Prak_Geom1

¡¡!

à) ®¯ > 0. Вiд деяко¨ точки A вiдкладемо вектор AB = ®~a, а потiм вiд точки B вектор

¡¡! ¡¡! ¡¡!

BC = ¯~a. Звiдси виплива¹, що AB = j®jj~aj, BC = j¯jj~aj. Îñêiëüêè ®¯ > 0, òî AB · BC , тому точка B лежить мiж точками A i C. Îòæå, AC = AB + BC àáî AC = j®jj~aj + j¯jj~aj. Але числа ® i ¯ мають однаковi знаки, тому j®j + j¯j = j® + ¯j. Таким чином,

AC = j® + ¯jj~aj:

(1.7)

	¡¡!
Вектори AC i ~a однаково направленi, якщо ® > 0, ¯ > 0, тобто якщо ®+¯ > 0, i протилежно
направленi, якщо ® < 0, ¯ < 0, тобто ® + ¯ < 0. Тому, враховуючи рiвнiсть (1.7), отриму¹мо:
¡¡!	¡¡! ¡¡!	¡¡!
AC = (® + ¯)~a. З iншого боку, AC = AB		+ BC = ®~a+ ¯~a. Таким чином, (® + ¯)~a = ®~a+ ¯~a.

á) ®¯ < 0. ßêùî ® + ¯ = 0, то лiва частина рiвностi 4± ¹ нуль-вектор. Покажемо, що i

~

права частина в цьому випадку ¹ нуль-вектор. Справдi, ®~a + ¯~a = ®~a + (¡®)~a = ®~a ¡®~a = 0. Розглянемо тепер випадок, коли ® + ¯ =6 0. Îñêiëüêè ® i ¯ мають рiзнi знаки, то або ¡®, ®+¯, àáî ¡¯, ®+¯ мають однаковi знаки. Припустимо, що ¡® i ®+¯ мають однаковi знаки. Тодi згiдно з пунктом а) ма¹мо (¡®)~a + (® + ¯)~a = ((¡®) + (® + ¯))~a = ¯~a, звiдси отриму¹мо

(® + ¯)~a = ®~a + ¯~a. ¤

2 Лiнiйна залежнiсть векторiв

Теореми про колiнеарнi та компланарнi вектори. Лiнiйна комбiнацiя век-
торiв. Лiнiйна залежнiсть та незалежнiсть системи векторiв та ¨х
властивостi. Теореми про лiнiйну залежнiсть двох i трьох векторiв.
Базис векторного простору. Координати вектора в даному базисi.
Довжина вектора в ортонормованому базисi.
Теорема 1.3 (про колiнеарнi вектори). Якщо вектори		i ~ колiнеарнi i	~, òî iñíó¹
¹дине число ® òàêå, ùî	~a	b	~a 6= 0
~			(1.8)
b = ®~a:

Символiчно умову цi¹¨ теореми можна записати так:

~

~

~

~a 6= 0 ^ ~a k b =) (9 ! ®) b = ®~a:

~

Доведення. Якщо ~a ~b, òî çãiäíî ç (1.3) ìà¹ìî ~a

·

~b àáî ~a

"#

~b. У першому випадку ® =

jbj

~a .

k

~

1

j j

Äiéñíî, îñêiëüêè ~a = ~0, òî

~a = 0, òîìó ®~a =

jbj

~a =

~b

j

~a = ~b ~a0

=

~b ~b0 = ~b. В другому

~a

~a

6

j j 6

j

j j

j j

~

~

j

j

j

j

випадку ® =

jbj

®~a =

jbj

~a =

~b

1

~a =

~b (

~a0) = ~b ~b0

= ~b.3 Покажемо тепер,

¡

~a , îñêiëüêè

¡ ~a

~a

¡j j

j

j j

¡

j j

j j

j

j

j

~

що число ® ¹дине. Припустимо, що для деякого числа ®1 викону¹ться b = ®1~a, òîäi ®~a = ®1~a,

звiдси отриму¹мо

~. Îòæå,

® ¡ ®1 = 0

, îñêiëüêè

~. Таким чином,

® = ®1.

(® ¡ ®1)~a = 0

~a 6= 0

~

називаються компланарними, якщо iсну¹ площина, якiй

Означення 1.4. Вектори ~a; b;~c

вони паралельнi.

~

0

~

0

~

0

~ 0.

