Prak_Geom1

ранги вiдповiдно матриць:

ßñíî, ùî r < r0, причому за теоремою Кронекера-Капеллi система рiвнянь (2.50) i (2.51) сумiсна тодi i тiльки тодi, коли r = r0. Отже, тiльки в цьому випадку площини ¾1 i ¾2 мають

õî÷à á îäíó ñïiëüíó0 точку. Можливi такi три випадки:

1) r = r = 1. Це означа¹, що коефiцi¹нти A1; B1; C1; D1 рiвняння (2.50) пропорцiйнi êîåôiöi¹íòàì A2; B2; C2; D2 рiвняння (2.51). Цей факт слiд розумiти так: два рiвняння (2.50)

i (2.51) визначають0 одну i ту ж площину (рис. (а) на стор. 111).

2) r = r = 2. В цьому випадку площини рiзнi i мають хоча б одну спiльну точку, тому

вони перетинаються0 ïî ïðÿìié (ðèñ. (á) íà ñòîð. 111).

3) r = 2, r = 1. Система рiвнянь (2.50) i (2.51) несумiсна, а тому площини ¾1 i ¾2 íå мають спiльних точок. Отже вони паралельнi (рис. (в) на стор. 111).

Вза¹мне розташування трьох площин. Нехай тепер в афiннiй системi координат заданi три площини ¾1, ¾2, ¾3 сво¨ми загальними рiвняннями:

¾1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0; ¾2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0; ¾3: A3x + B3y + C3z + D3 = 0:

(2.52)

(2.53)

(2.54)

Позначимо через R i R0

0 A2	B2	C2	1	i
A1	B1	C1	A
@ A3	B3	C3

0 A2	B2	C2	D2	1:
A1	B1	C1	D1	A
@ A3	B3	C3	D3

Можливi вiсiм наступних випадкiв вза¹много розташування цих площин, якi ми проiлюстру¹мо на рисунках а) з):

а) площини мають тiльки одну спiльну точку;

б) площини попарно перетинаються, але не мають спiльно¨ точки; в) площини попарно рiзнi, але проходять через одну пряму;

г) двi площини паралельнi, а третя ¨х перетина¹; д) три площини попарно паралельнi;

е) двi площини спiвпадають, а третя ¨х перетина¹;

111

ж) двi площини спiвпадають, а третя ¨м паралельна; з) всi три площини спiвпадають.

Очевидно у випадку а) 0система рiвнянь (2.52), (2.53) i (2.54) ма¹ ¹диний розв'язок тодi i тiльки тодi, коли R = R = 3. В iнших випадках дослiдження вза¹много розташування

à)

á)

â)

ã)

ä)	, ¾2, ¾3	å)	æ)	ç)
площин ¾1		зводиться до дослiдження вза¹много розташування кожно¨ з пар площин

f¾1; ¾2g, f¾1; ¾3g, f¾2; ¾3g. Тут ми не будемо проводити такi дослiдження в загальному випадку, оскiльки вони не мають великого практичного значення.

4 Вiдстань вiд точки до площини. Кут мiж площинами

Вiдстань вiд точки до площини. Кут мiж двома площинами.

Нехай в прямокутнiй системi координат

~~ ~ задана площина

загальним рiвнянням

O i j k

¾

Ax + By + Cz + D = 0 i точка M0(x0; y0; z0), ÿêà íå

лежить в цiй площинi. Необхiдно знайти вiдстань

½(M0; ¾) вiд точки M0

до площини ¾. Позначимо

через M1(x1; y1; z1) основу перпендикуляра,

проведеного з точки M0 до площини ¾. Âiäîìî,

ùî

вектор ~n(A; B; C)

перпендикулярний до

площини ¾, à òîìó

âií

колiнеарний

вектору

M1M0. За означенням скалярного добутку ми

¡¡¡¡!

ìà¹ìî:

M1M0

~n cos(M1M0; ~n) =

M1M0~n =

¡¡¡¡!

j¡¡¡¡!jj j

¡¡¡¡!

=

M1M0

~n (

1):

M1M0(x0

x

; y

y

; z

z

j¡¡¡¡!jj j

§

), ~n(A; B; C) i M1M0

= ½(M0; ¾), ми отриму¹мо:

Враховуючи, що ¡¡¡¡!

