18

Важнейшей характеристикой четырёхполюсника является передаточная

функция* – отношение изображения по Лапласу			выходного напряжения
Uвых( p) ко входному Uвх( p) при нулевых начальных условиях (рис. 2.5 а).
K( p) =	Uвых( p)	.	(2.28)
	Uвх( p)

K( p) не зависит от Uвх( p) и определяется только схемой цепи. Она удобна для составления уравнений и исследования линейных систем.

Uв(p)

х

а

(p)

К(р)

U

вы

(p)

Uв

К

(

р

)

К

(

р

)

К

( )

Uвы(p)

х

х

1

2

n

р

х

б

Рис. 2.5

Передаточная функция системы выражается через передаточные функции отдельных её звеньев. Например, если четырёхполюсники (звенья) соединены последовательно (рис. 2.5 б), то передаточная функция системы из n звеньев равна произведению передаточных функций всех звеньев

K( p) = K1( p) K2 ( p)LKn ( p) .

(2.29)

Передаточная функция параллельного соединения n звеньев равна сумме их передаточных функций

K( p) = K1( p) + K2 ( p) +L+ Kn ( p).

(2.30)

Передаточные функции широко применяются не только для решения задач анализа, но и для обоснования методов синтеза линейных электрических цепей

[3,4].

2.6. Связь между преобразованиями Лапласа и Фурье

При замене p на jω в выражении (2.28) получим комплексную передаточную функцию четырёхполюсника (по напряжению)

	K( jω) =	Uвых( jω)	;	(2.31)
		Uвх( jω)
	K ( jω) = K (ω)e jϕk (ω) ,			(2.32)

Кроме принятого здесь обозначения передаточной функции K( p) [1,3,5],

используются другие обозначения: H(p) [2, 4], T ( p) [10], W ( p).

19

	где K(ω) =	Uвых(ω)	– передаточная АЧХ,	(2.33)
		Uвх(ω)
	ϕk (ω) = αuвых (ω) −αuвх (ω) – передаточная ФЧХ
	четырёхполюсника.			(2.34)

Значение комплексной передаточной функции на некоторой определённой частоте (комплексное число) называется комплексным коэффициентом передачи (по напряжению)

	&	U&вых
	K =		&			(ω = const ).	(2.35)
			Uвх				>1 выражает коэффициент
Модуль K (коэффициент передачи) при K
усиления, при	K <1 – коэффициент ослабления четырёхполюсника (звена) по
напряжению.	на jω в формуле (2.1) означает,
Замена p							что преобразование Лапласа
переходит в одностороннее прямое преобразование Фурье
				∞
	S( jω) =			∫ f (t)e− jωt dt ,			(2.36)
				0

где комплексная функция частоты S( jω) выражает комплексный спектр, точнее, комплексную спектральную плотность функции f (t) . Модуль S( jω) называют

спектром амплитуд или просто спектром.

Таким образом, комплексная передаточная функция K ( jω) (2.31) – это

отношение комплексных спектров напряжений на выходе и входе четырёхполюсника:

K( jω) =	Uвых( jω)	=	Sвых( jω)	.	(2.37)
	Uвх( jω)
			Sвх( jω)

Преобразование Фурье обладает теми же свойствами, что и преобразование Лапласа. С его помощью осуществляется представление вещественных функций времени f (t) в виде комплексных функций частоты S( jω) .

Оба преобразования Лапласа и Фурье широко применяются для расчёта переходных процессов и спектров сигналов на выходе линейных

четырёхполюсников. Так, из выражений (2.28) и (2.37) следует:
Uвых( p) = K( p)Uвх( p);	(2.38)
Sвых( jω) = K( jω) Sвх( jω) ,	(2.39)

т.е. для получения изображения (спектра) сигнала на выходе четырёхполюсника необходимо найти изображение (спектр) входного сигнала uвх(t); определить

передаточную	функцию	четырёхполюсника ( K( p) или K( jω)); вычислить
Uвых( p) и	Sвых( jω)	по формулам (2.38) и (2.39) и далее перейти от

20

изображения (спектра) к оригиналу uвых(t), используя способы, изложенные в § 2.3, или с помощью обратного преобразования Фурье

∞
uвых(t) = 21π −∫∞Sвых( jω) ejωtdω.	(2.40)

На практике переходный процесс на выходе четырёхполюсника исследуют, как правило, при действии на его входе прямоугольного импульса. По форме выходного импульса оценивают переходные искажения (спад вершины импульса, искажение фронтов и др.).