3 Зауважимо, що при ~a · b ìà¹ìî ~a

= b

, à ïðè ~a "# b вiдповiдно викону¹ться ~a

= ¡b

11

	~
Зауважимо, що коли хоч один з векторiв ~a; b;~c нульовий, то данi вектори компланарнi.
~	¡¡!, ~	¡¡!	¡¡!
Крiм того, якщо вектори ~a; b;~c компланарнi i ~a = OA b = OB , ~c = OC , то точки O; A; B; C
лежать в однiй площинi.
		~	~
Теорема 1.4 (про компланарнi вектори). Якщо вектори ~a; b;~c компланарнi, а вектори ~a; b
не колiнеарнi, то iснують ¹динi числа ® i ¯ òàêi, ùî
	~		(1.9)
	~c = ®~a + ¯b:

Доведення. Нехай виконуються всi умови теореми. Спочатку доведемо iснування таких чисел ® i ¯, для яких справджу¹ться рiвнiсть (1.9). Вiдкладемо вiд деяко¨ точки O вектори

~ ¡¡!, ~ ¡¡! ¡¡!

~a; b;~c. Нехай ~a = OA b = OB , ~c = OC ,

тодi точки O; A; B; C лежатимуть в однiй

площинi. Можливi два випадки: а) точка C лежить на однiй iз сторiн кута AOB

i б) вона не лежить на сторонах цього кута. Розглянемо кожний з цих випадкiв окремо.

а) Припустимо, що точка C попада¹ на сторону OB даного кута, тодi, очевидно,

¡¡!	¡¡!	~
OC	k OB , тобто ~c k b. За теоремою 1.3

ïðî	колiнеарнi вектори	знайдеться таке
	~	~
число ¯, ùî ~c = ¯b. Òîìó ~c = 0~a + ¯b.
Отже, (1.9) в цьому випадку ма¹ мiсце.
á)	Через точку C проведемо пряму

паралельно до сторони кута OB. Â

результатi отрима¹мо точку C1. Çà правилом трикутника ма¹мо

¡¡! ¡¡! ¡¡!

OC1= OC + CC1 ;

çâiäñè	¡¡! ¡¡!	¡¡!		¡¡!		¡¡!				¡¡!	¡¡!
	OC =OC1 + C1C. Îñêiëüêè OC1 k OA , то знайдеться таке ®, ùî OC1= ® OA , тобто
¡¡!				¡¡!	¡¡!
OC1= ®~a. Аналогiчно з умови C1C k					OB за теоремою 1.3 знайдеться число ¯ òàêå, ùî
¡¡!	¡¡!	¡¡!	~				¡¡!	¡¡! ¡¡!		~
C1C= ¯ OB , тобто C1C= ¯b. Таким чином, ~c = OC =OC1 +~C1C= ®~a + ¯b.
Доведемо тепер, що числа ® i ¯ ¹динi. Нехай ~c = ®1~a + ¯1b для деяких чисел ®1 i ¯1. Òîäi
	~	~. Îòæå,		® ¡ ®1 = 0		i	¯ ¡ ¯1 = 0	, оскiльки вектори	~a	i ~	не колiнеарнi.4
(® ¡ ®1)~a + (¯ ¡ ¯1)b = 0										b

Таким чином, ® = ®1 i ¯ = ¯1.

~

Нехай ~a1;~a2; : : : ;~an ¹ деяка система векторiв, ®1; ®2; : : : ; ®n деякi числа, тодi вектор

b = ®1~a1 + ®2~a2 + : : : + ®n~an назива¹ться лiнiйною комбiнацi¹ю дано¨ системи векторiв, при цьому говорять, що вектор ~

b лiнiйно виража¹ться через вектори ~a1;~a2; : : : ;~an.

Означення 1.5. Система векторiв ~a1;~a2; : : : ;~an назива¹ться лiнiйно залежною, якщо iснують числа ®1; ®2; : : : ; ®n, серед яких хоча б одне вiдмiнне вiд нуля, такi, що ма¹ мiсце

ðiâíiñòü						~			(1.10)
			®1~a1 + ®2~a2 + : : : + ®n~an = 0:
						¯¡¯1	~, що означа¹ колiнеарнiсть векторiв		i ~, à öå
4 Якби, наприклад,	® ¡ ®1	6= 0	, òî ìè ìàëè á, ùî		~a =			~a
						®¡®1 b			b
протирiччить умовi теореми.