¡

1

0 ¡

1

0

¡

1

j¡¡¡¡!j

(x0 ¡ x1)A + (y0 ¡ y1)B + (z0 ¡ z1)C = ½(M0; ¾)p

¢ (§1):

(2.55)

A2 + B2 + C2

112

Îñêiëüêè M1 2 ¾, òî Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0 i лiва частина рiвностi (2.55) ма¹ вид By0 + Cz0 + D, то з рiвностi (2.55) отриму¹мо:

½(M0; ¾) = jAx0p+ By0 + Cz0 + Dj: A2 + B2 + C2

Ax0 +

(2.56)

Приклад. Користуючись формулою (2.56) , знайти вiдстань ½(¾1; ¾2) мiж паралельними площинами ¾1; ¾2, якi в прямокутнiй системi координат заданi загальними рiвняннями:

¾1: Ax + By + Cz + D1 = 0;

¾2: Ax + By + Cz + D2 = 0;

äå D1 6= D2.

Вiдмiтимо, що площини ¾1; ¾2 дiйсно паралельнi, оскiльки вони перпендикулярнi одному i тому ж вектору ~n(A; B; C). Нехай M0(x0; y0; z0) довiльна точка площини ¾1. Тодi, очевидно, ½(¾1; ¾2) = ½(M0; ¾2), тому, користуючись формулою (2.56), знаходимо:

½(¾ ; ¾	) =	jAx0 + By0 + Cz0 + D2j			:
1 2		pA2 + B2 + C2

Îñêiëüêè M0 2 ¾1, òî Ax0 + By0 + Cz0 + D1 = 0. Таким чином, знайдена формула набува¹

âèäó:			jD2 ¡ D1j
½(¾ ; ¾	) =			:
1 2		pA2 + B2 + C2

Кут мiж двома площинами. Нехай в прямокутнiй системi координат заданi двi площини, якi перетинаються, сво¨ми загальними рiвняннями:

¾1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0; ¾2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0:

Необхiдно знайти кут мiж цими площинами. Нагада¹мо,
що двi площини, якi перетинаються, утворюють чотири
двогранних кути, i кожний з них назива¹ться кутом мiж
даними площинами.
Оскiльки вектори ~n1(A1; B1; C1) i ~n2(A2						; B2; C2)
перпендикулярнi вiдповiдно даним площинам,						òî êóò
' = (~n1; ~n2) дорiвню¹ лiнiйному кутовi одного з двогранних
кутiв, утворених площинами ¾1 i ¾2, тому необхiдно знайти
кут мiж нормальними векторами ~n1 i ~n2. Çãiäíî íàñëiäêó 1.3
ìè ìà¹ìî:
		A1A2 + B1B2 + C1C2				(2.57)
cos ' =					:
	p		p
		A12 + B12 + C12		A22 + B22 + C22

З формули (2.57) виплива¹, що двi площини ¾1 i ¾2 перпендикулярнi тодi i тiльки тодi, коли ~n1~n2 = 0, тобто коли

A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0:

113

5 Рiвняння прямо¨ в просторi

Напрямний пiдпростiр прямо¨. Канонiчнi рiвняння прямо¨. Рiвняння прямо¨, задано¨ двома точками. Рiвняння прямо¨, задано¨ двома площинами. Параметричнi рiвняння прямо¨.

Нехай l пряма в просторi. Вiдомо, що кожний ненульовий вектор, паралельний до

цi¹¨ прямо¨, назива¹ться напрямним вектором. Пряма ма¹ нескiнченну кiлькiсть напрямних векторiв, якi разом з нульовим вектором утворюють одновимiрний векторний пiдпростiр, який назива¹ться напрямним пiдпростором прямо¨ l.

Положення прямо¨ l в просторi визнача¹ться повнiстю, якщо заданi:

а) напрямний вектор прямо¨ l i деяка ¨¨ точка (рис. (а));

б) двi точки прямо¨ (рис. (б ));

в) двi площини, якi перетинаються по прямiй l (ðèñ. (â)).

Знайдемо рiвняння прямо¨ в просторi в кожному з цих випадкiв.

