Prak_Geom1

Означення 2.11. Однопорожниним гiперболо¨дом назива¹ться поверхня, яка у деякiй прямокутнiй декартовiй системi координат зада¹ться рiвнянням

x2		y2	¡	z2		(2.104)
	+				= 1:
a2		b2		c2

Це рiвняння назива¹ться канонiчним рiвнянням однопорожниного гiперболо¨да, а додатнi числа a; b; c його пiвосями.

Означення 2.12. Двопорожниним гiперболо¨дом назива¹ться поверхня, яка у деякiй прямокутнiй декартовiй системi координат зада¹ться рiвнянням

x2		y2		z2		(2.105)
	+		¡		= ¡1:
a2		b2		c2

Це рiвняння назива¹ться канонiчним рiвнянням двопорожниного гiперболо¨да, а додатнi числа a; b; c його пiвосями.

Нехай ма¹мо однопорожниний гiперболо¨д (2.104). Оскiльки змiннi x; y; z входять у

рiвняння (2.104) тiльки в парних степенях, то гiперболо¨д симетричний вiдносно всiх координатних площин, координатних осей i початку координат. Крiм того очевидно, що осi симетрi¨ Ox i Oy перетинають поверхню у точках A1(a; 0; 0), A2(¡a; 0; 0), B1(0; b; 0),

B2(0; ¡b; 0). Îñi Ox i Oy називають дiйсними осями, а точки A1; A2; B1; B2 вершинами однопорожниного гiперболо¨да. Третя вiсь симетрi¨ (Oz) не ма¹ спiльних точок з цi¹ю

поверхнею (¨¨ називають уявною вiссю).
Дослiдимо форму однопорожниного гiперболо¨да (2.104). Якщо перетяти його площиною
z = h, то згiдно з теоремою 2.13 ортогональна проекцiя лiнi¨ перетину у площинi Oxy матиме
рiвняння	x2		y2			h2
									(2.106)
		+			= 1 +			:
	2		b	2		c	2
	a

Отже, при будь-якому h проекцiями лiнiй перетину у площинi Oxy будуть елiпси, заданi

рiвняннями виду		x2						y2
a2				¶		b2				¶
		µ1 + c2			+			µ1 + c2			= 1;
			h2						h2

тобто кожна площина z = h перетина¹ однопорожниний гiперболо¨д по елiпсу з центром на

îñi Oz i пiвосями
a¤ = ar						; b¤ = br				:
	1 + c2								1 + c2
			h2						h2
Зокрема, площина Oxy (h = 0) перетина¹ його по елiпсу
		x2				y2
				+				= 1;
		a2					b2

який називають горловим елiпсом.

Якщо ж перетяти його площиною y = h, то ортогональна проекцiя лiнi¨ перетину у площинi Oxz матиме рiвняння

x2		z2	h2			(2.107)
	¡		= 1 ¡		:
a2		c2		b2

Îòæå, ïðè ¡b < h < b площина y = h перетина¹ гiперболо¨д (2.104) по гiперболi з пiвосями

rr

a¤ = a 1 ¡ h2 ; c¤ = c 1 ¡ h2 ; b2 b2

151

ïðè jhj = b по парi прямих, якi у цiй площинi мають рiвняння

x2 ¡ z2 = 0; a2 c2

i ïðè jhj > b по гiперболi з пiвосями

rr

	h2		h2
c		¡ 1; a		¡ 1:
	b2		b2

i нарештi, якщо перетяти гiперболо¨д (2.104) площиною x = h, то ортогональна проекцiя лiнi¨ перетину у площинi Oyz матиме рiвняння

y2		z2	h2			(2.108)
	¡		= 1 ¡		:
b2		c2		a2

À îòæå, ïðè ¡a < h < a площина x = h перетина¹ його по гiперболi з пiвосями

rr

b 1 ¡ h2 ; c 1 ¡ h2 ; a2 a2

ïðè jhj = a по парi прямих, якi у цiй площинi мають рiвняння

y2 ¡ z2 = 0; b2 c2

ïðè jhj > a по гiперболi з пiвосями

	r					r
		h2					h2
c				¡ 1; b					¡ 1:
			a2					a2

i знову одержана iнформацiя да¹ можливiсть скласти уявлення про форму однопорожниного
гiперболо¨да.
На завершення зауважимо, що вивчення властивостей двопорожниного гiперболо¨да
проводиться в такий же спосiб. Вiдмiтимо також, що рiвняння дотично¨ площини для
однопорожниного та двопорожниного гiперболо¨дiв, як буде показано пiзнiше, мають такий
âèä:	x0x	y0y	z0z	x0x	y0y	z0z
	a2	+ b2	¡ c2 = 1;	a2	+ b2	¡ c2 = ¡1:

6 Параболо¨ди

Означення елiптичного параболо¨да. Параболо¨д обертання. Гiперболiчний параболо¨д. Дослiдження форми параболо¨дiв.