12

Якщо (1.10) викону¹ться лише за умови, що ®1 = ®2 = : : : = ®n, то така система назива¹ться лiнiйно незалежною. Вкажемо на деякi властивостi лiнiйно залежних векторiв:

1±: Äëÿ n > 1 система векторiв ~a1;~a2; : : : ;~an лiнiйно залежна тодi i тiльки тодi, коли хоча б один з цих векторiв ¹ лiнiйною комбiнацi¹ю iнших векторiв цi¹¨ системи.

Доведення. Нехай ~a1;~a2; : : : ;~an ¹ лiнiйно залежна система векторiв, тобто викону¹ться рiвнiсть (1.10) для деяких чисел ®1; ®2; : : : ; ®n, серед яких хоча б одне вiдмiнне вiд нуля. Припустимо, що таким числом буде ®k 6= 0. Тодi рiвнiсть (1.10) можна записати так:

~ak = ¡	®1	~a1	¡ : : : ¡	®k¡1	~ak¡1 ¡	®k+1	~ak+1 ¡ : : : ¡	®n	~an;
	®k			®k		®k		®k

тобто ~ak ¹ лiнiйною комбiнацi¹ю решти векторiв системи.

Навпаки, припустимо, що деякий вектор системи ~a1;~a2; : : : ;~an, ñêàæiìî ~am, ¹ ëiíiéíîþ комбiнацi¹ю решти векторiв, тобто викону¹ться рiвнiсть

~am = ¯1~a1 + : : : + ¯m¡1~am¡1 + ¯m+1~am+1 + : : : + ¯n~an

для деяких чисел ¯1; : : : ; ¯n. Перепишемо останню рiвнiсть так:

~

¯1~a1 + : : : + ¯m¡1~am¡1 + (¡1)~am + ¯m+1~am+1 + : : : + ¯n~an = 0;

що означа¹ лiнiйну залежнiсть дано¨ системи векторiв.

2±: Якщо частина дано¨ системи векторiв лiнiйно залежна, то i вся система лiнiйно залежна.

Доведення. Не зменшуючи загальностi припустимо, що першi k, äå k < n, векторiв

системи ~a1;~a2; : : : ;~an лiнiйно залежнi. Це означа¹, що знайдуться такi числа ®1; : : : ; ®k,
серед яких хоч одне вiдмiнне вiд нуля, що ма¹ мiсце рiвнiсть			®1~a1 + : : : + ®n~ak	~.
				= 0
Перепишемо ¨¨ так:	®1~a1	~, звiдси виплива¹, що вся
		+ : : : + ®n~ak + 0~ak+1 + : : : + 0~an = 0

система векторiв лiнiйно залежна.

3±: Система лiнiйно незалежних векторiв не мiстить нульового вектора.

Доведення. Припустимо, що лiнiйно незалежна система векторiв ~a1;~a2; : : : ;~an мiстить
нульовий вектор ~	i нехай це буде вектор		~a1, тодi ми можемо записати рiвнiсть
0
	~		~
	1 0 + 0~a2	+ : : : + 0~an = 0;

звiдси виплива¹, що система даних векторiв лiнiйно залежна, а це суперечить умовi. Отже, система лiнiйно незалежних векторiв не мiстить нульового вектора.

4±: Якщо система векторiв лiнiйно незалежна, то довiльна ¨¨ частина також лiнiйно незалежна.

Доведення. Якщо припустити, що деяка частина векторiв лiнiйно залежна, то за доведеною вище властивiстю 2± випливало б, що вся система лiнiйно залежна, а це

неможливо.

13

Теорема 1.5 (про лiнiйну залежнiсть двох векторiв). Система двох векторiв ~a

i ~

b ëiíiéíî

залежна тодi i тiльки тодi, коли цi вектори колiнеарнi.

~

~ для деяких чисел

Доведення. Нехай вектори

i ~

лiнiйно залежнi. Це означа¹, що

~a

b

®~a+¯b = 0

¯

~

®; ¯, з яких принаймнi одне вiдмiнне вiд нуля. Припустимо, що ® 6= 0, òîäi ìà¹ìî ~a = ¡

®

b,

~

звiдси виплива¹, що данi вектори колiнеарнi, тобто ~a k b.

