Prak_Geom1

однаково орi¹нтованi, то формули (2.15) часто називають

б) Замiна координатних векторiв.3 Â 0даному випадку початки координат спiвпадають, а базиснi вектори рiзнi. Оскiльки O = O , òî x0 = 0, y0 = 0, z0 = 0. Отже формули (2.12)

будуть такi:

x = c11x0 y = c21x0 z = c31x0

+ c12y0 + c13z0;

+ c22y0 + c23z0; (2.15)

+ c32y0 + c33z0:

Розглянемо далi перетворення прямокутних систем координат. При переходi вiд однi¹¨
прямокутно¨ системи координат O~~i j ~k äî iíøî¨ O0~i	0~j 0~k0 ми використову¹мо формули (2.12),
при чому матриця переходу вiд базиса ~i, ~j, ~k	до базиса ~i 0, ~j 0, ~k0 ì๠âèä (2.13). Â

даному випадку на елементи цi¹¨ матрицi накладаються деякi додатковi обмеження. Дiйсно, ¹ координати одиничних вза¹мно ортогональних векторiв ~ 0, ~ 0,

елементи стовпцiв матрицi C i j

~0 в ортонормованому базисi ~, ~, ~

k i j k, тому сума квадратiв елементiв кожного стовпця матрицi

C дорiвню¹ одиницi, а сума добуткiв вiдповiдних елементiв довiльних двох ¨¨ рiзних стовпцiв рiвна нулевi. За формулами (1.16) отриму¹мо:

c11	= cos(~i 0	;~i);	c12	= cos(~j 0	;~i);	c13	= cos(~k 0	;~i);
c21	= cos(~i 0	;~j);	c22	= cos(~j 0	;~j);	c23	= cos(~k 0	;~j);
c31	= cos(~i 0	;~k);	c32	= cos(~j 0	;~k);	c33	= cos(~k 0	;~k):

Звiдси бачимо, що вектори ~i, ~j, ~k в базисi ~i 0, ~j 0				, ~k0 мають координати
~	; c12; c13);	~	; c22	~	; c32; c33):
i(c11		j(c21		; c23); k(c31

Таким чином, сума квадратiв елементiв кожного рядка матрицi C рiвна одиницi, а сума

добуткiв вiдповiдних елементiв довiльних двох рiзних рядкiв дорiвню¹ нулевi.

Квадратна матриця C, яка володi¹ такими властивостями, назива¹ться ортогональною.

Отже, доведено, що матриця переходу вiд одного ортонормованого базиса ~, ~, ~

i j k до iншого

~ 0, ~ 0, ~0

i j k ¹ ортогональною матрицею. Нехай ¢ визначник цi¹¨ матрицi. Доведемо тепер,

ùî ¢ = +1, якщо базиси ~i;~j;~k	i ~i	0;~j 0;~k0 орi¹нтованi однаково, i ¢ = 1, ÿêùî âîíè
		¡

орi¹нтованi протилежно. Дiйсно, оскiльки матриця (2.13) ортогональна, то за правилом множення матриць, використовуючи означення ортогональних матриць, отриму¹мо:

0 c21	c22	c23	1 0 c12	c22	c32	1	= 0 0	1	0 1:
c11	c12	c13	c11	c21	c31		1	0	0
@			A @			A	@		A
B c31	c32	c33	C ¢ B c13	c23	c33	C	0	0	1

Застосовуючи до цi¹¨ рiвностi теорему про визначник матриць, будемо мати: ¢2 = 1, тобто

. Якщо базиси ~ ~ ~ i ~ 0 ~ 0 ~0

¢ = §1 i; j; k i ; j ; k орi¹нтованi однаково, то ¢ > 0, òîìó ¢ = +1, ÿêùî

вони орi¹нтованi протилежно, то ¢ < 0, òîìó ¢ = ¡1.

Отже, формули перетворення прямокутних систем координат мають вид (2.12), де матриця (2.13) ¹ ортогональна.

~~ ~ ~ 0~ 0~0

3Якщо системи координат O i j k i Oi j k

формулами обертання системи координат навколо ¨¨ початку.

101

4 Мiшаний добуток векторiв. Об'¹м тетраедра

Означення мiшаного добутку трьох векторiв. Лема про обчислення мiшаного добутку в ортонормованому правому базисi. Теорема про обчислення мiшаного добутку в довiльному базисi. Властивостi мiшаного добутку. Знаходження об'¹му тетраедра.

, ~

Нехай ~a b i ~c некомпланарнi вектори. Вiд деяко¨ точки M простору вiдкладемо вектори

¡¡! ¡¡! ~ ¡¡!

MA = ~a, MB = b, MC = ~c i побуду¹мо паралелепiпед так, що MA, MB i MC були ребрами

цього паралелепiпеда (див. рис. на стор. 102). Його називають паралелепiпедом, побудованим , ~

на векторах ~a b i ~c. Вiдмiтимо, що в залежностi вiд вибору точки M на даних векторах

можна побудувати цiлу множину паралелепiпедiв, але всi вони рiвнi мiж собою, а тому мають

îäèí i òîé æå îá'¹ì.