Означення 2.13. Елiптичним параболо¨дом назива¹ться поверхня, яка у деякiй прямокутнiй декартовiй системi координат зада¹ться рiвнянням

x2	+	y2		= 2z:	(2.109)
a2			b2

152

Це рiвняння назива¹ться канонiчним рiвнянням елiптичного параболо¨да. Нехай у площинi Oxz задано параболу

x2 ¡ 2pz = 0;

(2.110)

äå p > 0. Виходячи з рiвняння (2.110) у площинi Oxz вiзьмемо криву

p

x = 2pz

(праву частину параболи). Тодi вiд обертання цi¹¨ криво¨ навколо осi Oz дiстанемо поверхню,

задану рiвнянням	x2 + y2 = 2pz:

Позначивши p = a2, ма¹мо, що в результатi обертання параболи (2.110) навколо осi Oz (навколо осi параболи) дiстанемо поверхню,

	x2	+		y2	= 2z;	(2.111)
	a2		a2

яку називають параболо¨дом обертання.

Означення 2.14.	Гiперболiчним параболо¨дом назива¹ться поверхня,					ÿêà ó äåÿêié
прямокутнiй декартовiй системi координат зада¹ться рiвнянням
	x2		y2			(2.112)
			¡		= 2z:
		a2		b2

Це рiвняння назива¹ться канонiчним рiвнянням гiперболiчного параболо¨да.

Прийти до рiвняння (2.112) можна у такий спосiб. Нехай ма¹мо ортонормований репер

~ ~ ~

R = (O; i; j; k) i нехай точка O ¹ спiльна вершина двох парабол °1 i °2, перша з яких знаходиться у площинi Oyz i ма¹ рiвняння

y2 = 2qz;

äå q < 0, а друга у площинi Oxz i ма¹ рiвняння

x2 = 2px;

äå p > 0, тобто цi параболи мають спiльну вiсь симетрi¨ (Oz). Поверхня S, яка утворю¹ться

при неперервному перемiщеннi рухомо¨ параболи °1 по нерухомiй параболi °2, причому площина друго¨ параболи перпендикулярна площинi нерухомо¨ параболи i ¨¨ вiсь не змiню¹

153

напрямку, якраз ¹ гiперболiчним параболо¨дом. Справдi, нехай M(x; y; z) ¹ точка поверхнi S. Òîäi

згiдно з означенням лiнi¹ю перетину поверхнi S i площини §, яка проходить через точку

M перпендикулярно до осi Ox, ¹ парабола °10	, вершина яко¨ ¹ точка N(x; 0; Z) лежить на
параболi °2, тобто точка N ма¹ координати ³x; 0; 2xp´. ßêùî O0 ¹ точка перетину площини
	2
§ i îñi Ox, то у реперi (O0;~j;~k) рiвняння параболи °10			ма¹ вигляд

(Y 0)2 = 2q(Z0 ¡ Z):

0~ ~

Àоскiльки точка M у реперi (O ; j; k) ма¹ координати (y; z), i вони задовольняють останн¹

рiвняння, то звiдси виплива¹, що або

y2 = 2q(z ¡ Z)

y2 = 2q µz ¡ x2 ¶:

2p

Переписавши останн¹ рiвняння у виглядi

x2 + y2 = 2z p q

i позначивши a2 = p, b2 = ¡q, дiстанемо рiвняння (2.112).

7 Прямолiнiйнi твiрнi поверхонь другого порядку

Означення прямолiнiйно¨ твiрно¨ лiнi¨ другого порядку. Прямолiнiйнi твiрнi однопорожниного гiперболо¨да та ¨х властивостi. Прямолiнiйнi твiрнi гiперболiчного параболо¨да та ¨х властивостi.

Означення 2.15. Пряма, яка лежить на поверхнi, назива¹ться прямолiнiйною твiрною цi¹¨ поверхнi.

