Prak_Geom1

III. Один з коренiв дорiвню¹ нулю, наприклад, s

1

= 0, s

2

= 0, s

3

= 0 i a0

= 0. Òîäi

рiвняння (2.168) можна звести до виду:

6

6

34

¶

+ µa440

¡ s1

¡ s2 ¶ = 0;

s1 µx0 + s1

¶ + s2 µy0 + s2

a140

2

a240

2

a1402

a2402

або, покладаючи

0

a02

a02

00

0

a0

00

0

a0

00

0

00

14

24

14

24

a44

¡

¡

= a44

; x

+

= x

; y

+

= y

; z

= z

;

s1

s2

s1

s2

отриму¹мо

s1x002 + s2y002 + a4400 = 0:

(2.174)

ßêùî a00

= 0, то рiвняння (2.174) може бути записане в канонiчному видi:

44

6

x002

+

y002

= 1;

(2.175)

a00

a00

¡ s1

¡ s2

44

44

à ÿêùî a4400 = 0, то у виглядi:

x002

y002

+

= 0:

(2.176)

1

1

¡

¡

s1

s2

В залежностi вiд знакiв s1; s2; a0044 в (2.174) ми отриму¹мо такi види поверхонь та ¨х канонiчнi рiвняння:

9)

10)

11)

12)

13)

x2 + y2 a2 b2

x2 + y2 a2 b2

x2 + y2 a2 b2

x2 ¡ y2 a2 b2

x2 ¡ y2 a2 b2

=1 елiптичний цилiндр;

=¡1 уявний елiптичний цилiндр;

=0 пара уявних площин зi спiльною дiйсною прямою;

=§1 гiперболiчний цилiндр;

=0 пара площин, що перетинаються.

IV. Два кореня характеристичного рiвняння рiвнi нулю, наприклад, s2 = s3 = 0, àëå

принаймнi один з коефiцi¹нтiв при першому степенi y0 àáî z0

не дорiвню¹ нулю, тобто s

= 0,

s

2

= s

3

= 0 i a02

+ a02

= 0.

1 6

24

34

6

Покажемо, що в цьому випадку рiвняння (2.168) ¹ рiвняння поверхнi параболiчного

цилiндра. Нехай, наприклад, a0

= 0, тодi рiвняння поверхнi зводиться до виду:

34

6

¶

+ 2a230

y0

+ 2a340

µz0 +

2a340

¶ = 0:

s1 µx0 + s1

2

a140

a4400

Викона¹мо

паралельне перенесення

системи

координат

â

точку O 0 µ¡ s1

; 0; ¡

2a340

¶ çà

a140

a4400

формулами

a0

a00

0

00

0

00

0

00

x

= x

¡

14

; y

= y

; z

= z

¡

44

:

s1

2a340

171

Рiвняння поверхнi набува¹ виду:

s1x002 + 2a240 y00 + 2a340 z00 = 0:									(2.177)
Викона¹мо поворот системи координат O 0x00y00z00 навколо осi O 0x00								за формулами:
x00 = x; y00	= a240 y ¡ a340			z	; z00 = a340 y ¡ a240			z	;
e	p	e		e		p	e	e
		a2402 + a3402				a2402 + a3402
тодi отрима¹мо наступне рiвняння поверхнi:
s1x2 + 2q						y = 0:
			a2402 + a3402						(2.178)
Рiвняння (2.178) ¹ рiвнянням такогоeâèäó:						e

14) x2 = 2py параболiчний цилiндр.

V. Два кореня, наприклад,

степенi теж рiвнi нулю, тобто зводиться до виду:

s2 i s3 ðiâíi íóëþ, àëå é êîåôiöi¹íòè ïðè y0 i z0 в першому

s

1

= 0, s

2

= s

3

= 0á a0

= a0

= 0. Рiвняння (2.168) тодi

6

24

34

a140

2

a1402

s1 µx0 +

¶ + a440

¡

= 0:

s1

s1

Покладаючи тепер

0

a02

00

0

a0

00

0

00

0

00

14

14

a44

¡

= a44

; x

+

= x

; y

= y

; z

= z

;

s1

s1

ми зводимо рiвняння поверхнi до виду:

s1x002 + a4400

= 0:

(2.179)

Рiвняння (2.179) визнача¹:

15)пару дiйсних паралельних площин, якщо s1 ¢ a0044 < 0;

16)пару уявних паралельних площин, якщо s1 ¢ a0044 > 0;

17)пару спiвпавших площин, якщо a0044 = 0.

