11.2. Основы теории зубчатого зацепления

Профили зубьев пары колес должны быть сопряженными, т. е. заданному профилю зуба одного колеса должен соответствовать вполне определенный профиль зуба другого колеса. Чтобы обеспечить посто­янство передаточного числа, профили зубьев нужно очертить такими кривыми, которые удовлетворяли бы требованиям основной теоремы зацепления.

Основная теорема зацепления. Для доказательства теоремы рассмот­рим пару сопряженных зубьев в зацеплении (рис. 11.6). Профили зубьев шестерни и колеса касаются в точке S, называемой точкой зацепления. Центры вращения О, и 0₂ расположены на неизменном расстоянии а„ друг от друга. Зуб шестерни, вращаясь с угловой скоростью со,, ока­зывает силовое действие на зуб колеса, сообщая последнему угловую скорость ω₂. Проведем через точку S общую для обоих профилей ка­сательную ТТ и нормаль NN. Окружные скорости точки S относитель­но центров вращения О₁ и 0₂

Разложим v₁ и v₂ на составляющие v\ и v'₂ по направлению нормали NN и составляющие v"₁ и v"₂ по направлению касательной ТТ. Для обеспечения постоянного касания профилей необходимо соблю­дение условия V₁ = v₂, в противном случае при v, < v₂ зуб шестер­ни отстанет от зуба колеса, а при v\ > v'₂ произойдет врезание зубь­ев. Опустим из центров О₁ и 0₂ перпендикуляры 0₁В и 0₂С на нор­маль NN.

Нормаль NN пересекает линию центров 0₁ 0₂ в точке П, называ­емой полюсом зацепления. Из подобия треугольников 0₂ПС и 0,ПΒ

0₁C/O_lB=0₁n/O_ln = r_w2/r_wl. Сравнивая отношения (11.1) и (11.2), получаем

Таким образом, основная теорема зацепления формулируется так: для обеспечения постоянного передаточного числа зубчатых колес профи­ли их зубьев должны быть очерчены по кривым, у которых общая нормаль NN, проведенная через точку касания профилей, делит расстояние между центрами 0₁ 0₂ на части, обратно пропорциональные угловым скоростям.

Полюс зацепления П сохраняет неизменное положение на линии центров 0₁ 0₂, поэтому радиусы r_w1 и r_w2 также неизменны.

Окружности радиусов r_w1 и r_w2 называют начальными. При вращении зубчатых колес начальные окружности перекатываются друг по другу без

скольжения, о чем свидетельствует равенство окружных скоростей со,г_ю, = aty^, полученное из формулы (11.3).

Из множества кривых, удовлетворяющих требованиям основной теоремы зацепления, практическое применение в современном маши­ностроении получила эвольвента окружности, которая:

а) позволяет сравнительно просто и точно получить профиль зуба в процессе нарезания;

б) без нарушения правильности зацепления допускает некоторое изменение межосевого расстояния а_w (это изменение может возник­ нуть в результате неточностей изготовления и сборки, деформаций деталей передачи при работе).

Эвольвента окружности (рис. 11.7). Эвольвентой окружности называют кри­вую, которую описывает точка S пря­мой NN, перекатываемой без скольже­ния по окружности радиуса r_ь. Эту ок­ружность называют эволютой или основ­ной окружностью, а перекатываемую прямую NN—производящей прямой.

Характер эвольвентного зубчатого зацепления определяется свойствами эвольвенты (см. рис. 11.7):

1. Производящая прямая NN являет­ ся одновременно касательной к основ- ^Рис- "-⁷- ^Схема образования

эвольвенты нои окружности и нормалью ко всем

производимым ею эвольвентам.

2. Две эвольвенты одной и той же основной окружности эквиди-станты (т. е. расстояние между эвольвентами в направлении нормали везде одинаковое).

3. С увеличением радиуса r_h основной окружности эвольвента ста­новится более пологой и при r_ь -> °° обращается в прямую.

4. Радиус кривизны эвольвенты в точке S₂ равен длине дуги S₀B основной окружности. Центр кривизны эвольвенты в данной точке находится на основной окружности.