З цього означення виплива¹, що твiрнi цилiндрично¨ та конiчно¨ поверхонь ¹ ¨х прямолiнiйними твiрними. Оскiльки всi точки елiпсо¨да не виходять за межi деякого

154

паралелепiпеда, а на кожнiй прямiй ¹ точки, що не належать цьому паралелепiпеду, то

елiпсо¨д не ма¹ прямолiнiйних твiрних.

Розглянемо тепер двопорожниний гiперболо¨д, який задано рiвнянням (2.105). Оскiльки перерiз цi¹¨ поверхнi площиною z = h при довiльному h не мiстить прямих лiнiй, то

двопорожниний гiперболо¨д нема¹ прямолiнiйних твiрних, паралельних площинi Oxy àáî

якi лежать в цiй площинi. Якщо ж пряма не паралельна площинi Oxy i не лежить в нiй,

то така пряма перетина¹ цю площину в деякiй точцi, яка не лежить на поверхнi, оскiльки площина Oxy нема¹ спiльних точок з поверхнею. Отже, на данiй прямiй ¹ точки, якi не

належать поверхнi, а тому така пряма не може бути прямолiнiйною твiрною. Таким чином,

двопорожниний гiперболо¨д нема¹ прямолiнiйних твiрних. Аналогiчно можна переконатись

у тому, що елiптичний параболо¨д також нема¹ прямолiнiйних твiрних.

Залиша¹ться розглянути питання про прямолiнiйнi твiрнi однопорожниного гiперболо¨да

i гiперболiчного параболо¨да.

à) Прямолiнiйнi твiрнi однопорожниного гiперболо¨да. Рiвняння однопорожниного

гiперболо¨да

x2

y2

z2

¡

(2.113)

+

= 1

a2

b2

c2

подамо у такому видi:

³a

+ c

´³a ¡ c ´

= ³1 + b

´³1 ¡ b ´:

(2.114)

x

z

x

z

y

y

Тепер розглянемо двi системи рiвнянь:

´

= l1

8 k1

³a

+ c

> l

x

z

x

z

= k

1

³a

¡ c ´

1

<

>

:

x

z

8 k2 ³

¡

´ = l2

a

c

<

2

³a

c ´

= k

2

> l

x

+ z

>

:

³1 + b		´	;
	y
³1 ¡ b ´			;
	y
³1 + b		´	;
	y
³1 ¡ b		´	;
	y

(2.115)

(2.116)

äå k1; l1 довiльнi дiйснi числа, з яких хоча б одно вiдмiнне вiд нуля; цiй же умовi задовольняють i числа k2; l2.

155

Неважко переконатись у тому, що в кожнiй iз систем рiвнянь (2.115), (2.116) ранг матрицi, складено¨ з коефiцi¹нтiв при x; y; z, дорiвню¹ двом. Отже, кожна з цих систем визнача¹

пряму лiнiю. Якщо координати точки M0(x0; y0; z0) задовольняють систему рiвнянь (2.115)

або (2.116), то вони задовольняють i рiвняння (2.114). Звiдси виплива¹, що кожна пряма, яка визнача¹ться системою (2.115), як i кожна пряма, яка визнача¹ться системою (2.116), лежить на данiй поверхнi (2.113), тобто ¹ ¨¨ прямолiнiйною твiрною.

Прямi, якi визначаються системою рiвнянь (2.115) при рiзних значеннях k1; l1, íå

рiвних нулевi одночасно, утворюють одну сiм'ю прямолiнiйних твiрних однопорожниного гiперболо¨да (2.113), а прямi, якi визначаються системою (2.116), при аналогiчнiй умовi для k2; l2, утворюють iншу сiм'ю прямолiнiйних твiрних цi¹¨ поверхнi.

Вiдмiтимо без доведення основнi властивостi прямолiнiйних твiрних однопорожниного гiперболо¨да:

1)Через кожну точку однопорожниного гiперболо¨да проходять двi i тiльки двi прямолiнiйнi твiрнi. Одна з них належить сiм'¨ (2.115), а друга сiм'¨ (2.116).

2)Довiльнi двi прямолiнiйнi твiрнi однi¹¨ сiм'¨ мимобiжнi.

3)Довiльнi двi прямолiнiйнi твiрнi з рiзних сiмей лежать в однiй площинi.