Канонiчнi рiвняння прямо¨. Нехай в просторi вибрана афiнна система координат i в цiй системi вiдомi координати точки M0(x0; y0; z0) i координати напрямного вектора

p~(p1; p2; p3) прямо¨ l. Припустимо спочатку, що жодна з координат вектора p~ íå äîðiâíþ¹

нулевi.

¡¡¡!

Очевидно, точка M(x; y; z) лежить на прямiй l тодi i тiльки тодi, коли вектори M0M i

¡¡¡!

¡

0

¡

0

¡

0

p~ колiнеарнi. Оскiльки M0M(x

x

; y

y

; z

z ), то за умовою колiнеарностi координати

векторiв ¡¡¡!

M0M i p~ повиннi бути пропорцiйними, тому

x ¡ x0

=

y ¡ y0

=

z ¡ z0

:

(2.58)

p1

p2

p3

Цi рiвняння називаються канонiчними рiвняннями прямо¨ в просторi.

6= 0, p3 = 0, òî

Якщо одна з координат вектора p~ дорiвню¹ нулю, наприклад: p1 6= 0, p2

рiвняння (2.58) запишуться так:

x ¡ x0

=

y ¡ y0

;

z

¡

z

0

= 0:

(2.59)

p1

p2

114

Коли ж двi координати вектора p~ дорiвнюють нулю, наприклад: p1 =6 0, p2 = 0, p3 = 0, то рiвняння (2.58) запишуться таким чином:

y ¡ y0 = 0; z ¡ z0 = 0:6

(2.60)

Рiвняння прямо¨, задано¨ двома точками. Нехай в просторi вибрана афiнна система координат i в цiй системi вiдомi координати двох точок M1(x1; y1; z1) i M2(x2; y2; z2) прямо¨

¡¡¡¡!

l. Тодi вектор M1M2(x2 ¡ x1; y2 ¡ y1; z2 ¡ z1) буде напрямним вектором прямо¨, а тому згiдно (2.58) канонiчнi рiвняння прямо¨ будуть такi:

x ¡ x1	=	y ¡ y1	=	z ¡ z1	;	(2.61)
x2 ¡ x1		y2 ¡ y1	z2 ¡ z1

äå x2 ¡ x1 =6 0, y2 ¡ y1 =6 0, z2 ¡ z1 =6 0. Якщо хоч одна з координат напрямного вектора

дорiвню¹ нулю, то ми користу¹мося формою запису (2.59) або (2.60).
Рiвняння прямо¨, задано¨ двома площинами. Нехай пряма l ¹ лiнi¹ю перетину двох
площин ¾1 i ¾2, якi в афiннiй системi координат заданi загальними рiвняннями:
¾1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0;
¾2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0:	(2.62)

Очевидно, що точка M(x; y; z) лежить на прямiй l тодi i тiльки тодi, коли ¨¨ координати ¹

розв'язком системи (2.62). Отже дана система сумiсна. Враховуючи, що данi площини не
спiвпадають, звiдси виплива¹, що ранг матрицi µ	A2	B2	C2	¶ äîðiâíþ¹ äâîì. Òiëüêè ïðè
	A1	B1	C1

такiй умовi система рiвнянь виду (2.62) визнача¹ в просторi пряму лiнiю.

Для того щоб знайти канонiчнi рiвняння прямо¨, задано¨ рiвняннями (2.62), треба знати координати деяко¨ точки M0 цi¹¨ прямо¨ i деякого напрямного вектора p~. Точку M0(x0; y0; z0)

можна вибрати так, щоб ¨¨ координати задовольняли систему (2.62), а для знаходження

координат напрямного вектора слiд скористатись наступною лемою.

Ëåìà 2.4.

Якщо в афiннiй системi координат пряма задана системою рiвнянь (2.62), то

вектор p~

µ¯

B2

C2

¯; ¡ ¯

A2

C2

¯

; ¯

A2

B2

¯¶

¹ напрямним вектором цi¹¨ прямо¨.

