ω0
uc		а
2Uсm
	Ucm(t )
0				t
− 2U
сm
T =2π Ω
	ω ≠ ω0 ;	β = 0
	б

				3
uc
								Ucm
0								t
								Ucm
		ω ≠ ω0 ;			β ≠ 0
				в
	Ω t =kπ		Рис. 1.27
При		(k=0, 1, 2,…)	огибающая UCm (t)				и напряжение	uC (t)
	2		Ωt		2k +1
проходят через нуль («узел»); при			2	=	2	π достигают максимума,		равного
2Ucm («пучность»). Эффект биений широко применяется в радиотехнике и связи,
например в радиотелеграфии. Другим примером является метод «нулевых
биений». Так как частота биений тем меньше, чем ближе частоты свободных и
вынужденных колебаний, фиксация биений позволяет с большой точностью
установить равенство частот колебаний, когда частота биений падает до нуля, т.е.
констатировать состояние резонанса.
В реальных контурах, работающих при небольших расстройках, свободная
составляющая затухает по экспоненте (1.80), размах биений уменьшается до
установившегося значения ucпр = UCm sin(ωt +αuc )							за время tПП = 3τ = 3
								β
(рис. 1.27 в). Как было показано выше (1.84), время установления колебаний
прямо пропорционально добротности контура.

1.15. Рекомендации по расчёту переходных процессов классическим методом в разветвлённых электрических цепях

Порядок расчёта переходных процессов классическим методом изложен в § 1.4. Однако общий подход не всегда обеспечивает наиболее рациональное (и простое) решение конкретной задачи, особенно когда цепь разветвлённая. Кроме того, недостаток навыков в расчётах переходных процессов часто приводит к

4

таким типичным ошибкам, как потеря принуждённой составляющей при интегрировании тока через ёмкость и напряжения на индуктивности, а также к ошибкам при определении постоянных интегрирования через зависимые начальные условия и ряду других.

Рассмотрим примеры решения (в общем виде) типовых задач, соответствующих уровню заданий на курсовое проектирование по основам теории цепей [12].

Пример 1.1.

Цепь

(рис. 1.28) включается на

постоянное

напряжение;

uc (0− )= 0 . Найти токи и напряжение на ёмкости.

i

S

a

Решение

задачи удобно

начинать

+

R i2

сразу с составления характеристичес-

i1 R

uc

кого

уравнения

по

следующим

1

2

соображениям:

во-первых,

это

U

e

C

c

d

самостоятельная задача,

5

так как

характеристическое

уравнение

i3 R3

i

R4

зависит только от схемы цепи; во-

-

b

i4

вторых, вид его корней определяет

выражение для свободного процесса в

Рис. 1.28

цепях

второго (и

более

высокого)

порядка.

Zвх(p) со

При

попытке

найти

стороны

входных

зажимов

возникает

трудность, связанная с необходимостью преобразования треугольника сопротивлений a-d-c в эквивалентную звезду. Этого можно избежать, если составить входное сопротивление относительно ветви, содержащей ёмкость.

Условно разорвав ветвь cd и закоротив источник напряжения (так как его Ri = 0), получим следующую цепь (рис. 1.29).

Рис. 1.29

							Z	вх			(p)=		1	+ R						+ R ,
													pC		24					13
							R2 R4														R1 R3
где R	= (R				R	)=				; R		= (R						R )		=		.
24	2				4		R2 + R4				13		1					3			R1 + R3
Приравняв Zвх(p) к нулю, найдём корень характеристического уравнения
							p = −					1							.	(1.87)
									(R			+ R )C
											24		13

5

Следующий шаг – выбор неизвестной величины, с нахождения которой

следует начинать расчёт. Для схемы на рис. 1.28 – это напряжение на ёмкости; для

него задано независимое начальное условие uc (0+ )= 0 , через которое можно

найти ток i

= C

duc

.

5

dt

uc = uc пр +uc св = uc пр + Ae pt ;

(1.88)

uc пр =ϕc −ϕd ; ϕc , ϕd

- потенциалы точек с и d относительно узла b.

Приняв ϕb = 0 , найдём

U

U

u

c пр

=

R

−

R .

R

+ R

R

+ R

3

4

1

3

2

4

Используя второй закон коммутации uc (0− )= uc (0+ )= 0, найдём А:

0 = uc пр + Ae p0 ; A = −uc пр;

);

R3

R4

pt

uc =U

−

(1−e

(1.89)

R

+ R

R

+ R

1

3

2

4

i

= C

duc

= CpA pt

= A e pt

;

(1.90)

5

dt

5

i5 (0+ )= CpA.

t = 0+ uc (0+ )= 0 ,

Найдём зависимые

начальные условия.