á) Прямолiнiйнi твiрнi гiперболiчного параболо¨да. Рiвняння гiперболiчного

параболо¨да

x2

y2

(2.117)

¡

= 2z

подамо у виглядi ³a

+ b

a2

b2

´³a ¡ b ´ = 2z: Тепер розглянемо двi системи рiвнянь:

x

y

x

y

8 k1

³a

+ b ´

= l1z;

(2.118)

> l

x

y

x

y

= 2k

;

³a

¡ b ´

<

1

1

>

x

y

:

³

´ = l2z;

8 k2

¡

(2.119)

äå

a

b

<

2

³a

b ´

2

> l

x

+

y

= 2k

;

k1; l1 дiйснi числа, з яких

>

:

хоча б одно вiдмiнне вiд нуля; цiй же умовi задовольняють

числа k2; l2.

Точно так, як в пунктi а) можна показати,

що при всiляких значеннях параметрiв k1; l1, íå

рiвних нулю одночасно, i параметрiв k2; l2 також

не рiвних нулю одночасно, рiвняння (2.118)

визначають одну сiм'ю прямолiнiйних твiрних

поверхнi (2.117), а рiвняння (2.119) iншу

ñiì'þ.

Прямолiнiйнi твiрнi гiперболiчного параболо¨да володiють тими ж властивостями 1), 2),

3), що i твiрнi однопорожниного xгiперболо¨да,y

i ще однi¹ю властивiстю: прямолiнiйнi твiрнi

сiм'¨ (2.118) паралельнi площинi

¡

= 0, а всi прямолiнiйнi твiрнi сiм'¨ (2.119) паралельнi

a

b

площинi

x

y

+

= 0, в чому неважко переконатись.

a

b

156

2.5 Загальна теорiя поверхонь другого порядку

1 Перетин поверхнi другого порядку з прямою

Задачi, якi виникають при дослiдженнi загального рiвняння поверхнi другого порядку. Перетин поверхнi другого порядку з прямою.

~~ ~

Нехай O i j k прямокутна декартова система координат у просторi. Як вже говорилось

на стор. 132 поверхнею другого порядку назива¹ться множина всiх точок M(x; y; z) простору, координати яких задовольняють рiвняння (2.83), тобто

a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0; (2.120)

äå aij довiльнi дiйснi числа i хоча б один iз коефiцi¹нтiв a11; a22; a33 âiäìiííèé âiä íóëÿ.

Надалi будемо вважати, що aij = aji äëÿ âñiõ i; j = 1; 2; 3. Рiвняння (2.120), як вiдмiчалось,

назива¹ться загальним рiвнянням поверхнi другого порядку. Природно виникають такi двi задачi:

а) Визначити всi види поверхонь другого порядку, заданих рiвнянням (2.120).

б) Знайти канонiчнi (тобто найпростiшi) рiвняння поверхонь, якi заданi загальним рiвнянням (2.120).

Нехай поверхня другого порядку задана загальним рiвнянням (2.120), а пряма
параметричними рiвняннями
x = x0 + a1t; y = y0 + a2t; z = z0 + a3t:	(2.121)

Знайдемо точки перетину прямо¨ з поверхнею. Для цього рiвняння (2.121) пiдставимо у рiвняння (2.120) i пiсля групування при степенях параметра t ми отрима¹мо квадратне

рiвняння (2.122) вiд даного параметра:

P t2 + 2Qt + R = 0;	(2.122)
äå
P = a11a12 + a22a22 + a33a32 + 2a12a1a2 + 2a13a1a3 + 2a23a2a3;	(2.123)
Q = (a11x0 + a12y0 + a13z0 + a14)a1 + (a21x0 + a22y0 + a23z0 + a24)a2 +
+ (a31x0 + a32y0 + a33z0 + a34)a3;	(2.124)
R = a11x02 + a22y02 + a33z02 + 2a12x0y0 + 2a13x0z0 + 2a23y0z0 +
+ 2a14x0 + 2a24y0 + 2a34z0 + a44:	(2.125)

Якщо в рiвняннi (2.122) P =6 0, то з нього визнача¹мо два значення параметра t: t1 i t2. Îòæå,

à) ÿêùî t1 i t2 дiйснi рiзнi коренi (2.122), то пряма перетина¹ поверхню в двох дiйсних точках;

á) ÿêùî t1 i t2 комплекснi спряженi коренi (2.122), то пряма ма¹ з поверхнею двi уявнi спiльнi точки;

â) ÿêùî t1 = t2, то пряма ма¹ з поверхнею спiльнi двi спiвпавших точки перетину.