¯

B1

C1

¯

¯

A1

C1

¯

¯

A1

B1

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

Доведення. За¯

лемою

¯2.3 ïðî¯

паралельнiсть¯ ¯

вектора¯

до площини ма¹мо

¯

¯

2

2

¯ ¡

¯

2

2

¯

¯

2

2

¯

¯

A B C

¯

B

C

¯

¯

A

C

¯

¯

A

B

¯

¯

A1

B1

C1

¯

2

2

2

A1

¯

B1

C1

¯

B1

¯

A1

C1

¯

+ C1

¯

A1

B1

¯

¯

A1 B1

C1

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

що означа¹ паралельнiсть вектора p~ до площини ¾1. Аналогiчно¯

доводимо,

¯ùî p~ паралельний

площинi ¾2. Таким чином, вектор p~ паралельний до прямо¨ l.

Параметричнi рiвняння прямо¨. Нехай в просторi вибрана афiнна система координат i в цiй системi вiдомi координати точки M0(x0; y0; z0) i координати напрямного вектора

p~(p1; p2; p3) прямо¨ l.

6Вiдмiтимо, що на практицi ми будемо все-таки користуватись формальним записом x¡x0				= y¡y0	= z¡z0
çàìiñòü (2.59) àáî x¡x0 = y¡y0			p1	p2	0
		= z¡z0
p1	0	0 замiсть (2.60), де риска дробу не буде розумiтися як операцiя дiлення.
Числа, якi стоять у знаменнику просто означають координати напрямного вектора прямо¨.

115

					¡¡¡!
	Очевидно, точка M(x; y; z) лежить на прямiй l тодi i тiльки тодi, коли вектори M0M i
			¡¡¡!
	p~ колiнеарнi, тобто iсну¹ таке число t, ùî M0M = t~p. Ця рiвнiсть в координатнiй формi
	запишеться так:	x ¡ x0	= tp1; y ¡ y0	= tp2; z ¡ z0	= tp3;
	àáî
			x = x0	+ p1t;
					(2.63)
			y = y0 + p2t;
			z = z0 + p3t:

Рiвняння (2.63) називаються параметричними рiвняннями прямо¨, а t параметром.

6 Вза¹мне розташування двох прямих, прямо¨ i площини

Розташування двох прямих в просторi. Ознака належностi прямих однiй площинi. Вза¹мне розташування прямо¨ i площини.

Розташування двох прямих в просторi. Нехай в просторi заданi: пряма l1 точкою

M1 i напрямним вектором p~1 i пряма l2 точкою M2 i
напрямним вектором p~2. Виявля¹ться, що за векторами
¡¡¡¡!
M1M2, p~1, p~2 можна встановити вза¹мне розташування цих
прямих. Очевидно, що можливi такi чотири випадки:
1) прямi мимобiжнi;	2) прямi перетинаються;
3) прямi паралельнi;	4) прямi спiвпадають.
Розглянемо кожний з цих випадкiв окремо. Вiдмiтимо, що
ïðÿìi l1, l2 лежать в однiй площинi тодi i тiльки тодi, коли
вектори ¡¡¡¡!
M1M2, p~1, p~2 компланарнi, а тому мiшаний добу-
ток цих векторiв дорiвню¹ нулевi, тобто
¡¡¡¡!	(2.64)
M1M2 p~1p~2 = 0:

Надалi рiвнiсть (2.64) будемо називати ознакою того, що двi прямi в просторi лежать в однiй площинi.

1) Вiдомо, що двi прямi називаються мимобiжними, якщо вони не лежать в однiй площинi. Отже, для того щоб прямi l1, l2 бiли мимобiжними, необхiдно i достатньо, щоб

виконувалась умова	M1M2 p~1p~2 = 0:		(2.65)
	¡¡¡¡!	6

2) Очевидно, що двi прямi перетинаються, якщо вони лежать в однiй площинi i ¨х напрямнi
вектори не колiнеарнi. Таким чином, прямi l1			, l2	перетинаються тодi i тiльки тодi, коли
M1M2 p~1p~2 = 0 i p~1	,	p~2.
¡¡¡¡!

3) ßêùî ïðÿìi l1, l2 паралельнi, то вони лежать в однiй площинi i не мають спiльних точок.

¡¡¡¡!

Це можливо, коли напрямнi вектори p~1, p~2 колiнеарнi, а вектори M1M2 i p~1 не колiнеарнi.

¡¡¡¡!