При

ϕc (0+ )=ϕd (0+ ). Схема замещения цепи (рис. 1.28) имеет вид

R1

c

R

i (0+)

3

a

i1

(0+ )

i5

(0+ )

b

R2

R4

d

i2 (0+ )

U

U

Рис. 1.30

i(0+ )=

; R12 = (R1

R2 ); R34 = (R3

R4 );

R12

+ R34

i

(0

+

)= i(0

+

)

R2

;

i

2

(0

+

)= i(0

+

)

R1

.

R

+ R

R

+ R

1

1

2

1

2

i = i

+ A e pt

;

i

2

= i

2 пр

+ A e pt

,

1

1 пр

1

2

где i

пр

=

U

;

i

2

пр

=

U

.

R + R

R

+ R

1

2

1

3

4

6

i1(0+ )= i1 пр + A1, следовательно,

A1 = i1(0+ )−i1 пр;

i2 (0+ )= i2 пр

+ A2

, следовательно,

A

= i

2

(0

+

)−i

2 пр

.

2

Остальные токи найдём, используя 1-й закон Кирхгофа для узлов a, c, d (рис.

1.28):

i = i1 +i2 ; i3 = i1 −i5; i4 = i2 + i5 .

+ De pt .

Для проверки правильности решения можно найти ток i = i

U

пр

i

пр

=

; D = i(0+ )−i пр .

(R

+ R

)(R

+ R )

1

3

2

4

Пример 1.2

Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация. В цепи действует постоянная ЭДС Е. Определить законы изменения во времени

напряжения uc и тока i2 .

i1	R1	a	i	L
			3

i		uL
2		II	S
I	C uC
			t=0

E

R3

R2

Рис. 1.31

Составим характеристическое уравнение. Наиболее простым оказывается уравнение, если записать Zвх(p) относительно ветви, содержащей индуктивность

1

R

R

+

pC

Z

вх

(p)=

R

+ Lp +

1

2

.

3

R

+ R

+

1

1

2

pC

Сократив дробь на

pC

и приравняв

Zвх(p) к нулю, получим

характеристическое уравнение

(R1 + R2 )LCp2 +[(R1R2 + R1R3 + R2 R3 )C + L]p + R1 + R3 = 0,

7

откуда находим корни

p1

и

p2 .

Поскольку требуется найти напряжение на

ёмкости uC , задачу целесообразно решать через uC , а затем найти ток

i2 по

формуле i

= C

duC

.

2

dt

uC = uC пр +uC св = uC пр + Ae p1t + Be p2t ,

(1.91)

где uC пр = E

R3

.

R1

+ R3

Найдём постоянные интегрирования А и В. Для этого необходимо составить

два уравнения для момента t = 0+ .

uc (0− )= uc (0+ )= 0, из

На основании второго

закона

коммутации

выражения (1.91) получим

uc (0+ )= 0 = uC пр + Ae p1 0 + Be p2 0 ;

A + B = −uC пр

= −

ER3

.

(1.92)

R1 + R3

Для составления второго уравнения для А и В найдём ток i2 :

i

= C

duC

= Cp Ae p1t +Cp

2

Ae p2t .

(1.93)

2

dt

1

Вычислим ток i2 (0+ ).

Для цепи (рис. 1.31) составим два уравнения по законам Кирхгофа

i1 (0+ )= i2

(0+ )

+ i3 (0+ )

(для

узла а);

(1.94)

E =

R i (0

+

)+ u

C

(0

+

)+ R

2

i

2

(0

+

)

(для контура I ).

(1.95)

1 1

В уравнении (1.95) uc (0+ )= 0 , а ток i3 (0+ ) в выражении (1.94) должен удовлетворять первому закону коммутации

i3 (0− )= i3 (0+ )= E .

R1

После подстановки выражения (1.94) в выражение (1.95)

E = R	i		(0				)+		E		+ R	i		(0		),
									R
1		2				+					2		2		+
откуда i2 (0+ )= 0 .									1
					(0			)= 0 = Cp Ae p1t +Cp										Ae p2t
Из выражения (1.93) следует i				2			+										2		;
											1
p1A + p2 B = 0.																			(1.96)

В заданиях на курсовую работу [12] численные значения параметров подобраны таким образом, что корни характеристического уравнения p1 и p2 - вещественные и различные, т. е. переходный процесс апериодический.

