21

1.7. Короткое замыкание RL-цепи

	R1	i
+
U	t = 0		R
	S
		e	L	uL

-

Рис. 1.10

В цепи (рис. 1.10), к которой приложено постоянное напряжение U, в момент t=0 ключ S замыкает накоротко индуктивную катушку RL. Найти законы изменения тока в катушке, ЭДС самоиндукции и напряжения на индуктивности.

Переходный ток i = iпр +iсв .

В установившемся режиме после коммутации iпр = 0 и i = iсв . Свободный ток iсв =Ae pt - результат решения однородного дифференциального уравнения

L

diсв

+ Ri = 0,

характеристическое

уравнение

которого Lp + R = 0

имеет

dt

св

корень p = − R .

1

L

A

Постоянную

интегрирования

найдём,

используя первый

закон

коммутации: i(0− ) = i(0+ ) =

U

.

R1 + R

U

= Ae−

R

0 , откуда A =

U

Для t = 0

L

.

+ R

+ R

R + R

1

1

Таким образом, ток в цепи после коммутации

U

R

U

e−

t

i = iсв

=

e−

t

=

,

(1.24)

L

τ

R1 + R

R1 + R

22

U

i

R1 +R

i

= i св

=

U

e

−t

τ

R 1

+ R

0

L

3 τ

t

τ

=

R

2 τ

t пп =

3 τ

а

uL

e

e =

R

U −t τ

R

+ R e

1

0

τ

2τ

3τ

t

uL = −

R

U −t τ

R + R e

1

б

Рис. 1.11

ЭДС самоиндукции e = −L di

R

Ue−

t

=

R

τ ,

(1.25)

dt

+ R

напряжение на индуктивности

1

23

	uL = −e = L	di		R	Ue−	t
			= −			τ .		(1.26)
		dt		R1 + R

С энергетической точки зрения переходный процесс в цепи состоит в том, что энергия, накопленная к моменту коммутации в магнитном поле катушки, во время переходного процесса рассеивается в виде тепла на активном сопротивлении R. На рис. 1.11 изображены кривые, построенные по формулам

(1.24) – (1.26).

1.8. Перенапряжение. Искровой разряд

При размыкании цепи, содержащей индуктивную катушку (рис. 1.12 а),

ток резко уменьшается и ЭДС самоиндукции e = −L dtdi может быть весьма

значительной. На контактах, разрывающих цепь, появляется перенапряжение, равное сумме напряжения питания и ЭДС самоиндукции. При напряжении около 300 В между расходящимися контактами возникает искровой разряд (электрическая дуга).

Перенапряжение на индуктивной катушке и сопровождающая его искра на контактах – нежелательные явления, которые необходимо иметь в виду при разработке схем, содержащих катушки с большой индуктивностью.

Перенапряжение может вызвать пробой изоляции; искрение приводит к эрозии, обгоранию контактов и сокращает срок их службы. Кроме того,

i	S		i	t = 0
+			+
	t =0			S
U		R	U	R
	e			Rp
		L		L
-			-
	а			б

		24
+	i	S
		t =0
		R
U		VD
		L

-

в

Рис. 1.12

искровой разряд между контактами является одной из причин импульсных помех

врадио- и проводных линиях связи.

Вчастности, интенсивные радиопомехи создают коллекторные электрические машины. Это объясняется резкими изменениями тока при переходе щёток с одной коллекторной пластины на другую и сопутствующему этому процессу искрению.

Снижение перенапряжений и искрогашение осуществляют с помощью специальных схем, не допускающих резких изменений тока в цепи с индуктивностью. Например, обмотку возбуждения (рис. 1.12 б) мощной электрической машины (при необходимости снять возбуждение) замыкают на

разрядное сопротивление Rp . Подобным образом поступают при динамическом

торможении двигателя постоянного тока, шунтируя обмотку якоря сопротивлением.

В маломощных цепях параллельно с индуктивной катушкой включают диод (рис. 1.12 в). Если в качестве ключа S используют транзистор, то при его запирании (размыкании ключа) диод защитит транзистор от пробоя.

Заметим, что схемы на рис. 1.12 б, в замедляют затухание тока в цепи.

Время переходного процесса tПП = 3τ = 3 RL будет тем меньше, чем больше сопротивление R контура.

1.9. Включение RC-цепи на постоянное напряжение

Известны напряжение U , параметры цепи R и C ; напряжение uC (0− ) = 0. Найти ток i и напряжения uR и uC после коммутации.

				25
	i	S	t = 0	R
+
				uR	С
U
					uC

-

Рис. 1.13

Уравнение равновесия напряжений для контура на рис. 1.13 имеет вид

Ri+uc =U.

	Выразив ток i через напряжение u			C	i = C	duc	, получим
						dt
		duc
	RC		+uc =U , (t > 0).					(1.27)
		dt
	Переходное напряжение на ёмкости

u =u

+u

=U+Ae pt.

(1.28)

c

cпр

cсв

Характеристическое уравнение

R +

1

= 0 или RCp +1 = 0

Cp

имеет корень

p

= −

1

, откуда

постоянная времени

цепи τ =

1

= RC .

1

RC

p1

Используя второй закон коммутации, находим независимое начальное условие

uC (0− ) = uC (0+ ) = 0

и постоянную интегрирования из формулы (1.28)

uC (0+ ) = 0 =U + Ae p 0 ; A = −U .

Окончательно

uC =U −Ue

− t

−e

−t

(1.29)

RC =U 1

τ .

Переходный ток в контуре

t

i = C

du

c

U

e

−

=

RC .

(1.30)

dt

R

Напряжение на активном сопротивлении

26

uR = Ri =Ue

− t

−t

RC =Ue

τ .

(1.31)

Закон изменения ёмкостного сопротивления в переходном режиме

−t

τ

(t) = uc

U 1−e

XC

=

= R(e tτ −1) .

i

U e−tτ

R

Графики uC , uR , i , Xc (t) представлены на рис. 1.14.

uc

t пп=3 τ

ucпр= U

U

u

= u

cпр

+u

=U(1−e −t τ)

c

с в

0

τ

t

τ

2τ

3

−t τ

uCсв = −Ue

uR

а

i

U

U

uR = Ue −t

τ

R

i =

U

e

−t τ

R

0

τ

2τ

3τ t

б

Рис. 1.14