Означення

2.3. Мiшаним

(ïîòðiéíèì)

äî-

бутком

некомпланарних

векторiв

, ~

~c,

~a

b,

взятих в даному порядку, назива¹ться об'¹м

паралелепiпеда, побудованого на цих векторах,

взятий

iç

знаком

¾+¿,

ÿêùî

базис

~

~a; b;~c

правий,

i знаком ¾¡¿, ÿêùî

базис

~

~a; b;~c

лiвий. Мiшаний добуток компланарних

, ~

векторiв вважа¹ться рiвним нулевi.

~

Мiшаний добуток векторiв ~a b, ~c

познача¹ться через ~a b~c. Виведемо тепер формулу для

обчислення мiшаного добутку векторiв, заданих координатами в деякому базисi.

, ìà¹

Ëåìà 2.1. Якi б не були довiльний базис

~

i ортонормований правий базис ~ ~ ~

ìiñöå ðiâíiñòü

~a; b;~c

i; j; k

~

~ ~ ~

~

(2.16)

~a b~c = (i; j; k)j(~a; b;~c):

, ~

Доведення. Розглянемо паралелепiпед MADBCA1D1B1, побудований на векторах

~a b, ~c i

побуду¹мо

допомiжну

прямокутну

систему

координат

~ ~

~

Mi0j0k0, координатнi вектори яко¨

вибранi

таким

чином: ~

=

~a

~

i0

j~aj,

вектор

j0

паралельний площинi MAB i направлений так,

ùî ~

~ ,

à

базиси

~

i ~

~

öi¹¨

площини

j0

?

i0

~a; b

i0

; j0

однаково. Вектор

~

орi¹нтованi

k0

направлений

так, що вектори ~

~

~

i0,

j0,

k0 утворюють правий

ортонормований базис. Доведемо, що

~

~

~

~

~

(2.17)

~a b~c = (i0

; j0

; k0)j(~a; b;~c):

Нехай ' кут мiж векторами ~a

i ~

b, òîäi ìà¹ìî

~

~ ~

~

~

~

,

~

~

~

~a = j~aj i0,

b = jbj cos ' ¢ i0 + jbj sin ' ¢ j0

~c = ® i0 + ¯j0 + °k0, äå

~

~

;~c);

~

Отже, в базисi ~

® = j~cj cos(i0;~c);

¯ = j~cj cos(j0

° = j~cj cos(k0;~c):

~

~

~

~

вектори

~

мають координати

, ~

,

i

; j

0

; k

0

d

~a; b;~c

d

~a ~a ;

; 0)

b

b

j cos

';

b

j sin

';

0)

0

(j

j

0d

(j

j

~c(®; ¯; °). Òîäi

(~i0;~j0;~k0) (~a;~b;~c) = ¯

j0j

j~bj sin '

¯

¯ = ~a ~b

sin '

°:

j

¯

~a

~

®

¯

j

jj

j

¢

j j

¯

b cos '

¯

0

0

°

¯

¯

¯

¯

¯

¯

102

~					MADB, à j°j висота даного
Очевидно, j~ajjbj sin ' дорiвню¹ площi паралелограма
паралелепiпеда. При цьому, якщо базиси	~a	, ~,	~c	i ~	~	~
		b		i0,	j0,	k0 орi¹нтованi однаково (тобто

~

ÿêùî ~a; b;~c правий базис), то ° > 0, а якщо ж цi базиси мають протилежну орi¹нтацiю, то

~

~

° < 0. Îòæå, j~ajjbj sin ' ¢ ° = Sîñí. ¢ ° = §V

= ~a b~c: Рiвнiсть (2.17) тим самими доведена.

Îñêiëüêè ~

~

~

~ ~ ~

обидва правi ортонормованi базиси, то згiдно формули (2.17)

i0

; j0

; k0 i

i; j; k

ì๠ìiñöå ðiâíiñòü ~

~

~

~ ~

~

~~

~

, тому також

~ ~

~

~

~

~

. Îòæå,

(i0; j0

; k0)j(i; j; k) = i j k = 1

(i; j; k)j(i0

; j0

; k0) = 1

ìà¹ìî ~ ~

~

~

~ ~ ~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

~

. Таким

(i; j; k)j(~a; b;~c) = (i; j; k)j(i0

; j0

; k0)¢(i0; j0

; k0)j(~a; b;~c) = 1¢(i0

; j0

; k0)j(~a; b;~c) = ~a b~c

чином, рiвнiсть (2.16) доведена.