Таким чином, ми отримали 17 рiзних видiв поверхнi другого порядку, якi розбиваються на п'ять рiзних типiв зi зведеними рiвняннями:

I:	s1X2 + s2Y 2 + s3Z2 + a4400 = 0 (s1 6= 0; s2 6= 0; s3 6= 0):
II:	s1X2 + s2Y 2 + 2a340 Z = 0 (s1 6= 0; s2 6= 0; s3 = 0; a340 6= 0):
III:	s1X2	+ s2Y 2 + a4400 = 0 (s1 6= 0; s2 6= 0; s3 = 0; a340 = 0):
	s1X2 + 2q			Y = 0 (s1 6= 0; s2 = s3 = 0; a2402 + a3402 6= 0):
IV:			a2402 + a3402
V:	s1X2 + a4400 = 0 (s1 6= 0; s2 = s3 = 0; a2402 = a3402 = 0):

172

9Iнварiанти поверхонь другого порядку. Класифiкацiя поверхонь за допомогою iнварiантiв

Означення iнварiантiв. Iнварiанти при паралельному перенесенi системи координат. Iнварiанти при обертаннi системи координат.

Нехай задана поверхня другого порядку загальним рiвнянням в прямокутнiй декартовiй системi координат:

a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0: (2.180)

Означення 2.20. Iнварiантом рiвняння (2:180) поверхнi другого порядку вiдносно даного

перетворення назива¹ться така функцiя коефiцi¹нтiв рiвняння поверхнi, яка не змiню¹ свого значення, якщо в нiй коефiцi¹нти aij даного рiвняння замiненi вiдповiдними

коефiцi¹нтами a0ij перетвореного рiвняння.

Вкажемо без доведення iнварiанти рiвняння (2.180) при паралельному перенесеннi та обертаннi системи координат.

1. Iнварiанти при паралельному перенесеннi системи координат: a11, a22, a33, a12, a13,

a23, I4, äå

¯

¯:

I

4

=

a21 a22

a23 a24

¯

a

a

a

a

¯

¯

a11

a12

a13

a14

¯

a

a

a

a

¯

¯

¯

31

32

33

34

¯

¯

¯

2. Iнварiанти при обертаннi системи¯

координат:

¯

¯

41

42

43

44

¯

I1 = a11 + a22 + a33

;

a32

a33

¯

+ ¯

a31

a33

¯

;

I2 =

¯

a21

a22

¯

+ ¯

¯

a11

a12

¯

¯

a22

a23

¯

¯

a11

a13

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a11

a12

¯a13¯

¯

¯

¯

¯

I3 =

¯

a21

a22

a23

;

¯

a

a

a

¯

¯

¯

¯

¯

¯

31

32

33

¯

¯;

I =

¯

a21

a22

a23

a24

¯

a11

a12

a13

¯a14

¯

¯

a

a

a

a

4

¯

a

a

a

a

¯

¯

¯

¯

31

32

33

34

¯

¯

¯

a23

a24

a11

a13

a14

¯

a11

a12

a14

¯a22

¯

41

42

43

44

¯

I5 =

¯

a21

a22

a24

¯

+

¯

a32 a33 a34

¯ +

¯

a31 a33 a34

¯

;

¯

a

a

a

¯

¯

a

a

a

¯

¯

a

a

a

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

a11

a14

¯

¯

a24

a33

¯

¯

¯

¯

¯a22

¯

¯a34

¯

¯

I6 =

¯

41

42

¯

44

¯

¯

42

¯

43

44

¯

¯

;

41

43

44

¯

¯

a41

a44

+ ¯

a42

a44

+ ¯

a43

a44

¯

I7 =

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯a44:

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

Користуючись iнварiантами проведемо класифiкацiю (без доведення) поверхонь другого порядку по кожному з п'яти типiв поверхонь:

I. (I3 6= 0)

173

1)Дiйсний елiпсо¨д I2 > 0, I4 < 0, I1I3 > 0.

2)Уявний елiпсо¨д I2 > 0, I4 > 0, I1I3 > 0.