Навпаки, припустимо, що

~ i нехай

~,5 тодi за теоремою про колiнеарнi вектори

~a k b

~a 6= 0

знайдеться таке число

, що матиме мiсце рiвнiсть ~

, òîìó

~

~, що означа¹

®

i ~

b = ®~a

®~a + (¡1) b = 0

лiнiйну залежнiсть векторiв ~a

b.

Теорема 1.6 (ïðî ëiíiéíó

залежнiсть

трьох

~

векторiв). Система трьох векторiв ~a; b;~c

лiнiйно залежна тодi i тiльки тодi, коли данi вектори компланарнi.

~

Доведення. Нехай вектори ~a; b;~c лiнiйно залежнi, тодi знайдуться такi числа ®; ¯; °, серед

яких ¹ вiдмiнне вiд нуля, що буде виконуватись рiвнiсть

~

~. Припустимо, що

®

¯

®~a + ¯b + °~c = 0

~

° 6= 0, тодi з останньо¨ рiвностi ма¹мо ~c = ¡

°

~a ¡

°

b, звiдси виплива¹ компланарнiсть даних

векторiв.

~

Навпаки, нехай вектори ~a; b;~c компланарнi. Якщо хоч один з цих векторiв ¹ нульовий, то

вся трiйка буде лiнiйно залежною. Справдi, припустимо, що

~, тодi буде виконуватись

ðiâíiñòü

~

~

~a = 0

, що означа¹ лiнiйну залежнiсть даних векторiв. Тому далi будемо

1~a + 0 b + 0~c = 0

вважати, що~всi вектори ненульовi.

, ùî ì๠ìiñöå ðiâíiñòü ~

ßêùî ~a k b, то iсну¹ таке число ® 6= 0

b = ®~a (див. теорему 1.3),

звiдси виплива¹ рiвнiсть

~

~, що означа¹ лiнiйну залежнiсть

~

. Нехай

~

®~a + (¡1)b + 0~c = 0

~a; b;~c

тепер ~a , b, тодi за теоремою 1.4 про компланарнi вектори знайдуться такi числа ® i ¯, ùî

~, çâiäêè

~

~. Отже, вектори

~

лiнiйно залежнi.

~c = ®~a + ¯b

®~a + ¯b + (¡1)~c = 0

~a; b;~c

Теорема 1.7 (про лiнiйну залежнiсть чотирьох векторiв). Якщо вектори

~

~a; b;~c íå

компланарнi, то для довiльного вектора p~ iснують

¹äèíi

числа

®; ¯; ° òàêi,

ùî áóäå

справедливою рiвнiсть

~

(1.11)

p~ = ®~a + ¯b + °~c:

точки простору O

~

¡¡!

Доведення. Вiдкладемо

вiд деяко¨

вектори ~a; b;~c; p~. Нехай ~a = OA ,

¡¡! ¡¡! ¡¡!

~

b = OB , ~c = OC , p~ = OP . Оскiльки данi вектори не компланарнi, то точки O; A; B; C не лежать в однiй площинi. Можливi два випадки: а) точка P знаходиться на однiй iз прямих OA; OB; OC i б) точка P не належить цим прямим. Розглянемо кожний з них окремо.

5 ßêùî	~	, òî	~	~	~	, що свiдчить про лiнiйну залежнiсть векторiв		i ~.
	~a = 0		1 0 + 0 b = 0				~a	b

14

¡¡!	¡¡!
а) Припустимо, що P 2 OC, òîäi OP~ k	OC , тобто p~ k~c. За теоремою 1.3 знайдеться

число ° òàêå, ùî p~ = °~c. Îòæå, p~ = 0~a + 0 b + °~c, тому (1.11) у цьому випадку викону¹ться.

¡¡!

б) Проведемо через точку P пряму паралельно до OC до перетину в точцi P1 з площиною

¡¡! ¡¡! ¡¡!