Îòæå, ïðÿìi l1, l2 паралельнi тодi i тiльки тодi, коли p~1 k p~2 i p~1 , M1M2. ¡¡¡¡!

4) ßñíî, ùî ïðÿìi l1, l2 спiвпадають, тодi i тiльки тодi, коли вектори p~1, p~2, M1M2 попарно

¡¡¡¡!

колiнеарнi, тобто p~1 k p~2 k M1M2.

Вза¹мне розташування прямо¨ i площини. Нехай в просторi задана пряма l точкою

M0(x0; y0; z0) i напрямним вектором p~(p1; p2; p3), а площина ¾ задана загальним рiвнянням Ax + By + Cz + D = 0 в афiннiй системi координат. Можливi такi випадки ¨х вза¹много розташування:

116

p~1p~2

1) Пряма i площина перетинаються, тобто мають одну спiльну точку. Це можливо, коли напрямний вектор p~ прямо¨ l не паралельний площинi ¾, тобто коли

Ap1 + Bp2 + Cp3 6= 0:

Щоб знайти координати точки перетину, досить розв'язати систему, яка склада¹ться з рiвнянь прямо¨ та рiвняння площини.

2) Пряма паралельна площинi. В цьому випадку вектор p~ паралельний до площини i точка M0 не лежить в площинi. Отже, буде виконуватись така система умов:

(

Ap1 + Bp2 + Cp3 = 0; Ax0 + By0 + Cz0 + D =6 0:

3) Пряма лежить в площинi, очевидно тодi i тiльки тодi, коли виконуватиметься така

система рiвнянь: (

Ap1 + Bp2 + Cp3 = 0; Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0:

7 Кути мiж двома прямими, мiж прямою i площиною

Кути мiж двома прямими. Кут мiж прямою i площиною.

Кути мiж двома прямими. Нехай в просторi данi двi непаралельнi прямi l1 i l2.

Вiзьмемо довiльну точку A простору i проведемо через не¨ прямi l10 i l20 , вiдповiдно паралельнi прямим l1 i l2. Ïðÿìi l10 i l20 утворюють чотири кути з вершиною A. Кожний з цих кутiв

назива¹ться кутом мiж прямими l1 i l2. Якщо вiдомий один з цих чотирьох кутiв, то легко

знаходяться iншi три кути. Але один з цих чотирьох кутiв ¹ в точностi кут мiж напрямними векторами даних прямих. Якщо p~1, p~2 напрямнi вектори прямих l1 i l2, òî êóò ®1 ìiæ íèìè

обчислюють за формулою

cos ®1 = jp~1jjp~2j:

Звiдси отриму¹мо умову перпендикулярностi двох прямих в просторi: p~1p~2 = 0.

Нагада¹мо, що двi вза¹мно перпендикулярнi прямi в просторi можуть бути мимобiжними або якi перетинаються.

Кут мiж прямою i площиною. Якщо пряма l перетина¹ площину ¼ i не перпендикулярна ¨й, то кутом мiж ними називають кут мiж прямою l i ¨¨ проекцi¹ю на

117

площину ¼. Кут мiж прямою i площиною ¹ прямим, якщо пряма перпендикулярна площинi,

i дорiвню¹ нулю, якщо або пряма паралельна площинi, або пряма належить площинi.

Нехай в прямокутнiй системi координат p1; p2

; p3

¹ координати напрямного вектора p~

прямо¨

l

, тобто у базисi

~ ~

~

цi¹¨ системи вектор

p~

ма¹ подання

~

~

~

à

(i; j; k)

ма¹ подання

~

~

p~ = p1i + p2j + p3k;

нормальний вектор площини

~ де координати

¼

~n = Ai + Bj + Ck;

A; B; C

коефiцi¹нти при змiнних в загальному рiвняннi Ax + By + Cz + D = 0 площини ¼, òî êóò

мiж прямою i площиною неважко знайти через цi вектори.

Справдi, нехай ' кут мiж прямою l i площиною ¼, à Ã кут мiж векторами p~ i ~n. Òîäi

¼

¼

очевидно, що sin ' = cos Ã, ÿêùî Ã <

(ðèñ. (à) íà ñòîð. 118), i sin ' = ¡ cos Ã, ÿêùî Ã >

2

2

(ðèñ. (á) íà ñòîð. 118).

