27

XC (t)

0

τ	2τ		3τ t

в

Продолжение рис. 1.14

1.10. Короткое замыкание RC-цепи

Заданы параметры цепи, напряжение U ; uC (0− ) =U .

Найти ток разряда конденсатора и напряжение uC после замыкания ключа S.

Уравнение по второму закону Кирхгофа для цепи (рис. 1.15) после коммутации

+	i
	R1

U	t = 0		R
S

uC C

-

Рис. 1.15

28
Ri +uC = 0; RC	duc	+uC = 0; t > 0.	(1.32)
	dt

Принуждённая составляющая напряжения на конденсаторе ucпр =0.
Решение однородного уравнения (1.32):
									t	t
		u =u			=Aep1t=Ae− RC =Ae−					τ ,	(1.33)
		c	cсв
где p1 – корень характеристического уравнения
		RCp +1 = 0;						p	= − 1 ;	τ = RC .
								1	RC
Постоянную интегрирования A определим из начальных условий, используя
второй закон коммутации						uC (0− ) = uC (0+ ) =U .
При t = 0 A =U из выражения (1.33)
								−	t
					u =Ue RC ;						(1.34)
						c			− t
				i =C		du	=−	U			(1.35)
						c		R	e RC .
						dt
Графики uC и i показаны на рис. 1.16.
u	c	i
U
						u = u			=Ue−t τ
							c	св
	0			τ=RC						3τ	t
									2τ
					i =i		= −	U	e− t τ
−U						c в		R
	R						Рис. 1.16

29

Переходные процессы в RC-цепях находят широкое практическое применение. В электротехнике интерес представляют импульсы тока большой амплитуды – экстратоки, возникающие при заряде и разряде конденсаторов большой ёмкости через малые сопротивления. В электронных схемах переходные процессы в RC-цепях являются причиной переходных искажений. Использование переходных процессов в RC-цепях для формирования сигналов рассмотрено в третьей главе пособия.

1.11. Включение RL-цепи на синусоидальное напряжение

При включении RL-цепи (рис. 1.17) на синусоидальное напряжение

u =Um sin(ωt +αu )

Дифференциальное уравнение имеет вид

i	S	R

u

L

Рис. 1.17

L

di

+ Ri =Um sin(ωt +αu ).

(1.36)

dτ

Принуждённая составляющая переходного тока

iпр = Im sin(ωt +αi ) = Im sin(ωt +αu −ϕ),

где Im =

Um

; ϕ = arctg

ωL

.

R2 +(ωL)2

R

−

R

t

−

t

Свободная

составляющая,

как и

прежде

(1.15), равна i

=

= Ae L

Ae τ ,

L – постоянная времени.

cв

где

τ =

R

t

i = i

+i

= I

sin(ωt +α

−ϕ) + Ae

−

Переходный ток

m

u

τ .

пр

св

30

Используя первый закон коммутации i(0− ) = i(0+ ) = 0,

найдём постоянную

интегрирования

0 = Im sin(αu −ϕ) + A; A = −Im sin(αu −ϕ).

i =I sin(ωt +α)−I

− t

Окончательно получим

sinα e

τ

,

(1.37)

m

i

m

i

где αi =αu −ϕ.

i

i

(

+αi

)

пр = Im sin ω t

I m sin αi

i = i пр+ iсв

0

t

− Imsin αi αi

τ

2τ

3τ

iсв =− I m sin αie−t τ

Рис. 1.18

i

π

i

= I

пр

m

sin ωt +

I m

2

0

ωt

π

π

t

− I m

2

i св	imax
i = iпр + iсв			а
		π
αi	=αu −ϕ =
		4	π
Рис. 1.18	б	αi =
			2

На рис. 1.18 а, б изображены кривые переходного тока для двух значений начальной фазы αi принуждённого тока и различных постоянных времени τ свободного тока. Они показывают, что ток i во время переходного процесса