Использование операторного метода для расчёта частотных и переходных искажений в электронных схемах рассмотрено в учебном пособии [8]. Методы вычисления спектров детерминированных сигналов – в пособии [7].

2.7. Примеры расчета переходных процессов операторным методом

Пример 2.1

Схема цепи, в которой происходит коммутация, приведена на рис. 1.28; uc (0 _ ) = 0. Требуется найти ток i5 в ветви cd и напряжение на ёмкости uc .

I( p)				a
+					I	( p)
I1	( p)	R1	p	1	R2 2
U		I5(		pC
			)			d
p	c			UC(p)
I3 ( p)		R 3			R4 I	(p)
-				b	4

Рис. 2.6

Составим операторную схему замещения (рис. 2.6). Для нахождения только одного тока в цепи целесообразно использовать теорему об эквивалентном генераторе

I5	( p) =		Ucd		xx	( p)	,	(2.41)
			1		+ Rэcd
			pC

где Ucd xx ( p) - напряжение холостого хода между узлами c и d (ветвь cd условно разорвана); Rэ cd - эквивалентное сопротивление цепи относительно зажимов cd (внутреннее сопротивление эквивалентного генератора).

Ucd ( p) =ϕc ( p) −ϕd ( p) =	U		R3	−	U		R4	, (2.42)
			R1 + R3				R2 + R4
	p				p

где ϕc ( p),ϕd ( p)- потенциалы узлов c и d относительно узла b.

21

Rэ

сd = (R1

R3 ) +(R2

R4 ) = R13 + R24 .

(2.43)

Подставив формулы (2.42) и (2.43) в формулу (2.41), найдём изображение тока

I5 ( p) :

U

R3

R4

R3

R4

−

UC

−

R3

R2

R2

+

F1( p)

I5 ( p) =

p R1 +

+ R4

=

R1 + R3

R4

=

.

1

+ (R13

+ R24 )

1 + p(R13 + R24 )C

F2 ( p)

(2.44)

pC

Для перехода от изображения I5 ( p) к оригиналу i5 используем вариант

формулы разложения, когда в знаменателе

I5 ( p)

отсутствует нулевой корень

(2.25):

F ( p )

p t

i

=

1

1

e

1

,

(2.45)

5

F

′( p )

2

1

где p1- корень уравнения

F2 ( p) = 0;

1

p1

= −

.

(2.46)

(R13 + R24 )C

Отметим,

что уравнение

F2 ( p) = 0

совпадает

с

характеристическим

уравнением в примере 1.1, (§1.15);

F

′

( p ) = (R

+ R

24

)C;

2

1

13

R3

R4

R3

R4

− R

− R

+ R

UC R

+ R

2

+ R

p t

U R

+ R

4

p t

i

=

1

3

4

e

1

3

2

e

1

=

1 .

5

C(R13 + R24 )

R13 + R24

(2.47)

Изображение напряжения на конденсаторе с учётом формулы (2.44)

R3

R4

−

1

U

F1( p)

UC ( p) =

I5 ( p)

=

R1 + R3

R2 + R4

=

.

(2.48)

Cp

[1+ p(R13 + R24 )C]p

pF2 ( p)

Формула разложения при наличии в знаменателе нулевого корня имеет вид

(2.24), откуда найдём оригинал uC

R3

R4

−

F1

(0)

F1

( p)

R3

R4

U

R

+ R

R

+ R

p1t

2

p1t

1

3

4

uC =

+

e

=U

−

+

e

;

F2

(0)

R2

1

p1F2′( p1 )

R1 + R3

+ R4

−

(R

R

)C

(R13+ R24 )C

24

13+

22

	R3			R4					p1t
								−e
uC =U			−				(1			).	(2.49)
	R + R			R + R
	1	3		2	4
Полученные выражения	для	тока		i5	(2.47)			и напряжения			uC (2.49)

полностью совпадают с ранее найденными классическим методом i5 (1.90) и uC

(1.89).

Изложенный подход может быть использован для определения любого из токов в цепи (рис. 2.6).

Пример 2.2

В цепи на рис. 2.7 происходит коммутация. Требуется найти изображения токов и напряжений на L и C.