Îñêiëüêè 0 < ' < ¼, òî sin ' > 0 i sin ' = j cos Ãj, а отже, для визначення кута мiж

прямою i площиною ма¹мо формулу

sin ' =

j

cos Ã

j

=

j~n p~j

;

(2.66)

~n

p~

j

jj j

зокрема пряма l перпендикулярна площинi ¼ òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè

~n p~ = 0:

(2.67)

В координатнiй формi формула (2.66) запишеться як

sin ' =		jAp1 + Bp2 + Cp3j				;	(2.68)
	pp12 + p22 + p32 p			A2 + B2	+ C2

а формула (2.67), тобто необхiдна i достатня умова перпендикулярностi прямо¨ i площини,
у виглядi	Ap1	+ Bp2 + Cp3	= 0:	(2.69)

8 Основнi задачi на пряму i площину

Основнi задачi на пряму i площину: рiвняння площини, яка проходить через точку або пряму, паралельно до площини або прямо¨; вiдстань вiд точки до прямо¨ в просторi; вiдстань мiж мимобiжними прямими.

1±: В афiннiй системi координат заданi площина рiвнянням Ax + By + Cz + D = 0 i

точка M0(x0; y0; z0), яка не лежить в данiй площинi. Написати рiвняння площини ¾, яка проходить через точку M0 паралельно данiй площинi.

118

Рiвняння шукано¨ площини ¾, очевидно, ма¹ вид Ax + By + Cz + D0 = 0, äå D0 6= D. Пiдберемо значення D0 òàê, ùîá M0 2 ¾. Для цього пiдставимо координати точки M0 â äàíå рiвняння i обчислимо D0. Ìà¹ìî Ax0 + By0 + Cz0 + D0 = 0, çâiäêè D0 = ¡Ax0 ¡ By0 ¡ Cz0,

òîìó Ax + By + Cz ¡ Ax0 ¡ By0 ¡ Cz0 = 0, тобто

A(x ¡ x0) + B(y ¡ y0) + C(z ¡ z0) = 0:

2±: Записати рiвняння площини ¾, яка проходить через дану точку M0(x0; y0; z0) i через пряму, яка задана рiвняннями:

A1x + B1y + C1z + D1 = 0; A2x + B2y + C2z + D2 = 0:

Перший спосiб. З даних рiвнянь спочатку знайдемо координати яких-небудь точок M1 i M2 дано¨ прямо¨, а потiм запишемо рiвняння площини, яка проходить через три точки M0,

M1, M2.

Другий спосiб. Шукане рiвняння площини ¾ запишемо у виглядi

A1x + B1y + C1z + D1 + ¸(A2x + B2y + C2z + D2) = 0;	(2.70)
äå ¸ дiйсне число. Запишемо (2.70) в такому видi:
(A1 + ¸A2)x + (B1 + ¸B2)y + (C1 + ¸C2)z + (D1 + ¸D2) = 0:	(2.71)

Êîåôiöi¹íòè ïðè x; y; z в рiвняннi (2.71) одночасно не дорiвнюють нулевi, оскiльки, як вiдомо
ранг матрицi	µ	A2	B2	C2	¶	дорiвню¹ двом. Це означа¹, що рiвняння (2.71) визнача¹
		A1	B1	C1

площину, причому вона, як неважко перевiрити, проходить через задану пряму. Отже, рiвняння (2.70) визнача¹ множину площин, якi проходять через дану пряму. Така множина назива¹ться пучком площин. Пiдставимо в (2.70) координати точки M0 i обчислимо значення

¸:

¸ = ¡A1x0 + B1y0 + C1z0 + D1 : A2x0 + B2y0 + C2z0 + D2

Пiдставляючи тепер це значення ¸ в рiвняння (2.71) ми отрима¹мо рiвняння шукано¨

площини, яка проходить через точку M0.

3±: В афiннiй системi координат данi двi мимобiжнi прямi l1 i l2 канонiчними рiвняннями:

l1:

x ¡ x1

=

y ¡ y1

=

z ¡ z1

;

l2:

x ¡ x2

=

y ¡ y2

=

z ¡ z2

:

(2.72)

a1

a2

b1

b2

a3

b3

Записати рiвняння площини ¾, яка проходить через пряму l1 паралельно до прямо¨ l2.