Теорема

2.4. ßêùî

вектори

~

â

довiльному базисi

~e1;~e2;~e3

мають

координати

~a; b;~c

~a(a1; a2; a3)

, ~

b(b1; b2; b3), ~c(c1; c2; c3) , то викону¹ться рiвнiсть

~a~b~c = ¯

a2

b2

c2

¯

¢

~e1~e2~e3:

(2.18)

¯

a

b

c

¯

¯

a1

b1

c1

¯

3

3

3

¯

¯

¯

¯

¯

¯

~

Доведення. Якщо вектори ~a; b;~c компланарнi, то рiвнiсть (2.18) очевидна, тому розглянемо

випадок, коли вони некомпланарнi. Нехай ~ ~ ~

i; j; k деякий ортонормований базис, позначимо через ¢ визначник, що сто¨ть в правiй частинi рiвностi (2.18), тодi згiдно рiвностi (2.10) i властивостей 2± i 3± íà ñòîð. 98 ìà¹ìî

~ ~ ~

~

~

¢ = (~e ;~e ;~e

)

(~a;~b;~c) = [(~e

;~e

;~e

)

(~i;~j;~k)]

¢

[(~i;~j;~k) (~a;~b;~c)] =

(i; j; k)j(~a; b;~c)

=

~a b~c

;

1 2 3

j

1

2

3

j

j

~ ~ ~

;~e2;~e3)

~e1~e2~e3

(i; j; k)j(~e1

звiдки отриму¹мо рiвнiсть (2.18).

Якщо базис ~e1;~e2;~e3 ортонормований, то ~e1~e2~e3 = §1, тому справедливе твердження.

Íàñëiäîê 2.1. Якщо вектори

~

в ортонормованому базисi ~ ~

~

мають координати

, ~

~a; b;~c

i; j; k

~a(a1; a2; a3)

; b3), ~c(c1; c2; c3), òî

b(b1; b2

~a~b~c = " ¯

a2

b2

c2

¯;

(2.19)

¯

a

b

c

¯

¯

a1

b1

c1

¯

3

3

3

¯

¯

¯

¯

äå " = 1, якщо базис ~i;

~j;~k правий, i " =

1¯, якщо цей базис¯

ëiâèé.

¡

~

~

®

виконуються такi

Теорема 2.5. Для довiльних векторiв ~a; b;~c; d i довiльного числа

рiвностi:

1±. ~a~b~c = ~bc~a = c~a~b

(циклiчна перестановка множникiв);

2±. ~a~b~c = ¡~b~a~c,

~a~b~c = ¡~c~b~a,

~a~b~c = ¡~a~c~b

(перестановка двох множникiв);

3±. (®~a)~b~c = ®(~a~b~c),

~a(®b~)~c = ®(~a~b~c),

~a~b(®~c) = ®(~a~b~c)

(винесення множника за знак

мiшаного добутку);

4±. (~a+~b)~c d~ = ~a~c d~+~b~c d~, ~a(~b+~c)d~ = ~a~b d~+~a~c d~,

~a~b(~c+d~) = ~a~b~c+~a~b d~

(дистрибутивний

закон).

103

Доведення цих властивостей виплива¹ з властивостей визначникiв третього порядку. Можна виконати безпосередню перевiрку даних властивостей, якщо скористатись формулою (2.19) i правилом обчислення визначникiв третього порядку (див. стор. 97).

Нагада¹мо, що тетраедром ми назива¹мо довiльну трикутну пiрамiду, тобто пiрамiду, вся гранi яко¨ ¹ трикутники (не обов'язково правильнi). Виведемо зараз формулу для знаходження об'¹му тетраедра, якщо заданi координати його вершин в деякiй прямокутнiй системi координат. Отже, нехай треба знайти об'¹м тетраедра ABCD, якщо данi координати

його вершин:	A(x1; y1; z1); B(x2; y2; z2); C(x3		; y3; z3); D(x4; y4; z4):
Об'¹м паралелепiпеда, побудованого на векторах ¡! ¡! ¡¡!
			AB, AC i AD, дорiвню¹ абсолютнiй
		abs(¡! ¡! ¡¡!)		abs
величинi мiшаного добутку цих векторiв, тобто			AB AC AD , äå		означа¹ абсолютну

величину виразу, який сто¨ть в дужках. Звiдси виплива¹, що об'¹м V тетраедра ABCD

= 6 abs(¡! ¡! ¡¡!)

¡! ¡!

¡¡!

обчислю¹ться за формулою V

1

AB AC AD . Вектори AB, AC i AD мають координати

¡!(

2

1

; y

2

1

; z

2

z

1)

¡!(

3

1

; y

3

y1; z3

z1) ¡¡!(

4

1

; y

4 y1; z4

z1);

AB x

¡

x

¡

y

¡

; AC x

¡

x

¡

¡

AD x

¡

x

¡

¡

тому за формулою (2.19) отриму¹мо:

¯

1 ¯¯¯ x2 ¡ x1

V = 6 abs ¯¯ y2 ¡ y1 z2 ¡ z1

x3 ¡ x1 y3 ¡ y1 z3 ¡ z1

y4	¡ y1			¯	:	(2.20)
z	¡ z			¯
x4		x1		¯
4	¡		1
				¯
				¯
				¯

5 Векторний добуток векторiв. Площа трикутника

Означення векторного добутку двох векторiв. Зв'язок мiшаного добутку трьох векторiв з векторним i скалярним добутками. Теорема про знаходження координат векторного добутку в ортонормованому базисi. Властивостi векторного добутку. Знаходження площi трикутника.