3)Однопорожниний гiперболо¨д I4 > 0 i не викону¹ться принаймнi одна з умов: I2 > 0 àáî I1I3 > 0.

4)Двопорожниний гiперболо¨д I4 < 0 i не викону¹ться принаймнi одна з умов: I2 > 0 àáî I1I3 > 0.

5)Дiйсний конус I4 = 0 i не викону¹ться принаймнi одна з умов: I2 > 0 àáî I1I3 > 0.

6)Уявний конус (точка) I4 = 0, I2 > 0, I1I3 > 0.

II.(I3 = 0; I4 6= 0)

7)Елiптичний параболо¨д I2 > 0.

8)Гiперболiчний параболо¨д I2 < 0.

III.(I3 = 0; I4 = 0)

9)Елiптичний цилiндр дiйсний I2 > 0, I1I5 < 0.

10)Елiптичний цилiндр уявний I2 > 0, I1I5 > 0.

11)Гiперболiчний цилiндр I4 > 0 i не викону¹ться принаймнi одна з умов: I2 < 0, I5 6= 0.

12)Пара дiйсних площин, що перетинаються I2 < 0, I5 = 0.

13)Пряма (пара уявних площин, що перетинаються) I2 > 0, I5 = 0.

IV. (I3 = 0, I4 = 0, I2 = 0, I5 =6 0)

14)Параболiчний цилiндр.

V. (I3 = 0; I4 = 0; I2 = 0; I5 = 0)

15)Двi дiйснi паралельнi площини I6 < 0.

16)Двi уявнi паралельнi площини I6 > 0.

17)Двi спiвпавших площини I6 = 0.

174

175

Лiтература

[1]Л. С. Атанасян, В. Т. Базылев, Геометрия, ч. 1, М.: Просвещение, 1986.

[2]Л. С. Атанасян, В. Т. Базылев, Геометрия, ч. 2, М.: Просвещение, 1987.

[3]С. В. Бахвалов, Л. И. Бабушкин, В. П. Иваницкая, Аналитическая геометрия, М.: Учпедгиз, 1962.

[4]А. А. Томусяк, В. С. Трохименко, Н. М. Шунда, Геометрiя, ч. 1: Аналiтична геометрiя, Вiнниця: ВДПУ, 2002.

[5]Н. В. Ефимов, Краткий курс аналитической геометрии, М.: Наука, 1972.

[6]В. П. Яковець, В. Н. Боровик, Л. В. Ваврикович, Аналiтична геометрiя, Суми: Унiверситетська книга, 2004.

[7]В. Н. Боровик, I. В. Зайченко, М. М. Мурач, В. П. Яковець, Геометричнi перетворення площини, Суми: Унiверситетська книга, 2003.

[8]В. Т. Базылев и др., Сборник задач по геометрии, М.: Просвещение, 1980.

[9]Л. С. Атанасян, В. А. Атанасян, Сборник задач по аналитической геометрии, М.: Просвещение, 1968.

[10]Л. С. Атанасян, В. А. Атанасян, Сборник задач по геометрии, ч. 1, М.: Просвещение, 1973.

[11]Л. С. Атанасян и др., Сборник задач по геометрии, ч. 2, М.: Просвещение, 1975.

[12]О. Н. Цубербиллер, Задачи и упражнения по аналитической геометрии, М.: Наука, 1968.

[13]Д. В. Клетеник, Сборник задач по аналитической геометрии, М.: Наука, 1975.

[14]А. Д. Александров, Н. Ю. Нецветаев, Геометрия, М.: Наука, 1990.

176

Покажчик

Афiнна еквiвалентнiсть фiгур, 63 чотирикутникiв, 63

Афiнне перетворення площини, 58

аналiтичне задання, 60 властивостi, 60 основна теорема, 59

простору, 129

аналiтичне задання, 131 властивостi, 130 основна теорема, 130

Базисстиск до площини, 129

векторного простору, 15 ортонормований, 16 правий, лiвий, 25, 99

Вектор, 7

векторний пiдпростiр, 18

векторний простiр, 15 розмiрнiсть, 15

довжина, 7 колiнеарнiсть векторiв, 7

компланарнiсть векторiв, 11 координати вектора, 15 лiнiйна комбiнацiя векторiв, 12

лiнiйна незалежнiсть векторiв, 13 лiнiйна залежнiсть векторiв, 12 напрямний прямо¨, 30