Пряма l1 проходить через точку M1(x1; y1; z1) паралельно до вектора ~a(a1; a2; a3), а пряма

~

; b2; b3). Тому площина ¾

проходить через точку M1(x1; y1; z1)

l2 паралельна вектору b(b1

паралельно до векторiв ~a(a1; a2; a3)

i ~

b(b1; b2; b3). Отже, ¨¨ рiвняння знаходиться за формулою

(2.33) i ì๠âèä

¯

x

x1

a1

b1

¯

¾:

y

¡ y1 a2

b2

= 0:

¯

z

¡ z

1

a

3

b

3

¯

¯

¡

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

119

4±: Написати канонiчнi рiвняння прямо¨ l, яка проходить через точку M0(x0; y0; z0) паралельно до прямо¨ l0, яка задана рiвняннями

l0: ½ A1x + B1y + C1z + D1 = 0; A2x + B2y + C2z + D2 = 0:

Як вiдомо (див. лему 2.4) напрямний вектор p~ прямо¨ l0 буде таким:

p~

µ¯

B2

C2

¯

; ¡ ¯

A2

C2

¯

;

¯

A2

B2

¯¶

;

¯

B1

C1

¯

¯

A1

C1

¯

¯

A1

B1

¯

тому канонiчнi рiвняння прямо¨¯

òàêi:¯

¯

¯

¯

¯

¯

l

¯

¯

¯

¯

¯

¯

x ¡ x0

¯

=

¡

¯

y ¡ y0

¯

=

¯

z ¡ z0

¯

:

B2 C2

A2

C2

A2

B2

¯

B1

C1

¯

¯

A1 C1

¯

¯

A1

B1

¯

5±:

В прямокутнiй системi¯

координат¯ ¯

данi точка¯

¯

¯

i двi мимобiжнi прямi

¯

¯

¯

¯

¯M0(x0; y0;¯z0)

l1 i l2 канонiчними рiвняннями:

l1:

x ¡ x1

=

y ¡ y1

=

z ¡ z1

; l2:

x ¡ x2

=

y ¡ y2

=

z ¡ z2

:

a1

a2

b1

b2

a3

b3

Написати рiвняння прямо¨ l, яка проходить через точку M0 перпендикулярно до даних

прямих.

i

~

Вектори ~a(a1; a2; a3)

; b3) ¹ напрямними векторами даних прямих, тому вектор

b(b1; b2

~

, ~

p~ = [~a; b], який перпендикулярний до векторiв ~a b, буде напрямним вектором прямо¨ l. Çãiäíî

формули (2.25) координати p1, p2, p3 вектора p~ будуть такi:

= ¯

b1

b2

¯

p1 =

¯

b2 b3

¯; p2

= ¡ ¯

b1

b3

¯

; p3

:

¯

a2 a3

¯

¯

a1

a3

¯

¯

a1

a2

¯

Отже, канонiчнi рiвняння¯

прямо¨¯

òàêi:

¯

¯

¯

¯

¯

¯l

¯

¯

¯

¯

¯

x ¡ x0

¯

=

y ¡ y0

¯

=

¯

z ¡ z0

:

b2

b3

¡ ¯

b1 b3

b1 b2

¯

¯

a2

a3

¯

¯

a1

a3

¯

¯

a1

a2

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

6±: Довести, що вiдстань вiд точки M до прямо¨ l, яка задана точкою M0 i напрямним вектором p~, може бути знайдена за формулою

¡¡¡!

½(M; l) = j[M0M; p~ ]j: (2.73) jp~ j

Якщо точка M не лежить на прямiй l, òî

¡¡¡¡!

j[M0; M; p~ ]j = S, äå S площа паралелограма

¡¡¡!

M0MNN1, побудованого на векторах M0M i p~. З iншого боку

S = M0N1 ¢ MH = jp~ j ¢ ½(M; l):

¡¡¡¡!

Таким чином, jp~j ¢ ½(M; l) = j[M0; M; p~ ]j. Звiдси виплива¹ формула (2.73).

120