AOB. Îñêiëüêè P1P k OC = ~c, òî P1P = ° ~c для деякого числа °. Точки O; A; B; P1 лежать

	¡¡!	¡¡!	¡¡!
в однiй площинi, тому вектори OA ; OB ; OP1					компланарнi i за теоремою 1.4 iснують такi
¡¡!	~					¡¡! ¡¡! ¡¡!
числа ®; ¯, ùî OP1 = ®~a + ¯ b. За правилом трикутника ма¹мо рiвнiсть						OP =OP1	+ P1P .
	~
Таким чином, p~ = ®~a + ¯b + °~c. Îòæå, (1.11) ì๠ìiñöå.
Доведемо тепер ¹диннiсть чисел		®; ¯; °. Припустимо, що для деяких чисел					®1; ¯1; °1
справедлива рiвнiсть	~	. Òîäi			~	~. Îñêiëüêè
~	p~ = ®1~a + ¯1b + °1~c			(® ¡ ®1)~a + (¯ ¡ ¯1)b + (° ¡ °1)~c = 0

вектори ~a; b;~c не компланарнi, то вони лiнiйно незалежнi, а тому ®¡®1 = ¯ ¡¯1 = ° ¡°1 = 0, çâiäñè ® = ®1, ¯ = ¯1, ° = °1. Теорема доведена.

Íàñëiäîê 1.1. Довiльна система, яка мiстить бiльше трьох векторiв, лiнiйно залежна.

!

Множину всiх вiльних векторiв 6 будемо позначати через V = W= = i називати

тривимiрним векторним простором. Введемо далi поняття базису цього простору.

Означення 1.6. Базисом векторного простору V назива¹ться така система векторiв, яка задана в певному порядку i задовольня¹ такi умови:

а) система лiнiйно незалежна;

б) довiльний вектор простору V ¹ лiнiйною комбiнацi¹ю дано¨ системи векторiв.

Розмiрнiстю векторного простору V ми будемо називати максимальне число лiнiйно

незалежних векторiв цього простору. З наслiдку 1.1 виплива¹, що розмiрнiсть векторного простору V дорiвню¹ трьом, оскiльки вже довiльнi чотири вектори лiнiйно залежнi. А з

теореми 1.7 виплива¹, що довiльна система трьох некомпланарних векторiв, взятих у певному порядку, утворю¹ базис векторного простору. Отже, розмiрнiсть векторного простору завжди дорiвню¹ числу векторiв його базису.

Нехай (~e1;~e2;~e3) базис векторного простору V i ~a довiльний вектор з V . Розкладемо цей вектор за базисними векторами. Це означа¹, що знайдуться такi числа a1; a2; a3, ùî áóäå

ìàòè ìiñöå ðiâíiñòü	~a = a1~e1	+ a2~e2	+ a3~e3:	(1.12)
Êîåôiöi¹íòè a1; a2; a3 в розкладi (1.12) називаються координатами				вектора ~a в базисi

(~e1;~e2;~e3) i це познача¹ться як ~a(a1; a2; a3). Очевидно, два вектори рiвнi, коли рiвнi ¨х вiдповiднi координати вiдносно одного i того самого базису.

~

Твердження 1.1. Нехай в базисi (~e1;~e2;~e3) вектори ~a; b заданi сво¨ми координатами,

~

тобто ~a(a1; a2; a3); b(b1; b2; b3), i ® деяке число, тодi мають мiсце такi твердження:

1±. Кожна координата суми двох векторiв дорiвню¹ сумi вiдповiдних координат доданкiв

~

векторiв, тобто (~a + b)(a1 + b1; a2 + b2; a3 + b3).

2±. Кожна координата рiзницi двох векторiв дорiвню¹ рiзницi вiдповiдних координат цих

~

векторiв, тобто (~a ¡ b)(a1 ¡ b1; a2 ¡ b2; a3 ¡ b3).

6 У лiтературi прийнято пiд вiльним вектором розумiти клас еквiполентних направлених вiдрiзкiв.

15

3±. При множенi вектора на число кожна його координата множиться на це саме число,

тобто (®~a)(®a1; ®a2; ®a3).

4±. Для того, щоб вектори були колiнеарними, необхiдно i достатньо, що ¨х координати були пропорцiйнi.

± ~

Доведення. 1 . Çãiäíî ç (1.12) ìà¹ìî ~a = a1~e1 + a2~e2 + a3~e3 i b = b1~e1 + b2~e2 + b3~e3, òîäi

користуючись властивостями операцi¨ додавання векторiв i множення вектора на число

~

+a2~e2 +a3~e3)+(b1~e1 +b2~e2 +b3~e3) = (a1 +b1)~e1 +(a2 +b2)~e2 +(a3 +b3)~e3;

будемо мати ~a+b = (a1~e1

~

тобто трiйка чисел (a1 +b1; a2 +b2; a3 +b3) буде координатами суми векторiв ~a+b. Властивостi

2± i 3± доводяться аналогiчно.