157

Розглянемо деякi частинi випадки рiвняння (2.122): I. P =6 0:

1.ßêùî Q = 0, R 6= 0, то за теоремою Вi¹тта t1 6= 0, t2 6= 0, t1 + t2 = 0, çâiäêè t1 = ¡t2, що означа¹, що точка M0(x0; y0; z0) ¹ середина хорди, яка ма¹ напрямок ~a(a1; a2; a3).

2.Q 6= 0, R = 0, òîäi t1 = 0. В цьому випадку M0(x0; y0; z0) одна з точок перетину прямо¨ (2.121) з поверхнею.

3.Q = R = 0, òîäi t1 = t2 = 0. Пряма ма¹ з поверхнею двi спiвпавших точки.

II.P = 0:

1.ßêùî Q 6= 0, òî (2.122) ì๠âèä 2Qt + R = 0. Отже, пряма (2.121) ма¹ з поверхнею ¹дину спiльну точку.

2.ßêùî Q = 0, R 6= 0, то тодi (2.122) розв'язкiв нема¹, а тому пряма нема¹ спiльних точок з поверхнею.

3.ßêùî Q = R = 0, то всi значення t задовольняють (2.122). Отже, пряма (2.121) лежить на поверхнi.

2 Асимптотичнi напрямки поверхнi другого порядку

Асимптотичнi напрямки поверхнi другого порядку. Конус асимптотич- них напрямкiв.

Означення 2.16. Напрямок прямо¨ назива¹ться асимптотичним вiдносно поверхнi другого порядку, якщо координати напрямного вектора ~a(a1; a2; a3) цi¹¨ прямо¨

задовольняють рiвняння P = 0, äå P обчислю¹ться за формулою (2.123).

Нехай пряма l ма¹ асимптотичний напрямок ~a(a1; a2; a3), òîäi P = 0. Розглянемо випадок, коли P = o, Q =6 0, тодi з трьох координат вектора ~a хоча б одна не рiвна нулевi. Нехай це

áóäå a3 6= 0. Отже, вектор ~a0(a01; a02; a03), äå a01 = a1 +", a02 = a2, a03 = a3, не колiнеарний вектору ~a, а тому пряма l0, колiнеарна вектору ~a0, яка проходить через точку M0, перетина¹ поверхню

в двох точках. Якщо " ! 0, òî ~a0 ! ~a i пряма l0 ! l, при цьому одна з точок перетину прямо¨

l0 з поверхнею буде необмежено вiддалятися вiд M0, змiщуючись по поверхнi.

Координати напрямного вектора прямо¨ асимптотичного напрямку визначаються з рiвняння P = 0, тобто згiдно (2.123) з рiвняння:

a11a21 + a22a22 + a33a23 + 2a12a1a2 + 2a13a1a3 + 2a23a2a3 = 0:

Знайдемо геометричне мiсце прямих, що проходять через точку M0(x0; y0; z0) асимптотичний напрямок ~a(a1; a2; a3). Нехай

(2.126)

i мають

	x ¡ x0	=	y ¡ y0	=	z ¡ z0	(= t коефiцi¹нт пропорцiйностi)		(2.127)
	a1		a2		a3
¹ канонiчнi рiвняння кожно¨ ц их прямих. З (2.127) отриму¹мо
		x ¡ x0 = at;				y ¡ y0 = a2t;	z ¡ z0 = a3t:	(2.128)

158

Помноживши тепер (2.126) на t2 i скориставшись (2.128), ми пiсля скорочення на t2, будемо мати рiвняння шуканого геометричного мiсця:

a11(x ¡ x0)2 + a22(y ¡ y0)2 + a33(z ¡ z0)2 + 2a12(x ¡ x0)(y ¡ y0) +				(2.129)
+2a13(x ¡ x0)(z ¡ z0) + 2a23(y ¡ y0)(z ¡ z0) = 0:
Перенесемо початок координат системи	~~ ~	в точку	M0, скориставшись	формулами
	O i j k

паралельного перенесення: x = x0			+ x0, y = y0 + y0, z = z0		+ z0. Тодi в системi координат
~~ ~	рiвняння 2.129) буде мати вид:
M0 i j k
	a11x02 + a22y02 + a33z02 + 2a12x0y0 + 2a13x0z0 + 2a23y0z0 = 0:					(2.130)
Повернемо тепер навколо точки		M0	систему координат	~~	~ таким чином, щоб коефiцi¹нти
				M0 i j k

при добутках змiнних перетворилися в нуль. Це завжди можна зробити, що буде доведено згодом. Тодi в отриманiй системi координат, яку ми позначимо через M0XY Z, рiвняння

(2.130) набуде виду:	s1X2 + s2Y 2 + s3Z2 = 0;	(2.131)

äå s1; s2; s3 деякi дiйснi числа.