напрямнi косинуси вектора, 18 напрямок, 7 одиничний, 7

операцi¨ над векторами додавання, 8 множення вектора на число, 9 рiзниця, 9

скалярний добуток, 17 орт вектора, 7

рiвнiсть векторiв, 7 Векторний добуток векторiв, 104

властивостi, 106 обчислення, 105 площа трикутника, 106

Визначник

властивостi визначникiв матрицi переходу, 23

другого порядку, 19

матрицi переходу вiд базиса до базиса, 23 Вiдношення

еквiполентностi, 6 еквiвалентностi, 7 пiдмножин, 40

пiдмножин вiдносно групи, 40 однаково¨ орi¹нтацi¨ базисiв, 24 просте для трьох точок прямо¨, 43

Вiдображення бi¹кцiя, 38 iн'¹кцiя, 38

множини X в множину Y , 38

сюр'¹кцiя, 38 Вiдстань

вiд точки до площини, 112

вiд точки до прямо¨ на площинi, 33 Вза¹мне розташування

двох площин, 110

двох прямих на площинi, 33 двох прямих в просторi, 116 прямо¨ i площини, 116 трьох площин, 111

Геометричний змiст

знака тричлена Ax + By + C, 32

нерiвностi Ax + By + Cz + D > 0, 109

Гiпербола, 70 асимптоти, 72 директриси, 75

дослiдження форми, 71 канонiчне рiвняння, 70 побудова, 73 подiбнiсть гiпербол, 73 рiвнобiчна, 72

177

рiвняння дотично¨, 73

рiвняння в полярних координатах, 77 фокальнi радiуси, 70, 71

Гомотетiя, 10, 55, 128 властивостi, 56, 128 формули, 56

як подiбнiсть, 55 Група, 38

афiнних перетворень, 63

обертань площини навколо точки, 51 обмежених фiгур, 54

перенесень площини, 51 перетворень множини, 39

поворотiв правильного n-кутника, 55

рухiв першого роду, 51 рухiв площини, 51 симетрiй фiгури, 53

Дiлення вiдрiзка

в заданому вiдношеннi на площинi, 21 в заданому вiдношеннi в просторi, 96 внутрiшнiм чином, 22

зовнiшнiм чином, 22 Елiпс, 65

директриси, 75 ексцентриситет, 67 канонiчне рiвняння, 65 побудова, 67 подiбнiсть елiпсiв, 68 рiвняння дотично¨, 69

рiвняння в полярних координатах, 77 фокальнi радiуси, 65, 67

Iнварiантна площина, 124

Iнварiантна пряма, 47, 124

лема про iснування, 47, 125 Iнварiантна точка, 47, 124 Канонiчне рiвняння кола, 21 Комплексна площина, 78 Конiчнi перерiзи, 142

Êóòмiж двома площинами, 113

мiж двома прямими в просторi, 117 мiж прямими на площинi, 34

мiж прямою i площиною, 117 направлений мiж векторами, 25

Лiнiя другого порядку асимптотичнi напрямки, 81

лiнi¨ параболiчного типу, 82 головнi дiаметри, 88

головнi напрямки, 88 дiаметр, 86

дотична, 85

класифiкацiя центральних лiнiй, 89 якi мають центри, 90

якi не мають центрiв, 90 лема про середину хорди, 83 перетин з прямою, 79 рiвняння дотично¨, 85 спряженi напрямки, 87

теорема про множину середин хорд, 86 загальне рiвняння, 78

зведення рiвняння до канонiч. виду, 91 характеристичне рiвняння, 91

центр, 83 Матриця

ортогональна, 45, 101

переходу вiд базиса до базиса, 23, 97 Мiшаний добуток векторiв, 102

властивостi, 103

об'¹м паралелепiпеда, 104 обчислення в координатах, 103

Направленi вiдрiзки, 6 еквiполентнi, 6 нульовi, 6 протилежнi, 6

протилежно направленi, 6 спiвнаправленi, 6

Операцiя

суперпозицi¨ перетворень, 39 Орi¹нтацiя

векторного простору, 24 додатна, вiд'¹мна, 25, 98 площини, 25 простору, 98

Основнi задачi на пряму i площину, 118 Основнi задачi на пряму в площинi, 35 Ознака