8

Объединив уравнения (1.92) и (1.96) в систему, найдём постоянные

интегрирования А и В				ER
A + B = −					3	;
				R1
					+ R3
p A + p		2	B = 0;
	1

A = −

p2

ER3

B =

p1

ER3

;

.

p

− p

R + R

p2

2

− p1

R1 + R3

1

1 3

После подстановки А и В в выражения (1.91) и (1.93) получим выражения для переходных напряжения uC и тока i2 .

Пример 1.3 Для цепи на рис. 1.31 определить ток i3 и напряжение на индуктивности uL .

В этой задаче наиболее просто сначала найти ток через индуктивность (i3 ), а

затем напряжение uL = L

di3

:

dt

+ A e p1t + B e p2t

i

= i

пр

+i

= i

пр

,

(1.97)

E

3

3

3 св

3

3

3

где i

=

;

p

и

p

2

- корни характеристического уравнения (см. пример

R

+ R

3 пр

1

1.2).

1

3

Используя первый закон коммутации i3 (0− )= i3 (0+ )= E , составим первое

R1

уравнение для определения постоянных интегрирования A3 и B3

i3(0+)=i3пр +A3e p10 +B3e p20

				A3 + B3 = i3(0+ )−i3 пр =																					E			E				R E
																										−				=		3		.	(1.98)
																									R		R	+ R			R	(R + R )
																								1			1		3		1	1	3
	Для составления второго уравнения для A3 и B3 , дифференцируя ток (1.97),
получим напряжение uL														di3
								u		L	= L							= Lp A e p1t + Lp											B e p2t .						(1.99)
														dt								1 3							2 3
	Найдём uL (0+ ). Составим уравнения равновесия токов и напряжений для
цепи на рис. 1.31:
i1(0+ )= i2 (0+ )+ i3 (0+ )														(для узла a);																			(1)		(1.100)
E	= R i (0			+	)+ u			C		(0	+	)+ R i				2		(0	+	)		(для контура I );											(2)
			1 1											2
u	(0	+	)+ R i			(0	+		)− R i				2	(0	+		)−u				C	(0	+	)=		0	(для контура II ).						(3)
L				3 3								2

9

В уравнениях (1.100) uc (0− )= uc (0+ )= 0; i3 (0− )= i3 (0+ )= E ; i2 (0+ )= 0

R1

(см. пример 1.2).

Из третьего уравнения (1.100) следует

u

L

(0

+

)= −R i

(0

+

)

= −

R3

E .

(1.101)

3 3

R1

уравнение для A3 и B3

Используя выражение

(1.99), составим второе

(t = 0+ )

R3

u

L

(0

+

)= −

E = Lp A + Lp

B .

(1.102)

R1

1

3

2 3

Объединив уравнения (1.98) и (1.102) в систему, найдём постоянные

интегрирования A3 и B3

R3E

A3 + B3

=

,

R1

(R1 + R3 )

R3

E,

Lp1 A3 + Lp2 B3 = −

R1

ER3

p2

откуда A3 =

1

+

,

R

(p

2

− p )

R

+ R

L

1

1

1

3

ER3

p1

1

B = −

+

.

)

+ R

L

3

R (p

2

− p

R

1

1

1

3

После подстановки A3 и B3 в выражения (1.97) и (1.99) получим окончательно выражения для тока i3 и напряжения uL .

Рассмотренные примеры позволяют наметить некоторые приемы расчёта переходных процессов в разветвлённых электрических цепях.

1. В разветвлённых цепях первого порядка Zвх(p) будет, как правило,

проще, если его составить относительно ветви с реактивным элементом L или C

(пример 1.1).

2. Если цепь имеет второй порядок, перед тем как написать Zвх(p), следует

проанализировать схему, сделать возможные упрощения (например, параллельно соединенные резисторы заменить одним эквивалентным и т.п.), выбрать ветвь,

относительно которой формула Zвх(p) будет наиболее простой (пример 1.2).

3. В цепях второго порядка расчёт рекомендуется вести либо через напряжение на С, если требуется найти uC и (или) ток в ветви с С, либо

относительно тока через L, если искомыми являются ток в ветви с L и (или) напряжение на L (примеры 1.2 и 1.3). Остальные токи и напряжения, как правило, можно найти через полученные величины с помощью законов Кирхгофа.