Нехай ~a		i ~
		b неколiнеарнi вектори. Вiд деяко¨ точки M простору вiдкладемо вектори
¡¡!	=	¡¡!	=	~
MA	~a,	MB		b i побуду¹мо паралелограм MACB òàê, ùîá âiäðiçêè MA i MB

були сумiжними сторонами цього паралелограма. Такий паралелограм будемо називати
паралелограмом, побудованим на векторах ~a					i ~
					b.
Означення 2.4. Векторним добутком неколiнеарних векторiв ~a							i ~
							b, взятих в даному
порядку, назива¹ться вектор p~,		довжина			якого	чисельно рiвна	ïëîùi		паралелограма,
побудованого на цих векторах; цей вектор перпендикулярний векторам ~a								i ~
									b i направлений
~		орi¹нтацiю. Векторний добуток колiнеарних векторiв
так, що базис ~a; b; p~ ма¹ праву
вважа¹ться рiвним нуль-вектору.
Векторний добуток векторiв ~a		i ~				~
			b	познача¹ться через [~a; b]. Таким чином, векторний
~
добуток p~ = [~a; b] задовольня¹ такi три умови:
Теорема 2.6. ßêi á íå áóëè	c		~a	b ~c
~	~				~	~
à) jp~j = j~ajjbj sin(~a; b);		á) p~ ? ~a, p~ ? b;				â) (~a; b; p~) правий базис.
	вектори			, ~ i	, òî ì๠ìiñöå ðiâíiñòü:
				~	~				(2.21)
				~a b~c = [~a; b]~c:

104

Доведення. Якщо вектори ~a	i ~	, ~
	b колiнеарнi, то вектори ~a	b i ~c компланарнi, а тому ¨х мiшаний

добуток дорiвню¹ нулю. Отже, лiва частина рiвностi (2.21) ¹ нуль. Права частина цi¹¨ рiвностi

також рiвна нулевi, оскiльки

~

~, çâiäêè

~

. Таким чином, рiвнiсть (2.21) в даному

випадку викону¹ться.

[~a; b] = 0

[~a; b]~c = 0

i ~

Нехай тепер вектори ~a

b не колiнеарнi. Припустимо спочатку, що ~c одиничний вектор

такий, що ~c

? ~a, ~c

~

, ~

~

= S, äå S площа

? b i ~a

b, ~c утворюютьi

правий базис. Тодi ~a b~c

паралелограма, побудованого на векторах ~a

~

~

b. З iншого боку вектори [~a; b] i ~c спiвнаправленi,

~

~

òîìó [~a; b]~c = j[~a; b]jj~cj = S. Отже, в даному разi рiвнiсть (2.21) справедлива.

,Нехай,

тепер ~c

довiльний вектор. Розглянемо одиничний вектор ~ такий, що ~

, ~ ~

k

k ? ~a

k ? b

~

~

~

~

i ~a b

k утворюють правий базис. Розкладемо вектор ~c в цьому базисi: ~c = c1~a + c2b + c3k.

Тодi за властивостями мiшаного добутку ма¹мо:

~

~

~

~

~

~~

~ ~

~ ~

(2.22)

~a b~c = ~a b(c1~a + c2b + c3k) = c1 (~a b~a) +c2

(~a b b) +c3

(~a b k) = c3(~a b k):

|

{z

}

|

{z

}

00

З iншого боку

~ ~

[~a; b]~c = [~a; b](c1~a

~

~

~

~ ~

~ ~

+ c2b + c3k) = c1

([~a; b]~a) +c2

([~a; b]b) +c3

([~a; b]k)

|

{z

}

|

{z

}

0

0

~ ~	(2.23)
= c3([~a; b]k):

~ ~

~ ~

Àëå æ ~a b k = [~a; b]k, тому з (2.22) i (2.23) виплива¹ рiвнiсть (2.21).