компланарностi трьох векторiв, 96 Парабола, 73

директриса, 73 канонiчне рiвняння, 74 побудова, 74, 75 подiбнiсть парабол, 74 рiвняння дотично¨, 75

рiвняння в полярних координатах, 77 Перспективно-афiнне перетворення, 61

зсув площини, 62

178

косий стиск площини, 62 Пiдгрупа, 38

Подiбнiсть, 55, 128 аналiтичне задання, 57 трикутникiв, 58 фiгур, 58

як добуток гомотетi¨ i руху, 56 Поверхнi другого порядку, 132

асимптотичнi напрямки, 158 види поверхонь, 169

головнi дiаметральнi площини, 162 дiаметральнi площини, 162 дiаметри, 164

дотична площина, 165 дотична пряма, 165

двопорожниний гiперболо¨д, 151 обертання, 150

елiпсо¨д, 148 обертання, 147

загальне рiвняння, 157 iнварiанти, 173

класифiкацiя за допомогою iнварiантiв, 173

êîíi÷íi, 135, 138

конус асимптотичних напрямкiв, 159 метод перерiзiв, 132

нормаль, 165 обертання, 133

однопорожниний гiперболо¨д, 151 обертання, 149

параболо¨д елiптичний, 152 гiперболiчний, 153 обертання, 153

перетин з прямою, 157 прямолiнiйнi твiрнi

гiперболiчного параболо¨да, 156 однопорожниного гiперболо¨да, 155

спрощення загального рiвняння за допомогою перенесення, 169 за допомогою обертання, 166

типи поверхонь, 172 характеристичне рiвняння, 162, 167

властивостi коренiв, 168 центр, 159

центр плоского перерiзу, 163 цилiндричнi, 135, 136

Прапор, 44

Репер

афiнний на площинi, 20 Рiвнiсть

фiгур, 52 Рiвняння

площини

за точкою i напрямним пiдпростором, 107

за точкою i нормальним вектором, 108 за трьома точками, 107 загальне, 108

параметричнi, 108 у вiдрiзках, 107

прямо¨

з кутовим коефiцi¹нтом, 31 загальне на площинi, 32 канонiчне, 30 параметричнi, 30

що визнача¹ться двома точками, 30 що визнача¹ться точкою i кутовим

êîåôiöi¹íòîì, 31

що визнача¹ться точкою i напрямним вектором, 30

прямо¨ в просторi, 114

задано¨ двома площинами, 115 задано¨ двома точками, 115 канонiчнi, 114

параметричнi, 115 Ðóõпучка прямих на площинi, 37

площини, 40

аналiтичне задання, 45 властивостi, 42

класифiкацiя рухiв другого роду, 49 класифiкацiя рухiв першого роду, 48 основна теорема, 42

осьова симетрiя вiдносно прямо¨, 41 паралельне перенесення, 40 поворот навколо точки, 41

як добуток осьових симетрiй, 50 простору, 122

властивостi, 123 класифiкацiя, 125 основна теорема, 123

паралельне перенесення, 122 симетрiя вiдносно площини, 122 центральна симетрiя, 122

який нема¹ iнварiантних точок, 124

179

Система координат

афiнна декартова на площинi, 21 афiнна на площинi, 20

афiнна в просторi, 95 координати точки, 21

полярнi, 29 полярна, 29

прямокутна декартова в просторi, 96 Теорема

ознака руху, 45

про дiю руху на репер, 41 про колiнеарнi вектори, 11 про компланарнi вектори, 12

про лiнiйну залежнiсть чотирьох векторiв, 14

про лiнiйну залежнiсть двох векторiв, 14 про лiнiйну залежнiсть трьох векторiв, 14 про рiвнiсть трикутникiв, 52

Умова

перпендикулярностi прямих, заданих рiвняннями з кутовим коефiцi¹нтом, 35

перпендикулярностi двох прямих на площинi, 35

Формула

вiдстанi мiж двома мимобiжними прямими, 121

вiдстанi вiд точки до прямо¨ в просторi, 120

Формули

афiнного перетворення, 60 зсуву площини, 62 косого стиску, 62 Крамера, 36

перетворення афiнних координат, 27, 100 перенесення початку координат, 28, 100 замiна базисних векторiв, 28, 101

перетворення прямокутних координат, 29 повороту площини, 46 повороту системи координат, 28

180