	S	t=0
	i1			i3		R3
		R2	i2
	E		C	uC		uL L
		R1
			Рис. 2.7			I3 ( p)
	I1 ( p)		1 U1	( p)	R
						3
		1		I 2 ( p)		pL
		pC				U L ( p)
E	uC	(0 _ )		UC ( p)
p
		p			Li3 (0 _ )
	R1

2

Рис. 2.8

Составим операторную схему замещения (рис. 2.8), на которой внутренние ЭДС обусловлены независимыми начальными условиями:

uC (0 _ ) =		E R3	;	i3	(0 _ ) =		E		.
	R1	+ R2 + R3				R1	+ R2
								+ R3

23

Как видно из схемы на рис. 2.8, наиболее просто можно найти UC ( p) ,

используя метод узловых потенциалов (двух узлов).

Заземлив узел 2, для узла 1 составим уравнение

У11( p)U1( p) = I11( p).

(2.50)

Узловая проводимость

1

1

У11( p) =

+ pC +

.

(2.51)

R1

R3 + pL

Узловой ток

E

1

uC

(0 _ )

Li3

(0 _ )

I11( p) =

+

pC −

.

(2.52)

p

R1

p

R3 + pL

После подстановки выражений (2.51) и (2.52) в выражение (2.50) найдём

UC ( p) =U1( p).

Используя обобщённый закон Ома, получим изображения токов в ветвях и

напряжения на индуктивности (не

раскрывая UC ( p)

из-за громоздкости

выражений):

E

0 −UC ( p) +

I1( p)

=

p

;

I2 ( p) =[UC ( p) −

uC (0 _ )

]pC;

R1

p

I3 ( p) =

UC ( p) + Li3 (0 _ )

;

U L ( p) = pLI3 ( p) − Li3 (0 _ )

или

R3 + pL

U L ( p) =UC ( p) − R3 I3 ( p).

В заданиях на курсовую работу [12] требуется рассчитать только одну из величин: ток или напряжение. В этой ситуации рекомендуется получить изображение искомой величины, а затем перейти к оригиналу. Хотя можно

поступить иначе: если сначала найти оригинал uC , то остальные токи и напряжение uL в схеме на рис. 2.7 можно рассчитать в вещественной форме, используя законы Кирхгофа и формулы, связывающие напряжение и ток на L и C:

i

=

E −uC

;

i

2

= C

duC

;

i = i +i

2

;

u

L

= L

di3

.

1

R1

dt

3 1

dt

Однако такой подход часто усложняет решение задачи.

24

ГЛАВА 3 Расчёт переходных процессов при произвольных внешних воздействиях

3.1. Единичная ступенчатая функция. Единичная импульсная функция

Единичная ступенчатая функция (синонимы: единичная функция, единичный скачок, единичное ступенчатое воздействие, функция включения, функция Хевисайда) изображена на рис. 3.1 а.

1(t)

δ(t)

∞

δ(t −t0 )

∞

1

t

t

t

0

0

0

t0

а

б

в

Рис. 3.1

Математическая запись единичной ступенчатой функции

0

при

t < 0,

1(t) =

при

t ≥ 0.

(3.1)

1

Единичная импульсная функция (синонимы: единичный импульс, дельтафункция δ(t), единичное импульсное воздействие, функция Дирака) определяется как производная по времени от единичной ступенчатой функции

δ(t) =	d1(t)	.	(3.2)
	dt

δ(t)не является функцией в обычном смысле, а рассматривается как обобщённая, обладающая интегральными свойствами,

∞		∞		∞−∞ =1−0 =1.
∫	δ(t)dt =	∫d1(t) =1(t)			(3.3)
−∞		−∞

Единичная импульсная функция - чётная функция, равная нулю при всех значениях t , кроме точки t = 0 , в которой она имеет бесконечное значение (рис. 3.1 б); площадь δ(t) равна единице.

Так как δ(t) = 0 везде, кроме t = 0, то

	∞	∞
	∫ f (t)δ(t)dt = f (0) ∫δ(t)dt =f (0).		(3.4)
	−∞	−∞
В бесконечно	малой	окрестности точки 0 непрерывная	функция f (t)
постоянна и равна	f (0) ;	вынося f (0) за знак интеграла и используя формулу

(3.3), получим формулу (3.4). Можно также записать, что