, ~

Íàñëiäîê 2.2. Якi б не були вектори ~a

b, ~c

~

~

(2.24)

[~a; b ]~c = ~a [ b;~c ]:

Теорема 2.7. Якщо вектори

i ~

в ортонормованому правому базисi ~, ~

, ~

мають

, ~

~a

b

~

i j

k

координати ~a(a1; a2; a3)

b(b1; b2

; b3), то вектор [~a; b] ма¹ координати:

(2.25)

[~a;~b] µ¯

b2

b3

¯; ¡

¯

b1

b3

¯

;

¯

b1

b2

¯¶:

¯

a2

a3

¯

¯

a1

a3

¯

¯

a1 a2

¯

Доведення. Нехай в даному базисi¯

векторний¯ ¯

добуток¯ ¯

ма¹ координати¯

~

, òîäi

~

~

~

~

¯

¯

¯

¯

¯

¯

[~a; b](x; y; z)

. Помноживши

öþ ðiâíiñòü

скалярно

íà

вектор ~, ìè

отрима¹мо

[~a; b] =

xi + yj + zk

~

~

. За теоремою 2.6 ма¹мо

~ ~

i

~~

.

~ ~

~~

. Îòæå,

~~, òîìó

[~a; b]i = xi i = x ¢ 1 = x

[~a; b]i = x

~ ~

[~a; b]i = ~a b i

~a b i = x

Аналогiчно виводимо рiвностi:

~~

,

. За формулою (2.19) ма¹мо:

~a b j = y

~a b k = z

x =

¯

a2 b2 0

¯

=

¯

a2

b2

¯

=

¯

b

2

b

3

:

¯

a b 0

¯

3

3

2

3

¯

¯

a1

b1

1

¯

¯

a

b

¯

¯

a

a

¯

3

3

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

Аналогiчно виводимо, що

¯

¯

a1

a3

¯

i z = ¯

a1

a2

¯. Формула (2.25) доведена.

y = ¡

b1

b3

¯

b1

b2

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

Таким чином ма¹мо:

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a2

b2

a1

a3

a1

a2

[~a;~b] =

¯

¯~i ¡ ¯

¯~j +

¯

¯~k:

(2.26)

a3

b3

b1

b3

b1

b2

¯

¯

¯

¯

¯

¯

Користуючись тепер властивостями¯

визначникiв¯ ¯

ðiâíiñòü¯ ¯

(2.26) iнколи¯

записують в такому

âèäi:

[~a;~b] = ¯

ai1

a2

a3

¯

:

(2.27)

¯

~

~

~

¯

¯

b1

j

k

¯

b2

b3

¯

¯

¯

¯

¯

¯

105

, ~

мають мiсце такi

Теорема 2.8. Для довiльних векторiв ~a

b i ~c i довiльного числа ®

рiвностi:

1±. [~a;~b] = ¡[~b;~a]

(антикомутативний закон)4.

2±. [®~a;~b] = ®[~a;~b],

[~a; ®b~] = ®[~a;~b]

(асоцiативний закон).

3±. [~a +~b;~c] = [~a;~c] + [~b;~c],

[~a;~b + ~c] = [~a;~b] + [~a;~c]

(дистрибутивний закон).

Всi цi властивостi випливають iз формули (2.27) згiдно властивостей визначникiв.

Ëåìà 2.2. Для довiльних векторiв ~a

i ~

b справедлива рiвнiсть

¯

[~a;~b][~a;~b] = (a~)(~b~b) ¡ (~a~b)2 = ¯

~b~a

~b~b

:

(2.28)

¯

a~

~

¯

¯

¯

¯

¯

Доведення. Виберемо ортонормований базис ~i, ~j, ~k

òàê,¯

ùîá ~a¯

?

~k

i ~b

?

~k, i знайдемо

, ~

; 0)

, ~

координати векторiв ~a b в цьому базисi: ~a(a1; a2

b(b1; b2; 0). За формулою (2.25) знайдемо

векторний добуток цих векторiв: [~a;~b]

µ0; 0; ¯

b1

b2

¯¶. Таким чином, [~a;~b][~a;~b] =

¯

b1

b2

¯

,

¯

¯

¯

2

a1

a2

a1

a2

¯2

¯

¯

¯

¯

àëå

~~

~ 2

2

2 2

2

2

2

2

2

2a1b1a2b2 =

a1

a2

(a~)(b b) (~a b) = (a1 + a2)(b1 + b2) (a¯1b1 + a2b¯2) = a1b2

+ a2b1

¯

¯ .

Отже, рiвнiсть (2.28) викону¹ться.

¯

¯

¡

¡

¡

¯

b1

b2

¯

¯

¯

Теорема 2.9. Нехай в прямокутнiй системi координат трикутник ABC заданий

координатами сво¨х вершин A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2), C(x3; y3; z3), тодi його площа може бути обчислена за однi¹ю з формул:

2 u

¯

~b~a

~b~b

¯

u¯

¯

1

v

a~

~

~

ABC =

¯

~a = ¡!

= ¡!