ßêùî s1 =6 0, s2 =6 0, s3 =6 0, то (2.131) визнача¹ конiчну поверхню, що назива¹ться

конусом асимптотичних напрямкiв. Якщо одне або два з чисел s1; s2; s3 дорiвнюють нулевi, то (2.131) визнача¹ пару рiзних або спiвпавших площин.

На рисунках зображенi конуси асимптотичних напрямкiв для однопорожниного, двопорожниного гiберболо¨дiв та гiперболiчного параболо¨да.

3 Центр поверхнi другого порядку

Означення центру поверхнi другого порядку. Знаходження координат центру поверхнi другого порядку.

Означення 2.17. Центром поверхнi другого порядку назива¹ться така точка S, яка ¹ центром симетрi¨ цi¹¨ поверхнi.

Нехай поверхня другого порядку задана загальним рiвнянням (2.120):

a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0:

Лiву частину	рiвняння (2.120)	позначимо через 2F (x; y; z), òîäi	(2.120) запишеться як
2F (x; y; z) =	0. Припустимо,	що поверхня (2.120) ма¹ центр	S(x0; y0; z0). Викона¹мо

159

паралельне перенесення системи координат так, щоб ¨¨ початок спiвпав з точкою S. Як вiдомо формули паралельного перенесення мають вид:

	x = x0 + x0; y = y0 + y0;	z = z0 + z0:	(2.132)
Пiдставивши (2.132) в (2.120) отрима¹мо
a11x02 + a22y02 + a33z02 + 2a12x0y0 + 2a13x0z0 + 2a23y0z0 + 2a140 x0 + 2a240 y0 + 2a340 z0 + a440 = 0;			(2.133)
äå	ai04 = ai1x0 + ai2y0 + ai3z0 + ai4;	i = 1; 2; 3;
	a440 = 2F (x0; y0; z0):

Нехай M(x0; y0; z0) довiльна точка поверхнi, де x0; y0; z0 дiйснi або уявнi числа. За означенням центра точка M0(¡x0; ¡y0; ¡z0), яка симетрична M вiдносно центра S, належить поверхнi (2.133), тому

a11x02 + a22y02 + a33z02 + 2a12x0y0 + 2a13x0z0 + 2a23y0z0 ¡2a140 x0 ¡2a240 y0 ¡2a340 z0 + a440	= 0: (2.134)
Вiднiмаючи (2.134) вiд (2.133), отриму¹мо 4a140 x0 + 4a240 y0 + 4a340 z0 = 0, àáî
a140 x0 + a240 y0 + a340 z0 = 0:	(2.135)

Рiвнянню (2.0135)0 задовольняють0 координати довiльно¨ точки поверхнi. Отже, якби êîåôiöi¹íòè a14; a24; a34 не були рiвнi нулевi одночасно, то (2.135) визначала б площину, тобто поверхня була б площиною (точнiше парою спiвпавших площин). Таким чином,

a140 = 0; a240 = 0; a340 = 0:

(2.136)

Отже, отриму¹мо рiвняння, яким задовольняють координати центра, якщо вiн iсну¹:

a140	= Fx00 = a11x0 + a12y0 + a13z0 + a14 = 0;
a240	= Fy0	0	= a21x0 + a22y0 + a23z0 + a24 = 0;	(2.137)
a340	= Fz00		= a31x0 + a32y0 + a33z0 + a34 = 0:

Таким чином, координати центра ¹ розв'язком системи рiвнянь:							(2.138)
Fy0	= a21x + a22y + a23z + a24				= 0;	9
Fx0	= a11x + a12y + a13z + a14				= 0;
						>
F = a x + a y + a z + a = 0:						=
z0						;
	31	32	33	34		>

Якщо поверхня склада¹ться з пари спiвпавших площин, то рiвняння поверхнi (2.120) можна записати так: (®x + ¯y + °z + ±)2 = 0. Отже, для довiльно¨ точки поверхнi мають

мiсце рiвностi:

Fx0 = ®(®x + ¯y + °z + ±) = 0; Fy0 = ¯(®x + ¯y + °z + ±) = 0; Fz0 = °(®x + ¯y + °z + ±) = 0:

Таким чином, у випадку двох спiвпавших площин кожна точка цi¹¨ поверхнi ¹ центром.

160