S

t¯

; äå

AB; b

AC:

(2.29)

¯

¯

¯

¯

SABC = 2 j[¡! ¡!]j

1

AB; AC

:

SABC = 2 s

¯ y3

¡ y1

z3

¡ z1

¯

+ ¯

x3

¡ x1

z3

¡ z1

¯

+ ¯

x3

¡ x1

y3

¡ y1

¯

:

1

¯

y2

¡

z2

¡

¯

2

¯

x2

¡

z2

¡

¯

2

¯

x2

¡

y2

¡

¯

2

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

(2.30)

(2.31)

Доведення. Площа паралелограма, побудованого на векторах ~a

i ~

~

b, чисельно рiвна j[~a; b]j,

òîìó SABC

= 21 j[~a;~b]j

=

21 q

[~a;~b][~a;~b]

. Звiдси, враховуючи лему 2.2, отриму¹мо формулу

(2.29). Такими ж самими мiркуваннями поясню¹ться формула (2.30).

Вектори

¡! ¡!

AB i AC мають вiдповiдно координати

¡!(

x

2

¡

1

; y

2

¡

1

; z

2

¡

z1);

¡!( 3

¡

1

; y

3

¡

1

; z

3

¡

z

1)

;

AB

x

y

AC x

x

y

тому використовуючи формулу (2.25) отриму¹мо формулу (2.31).

~ ~

4 Âiäìiòèìî, ùî [~a; b] 6= [b;~a].

106

2.2 Площини i прямi в просторi

1 Рiвняння площини

Задання площини точкою i напрямним пiдпростором. Рiвняння площини за трьома точками. Рiвняння площини у вiдрiзках. Параметричнi рiвняння площини. Рiвняння площини, задано¨ точкою i нормальним вектором. Загальне рiвняння площини.

Нехай ¾ площина, L множина всiх векторiв, паралельних площинi ¾. ßñíî, ùî L ¹ двовимiрний векторний пiдпростiр простору V . Назвемо його напрямним пiдпростором

~	~
площини ¾. ßêùî ~a; b базис цього пiдпростору, то, очевидно, L = L(~a; b), тобто пiдпростiр

	~
L породжу¹ться векторами ~a; b. Отже, можна вважати, що напрямний пiдпростiр вiдомий,
якщо задана деяка пара неколiнеарних векторiв ~a						i ~
						b, якi паралельнi данiй площинi ¾.
					~
На площинi ¾ з напрямним пiдпростором L(~a; b) виберемо деяку точку M0, тодi кожна
				¡¡¡!			~
точка M належатиме площинi ¾, коли вектори M0M;~a; b будуть компланарнi, тобто коли ¨х
мiшаний добуток буде рiвний нулевi. Отже,				¡¡¡!
		2	()			~		(2.32)
Виходячи з рiвностi ¡¡¡!	M		¾	M0M ~a b = 0:
	~
M0M ~a b = 0 умови (2.32) далi ми виведемо рiзнi рiвняння площини.

Рiвняння площини, задано¨ точкою i напрямним пiдпростором. Нехай в афiннiй
системi координат задана		сво¨ми координатами						точка M0	(x0; y0; z0) i äâà	неколiнеарних
вектора ~a(a1; a2; a3)	i ~	; b3), якi паралельнi площинi. Виходячи з рiвностi (2.32) робимо
	b(b1; b2
висновок, що довiльна точка M(x; y; z) належить площинi тодi i тiльки тодi, коли
		¯	y	¡ y0		a2	b2	¯ = 0:		(2.33)
		¯	z	¡ z		a	b	¯
		¯	x		x0	a1	b1	¯
				¡	0	3	3
		¯						¯
		¯						¯
		¯						¯

Рiвняння площини, задано¨ трьома точками. Нехай площина проходить через три точки M1(x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2), M3(x3; y3; z3), якi не лежать на однiй прямiй. Тодi

¡¡¡¡! ¡¡¡¡!

L(M1M2; M1M3) ¹ напрямний пiдпростiр площини, а тому ¨¨ рiвняння, виходячи з (2.33),

буде таким:	¯	z	¡ z		z		¡ z
	¯	x		x1	x2			x1
		y	¡ y1		y2		¡ y1
	¯		¡				¡
	¯
	¯			1		2			1
	¯

x3 ¡ x1 y3 ¡ y1 z3 ¡ z1

¯

¯

¯

¯¯ = 0: (2.34)

¯

Рiвняння площини у вiдрiзках. Нехай площина не проходить через початок координат афiнно¨ системи координат i перетина¹ координатнi вiсi в точках A 2 Ox, B 2 Oy, C 2 Oz.

Нехай координати цих точок будуть такi: A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). Ясно, що цi точки

не лежать на однiй прямiй, а тому для знаходження рiвняння площини ми можемо скористатись формулою (2.34). Отже, ма¹мо:

¯	y ¡ ¡b		¡0	¯	= 0:
¯	z	0	c	¯
¯	x	a a	a	¯
¯				¯
¯				¯
¯				¯

Розкривши даний визначник, будемо мати:

bc(x ¡ a) + abz + acy = 0;

107

çâiäêè ìà¹ìî bcx + acy + abz = abc. Îñêiëüêè abc =6 0 координат), то подiливши обидвi частини рiвностi на

(площина не проходить через початок abc, отрима¹мо остаточне рiвняння у

âiäðiçêàõ:

x

+

y

+

z

= 1:

(2.35)

a

c

b

Параметричнi рiвняння

площини.

Нехай площина

проходить

через точку

~

з базисом ~a(a1

; a2; a3)

i ~

; b2; b3). Точка

M0(x0; y0; z0) i ма¹ напрямний пiдпростiр L(~a; b)

b(b1

¡¡¡! ~

M(x; y; z) належить площинi ¾ тодi i тiльки тодi, коли вектори M0M;~a; b будуть компланарнi, тобто коли знайдуться такi числа u; v, ùî

		¡¡¡!		~
	¡¡¡!	M0M = u~a + vb:			¡			¡
Оскiльки вектор		¡¡¡!	¡
	M0M ма¹ координати M0M(x			x0; y		y0	; z		z0)

формi запишеться так:

(2.36)

то (2.36) в координатнiй

x ¡ x0 y ¡ y0 z ¡ z0

= a1u + b1v;	àáî	x = x0 + a1u + b1v;	(2.37)
= a2u + b2v;		y = y0 + a2u + b2v;
= a3u + b3v		z = z0 + a3u + b3v:

Рiвняння (2.37) називаються параметричними рiвняннями площини, а u i v параметрами.

Рiвняння площини, задано¨ точкою i нормальним вектором. Говорять, що вектор ~n перпендикулярний до площини, якщо вiн перпендикулярний до будь-якого вектора з

напрямного пiдпростору. Такий вектор назива¹ться нормальним вектором площини. Нехай в прямокутнiй системi координат задана сво¨ми координатами точка M0(x0; y0; z0)

i нормальний вектор ~n(A; B; C). Очевидно, точка M(x; y; z) належить площинi тодi i тiльки

тодi, коли вектори

¡¡¡!

¡¡¡!

M0M i ~n ортогональнi, а тому ¨х скалярний добуток рiвний нулю, тобто

M0M ~n = 0. Записавши отриману рiвнiсть в координатнiй формi, ми отриму¹мо шукане

рiвняння:

A(x ¡ x0) + B(y ¡ y0) + C(z ¡ z0) = 0:

(2.38)

Загальне

рiвняння площини.

Розглянемо рiвняння площини (2.33) i розкладемо

визначник за елементами першого стовпця. В результатi ми отрима¹мо лiнiйне рiвняння

âèäó

Ax + By + Cz + D = 0;

(2.39)

äå A = ¯

a3

b3

¯,

B = ¡ ¯

a3

b3

¯,

C = ¯

a2

b2

¯, D = ¡(Ax0 + By0 + Cz0). Очевидно,

¯

a2

b2

¯

¯

a1

b1

¯

¯

a1

b1

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

ùî êîåôiöi¹íòè A; B; C одночасно не дорiвнюють нулевi.5 Таким чином, ми показали, що

площина визнача¹ться лiнiйним рiвнянням, в якому коефiцi¹нти при змiнних одночасно не дорiвнюють нулю. Виника¹ далi питання, чи кожне рiвняння такого типу визнача¹ площину. Вiдповiдь на нього да¹ться у наступнiй теоремi.

Теорема 2.10. Поверхня в просторi, яка задана в афiннiй системi координат рiвнянням , ~

першого степеня (2.39), ¹ площина. При цьому вектори ~a(0; ¡C; B) b(¡C; 0; A), ~c(¡B; A; 0)

належать напрямному пiдпростору цi¹¨ площини i якi-небудь два з них утворюють базис цього пiдпростору.

5Це виплива¹ з того, що в рiвняннi (2.33) елементи другого i третього стовпцiв не пропорцiйнi, як координати неколiнеарних векторiв.

108

O~e1~e2~e3

Доведення. Оскiльки A; B; C одночасно не дорiвнюють нулевi, то припустимо, що A =6 0. Тодi рiвняння (2.39) можна записати у виглядi:

		¯	x +		¡B			¡C	¯
				A						= 0:	(2.40)
		¯	y				A	0	¯
		¯	D						¯
		¯	z				0	A	¯
		¯							¯
		¯							¯
		¯							¯
Îñêiëüêè A = 0, то вектори ~b(	¡	C;¯	0; A) i ~c(			¡	B; A; 0)		¯не колiнеарнi, а тому вони утворюють
6										~
базис. Отже, (2.40) визнача¹ площину з напрямним пiдпростором L(~c; b).

ßêùî A = 0, òî B =6 0 àáî C =6 0, i тодi аналогiчними мiркуваннями доводимо, що рiвняння (2.39) визнача¹ площину.

Надалi рiвняння (2.39) будемо називати загальним рiвнянням площини. Вiдмiтимо, що в прямокутнiй системi координат вектор ~n(A; B; C) перпендикулярний до площини, оскiльки

~ ~

n~a = ~n b = ~n~c, тобто вiн перпендикулярний до кожного з векторiв ~a; b;~c.

2 Геометричний змiст нерiвностi Ax + By + Cz + D > 0

Лема про паралельнiсть вектора до площини. Геометричний змiст нерiвностi Ax + By + Cz + D > 0.

Ëåìà 2.3 (про паралельнiсть вектора до площини). Нехай в афiннiй системi координат задана площина ¾ загальним рiвнянням

Ax + By + Cz + D = 0

(2.41)

i вектор p~(p1; p2; p3). Для того щоб вектор p~ був паралельний до площини ¾, необхiдно i

достатньо, щоб	Ap1	+ Bp2 + Cp3	= 0:	(2.42)

Доведення. Нехай M1(x1; y1; z1) деяка точка площини ¾. Вiдкладемо вiд цi¹¨ точки вектор

¡¡¡¡!

M1M2 = p~. Позначимо координати точки M2 через (x2; y2; z2), òîäi M2(x2; y2; z2) 2 ¾, îñêiëüêè

p~ k ¾. Точки M1; M2 належать площинi, а тому ¨х координати задовольняють рiвняння площини, тобто мають мiсце рiвностi:

Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0;	(2.43)
Ax2 + By2 + Cz2 + D = 0:	(2.44)
Вiднiмаючи вiд рiвностi (2.44) рiвнiсть (2.43) ми будемо мати:
A(x2 ¡ x1) + B(y2 ¡ y1) + C(z2 ¡ z1) = 0:	(2.45)

Враховуючи, що p1 = x2 ¡ x1, p2 = y2 ¡ y1, p3 = z2 ¡ z1, ми тим самим з (2.45) отриму¹мо (2.42).

Геометричний змiст нерiвностi Ax + By + Cz + D > 0. Задамо в просторi афiнну

систему координат i розглянемо площину ¾, задану в цiй системi координат

загальним рiвнянням (2.41). Ця площина дiлить множину точок простору, що не належать ¨й, на два напiвпростори з спiльною межею ¾. Знайдемо умови, якi визначають данi

напiвпростори.

109

Зафiксу¹мо на площинi ¾ деяку точку N0 i
	¡¡!
вiдкладемо вiд не¨ вектор ~n(A; B; C). Нехай N0N =
~n. Îñêiëüêè	A ¢ A + B ¢ B + C ¢ C 6= 0,	òî öå
означа¹, що вектор ~n не паралельний до площини
¾, à òîìó N 62¾. Нехай M(x; y; z) довiльна точка
простору, яка не лежить в площинi ¾. Проведемо
через точку M пряму, паралельну до вектора ~n, i
позначимо через M0(x0; y0; z0) точку перетину цi¹¨
		¡¡¡!
прямо¨ з площиною ¾. Оскiльки вектори ~n i M0M
колiнеарнi, то за теоремою 1.3 про колiнеарнi век-
	¡¡¡!
тори знайдеться таке число ®, ùî M0M = ®~n, ùî
в координатнiй формi виража¹ться так:
x ¡ x0 = ®A; y ¡ y0 = ®B;	z ¡ z0 = ®C:	(2.46)

Розглянемо многочлен Ax + By + Cz + D i пiдставимо в нього замiсть x; y; z ¨х значення з рiвностей (2.46):

Ax + By + Cz + D = A(x0 + ®A) + B(y0 + ®B) + C(z0 + ®C) + D =
= Ax0 + By0 + Cz0 + D + ®(A2 + B2 + C2) = ®(A2 + B2 + C2):	(2.47)
¡¡¡!	¡¡!

Нехай ¸ напiвпростiр з межею ¾, який мiстить точку N. З рiвностi M0M = ®N0N

виплива¹, що точка M належить напiвпростору ¸ òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè ® > 0. З рiвностi (2.47), враховуючи, що A2 + B2 + C2 > 0, приходимо до висновку, що точка M належить напiвпростору ¸ òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè

Ax + By + Cz + D > 0:

(2.48)

Це i ¹ нерiвнiсть, яка визнача¹ напiвпростiр ¸. Iнший напiвпростiр ¸0 з межею ¾

визнача¹ться нерiвнiстю	Ax + By + Cz + D < 0:	(2.49)

3 Вза¹мне розташування двох i трьох площин

Вза¹мне розташування двох i трьох площин.

Вза¹мне розташування двох площин. Нехай в афiннiй системi координат заданi двi площини ¾1 i ¾2 загальними рiвняннями:

¾1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0; ¾2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0:

(2.50)

(2.51)

Вияснимо вза¹мне розташування цих площин. Очевидно, що питання про вза¹мне
розташування двох площин ¾1	i ¾2 зводиться до дослiдження системи лiнiйних рiвнянь (2.50)
i (2.51). Позначимо через r i r0 ранги вiдповiдно матриць:								¶:
µ A2	B2	C2	¶	i µ A2	B2	C2	D2
A1	B1	C1		A1	B1	C1	D1

110