4±. Нехай ~a k~b, тодi iсну¹ число ® òàêå, ùî ~b = ®~a, çâiäñè b1 = ®a1, b2

= ®a2, b3

= ®a3,

b1

b2

b3

b1

b2

b3

òîìó

= ®,

= ®,

= ®. Îòæå,

=

=

.

a1

a2

a3

a1

a2

a3

Означення 1.7. Базис

~ ~ ~

назива¹ться ортонормованим, якщо ~

~

~

i

(i; j; k)

¼

¡¡! ~

¡¡! ~

jij = jjj = jkj = 1

~

¡¡!

\E1OE2 = \E1OE3 = \E2OE3 =

, äå

i =OE1, j =OE2, k =OE3.

2

Теорема 1.8. Довжина вектора ~a(a1; a2; a3), заданого координатами в ортонормованому

базисi

~ ~ ~

обчислю¹ться за формулою

(i; j; k)

j~aj = q

:

a12 + a22 + a32

(1.13)

Доведення. Виберемо у просторi довiльно

точку

O i

вiдкладемо вiд

íå¨

вектори

~ ~

~

i

вектор

¡¡!.

Спроекту¹мо

i; j; k

~a

= OA

далi точку A на прямi, що проходять

через точку

в напрямках векторiв ~ ~

~

O

i; j; k

âiäïîâiäíî.

Â

результатi

проектування

ми отрима¹мо точки A1

, A2, A3. Íå

зменшуючи загальностi будемо вважати,

ùî

¡¡!

~,

¡¡!

~,

¡¡!

~

,

OA1· i

OA2· j

OA3· k

оскiльки у всiх iнших випадках всi

мiркування

залишатимуться

майже

аналогiчними.

Òîäi,

очевидно,

ìà¹ìî

рiвностi

¡¡!

~,

¡¡!

~,

OA1= OA1 ¢ i

OA2= OA2 ¢ j

¡¡!

~

. Äàëi ìà¹ìî

¡¡!

¡¡!

¡¡!

~

~

~

. Враховуючи, що

OA3= OA3 ¢k

~

~a =OA1 + OA2 + OA3= OA1 ¢i+OA2 ¢j +OA3

¢k

~

~

, отриму¹мо

a1

= OA1

,

a2 = OA2

,

a3

= OA3. Згiдно з теоремою Пiфагора

~a = a1i + a2j + a3k

ì๠ìiñöå ðiâíiñòü

2

2

2

2

2

2

2

, òî

j~aj

2

2

2

2

OA

= OA1 + OA2

+ OA3, òîìó

OA

= a1

+ a2

+ a3. Îñêiëüêè OA = j~aj

¤

= a1

+ a2

+ a3, звiдси виплива¹ (1.13).

3 Скалярний добуток векторiв

Означення скалярного добутку двох векторiв. Фiзичний змiст скалярного добутку. Теорема про обчислення скалярного добутку в координатнiй формi. Властивостi скалярного добутку. Напрямнi косинуси.

16

Домовимось, що величину кута мiж векторами ~a

i ~

~

b ми позначатимемо через (~a; b). Îòæå,

¡¡!, à ~

¡¡!

~

~

ÿêùî ~a = OA

b = OB , òî (~a; b) = \AOB. Зрозумiло, що кут (~a; b) не залежить вiд вибору

~

~

¼

точки O. ßêùî ~a ? b, то вважа¹мо, що (~a; b) =

2 . Таким чином, для довiльних векторiв ~a i

~

~

b ìà¹ìî 0 6 (~a; b) 6 ¼.

Означення

1.8.

Скалярним добутком двох векторiв назива¹ться число, яке дорiвню¹

добутку довжин цих векторiв на косинус кута мiж ними, тобто

~

~

~

(1.14)

~a b = j~ajjbj cos(~a; b):

З формули (1.14) виплива¹, що для довiльних ненульових векторiв ~a

i~

b справедлива умова

~

~

Îñêiëüêè

2, òî

p

, äå

2

. Ç ôiçèêè âiäîìî, ùî ñèëà

a~ = j~aj

j~aj =

2

~a ? b () ~a b = 0:

~a

~a

= a~

~

f, яка перемiщу¹ матерiальне тiло на вектор шляху ~s i направлена до нього пiд кутом ', викону¹ роботу A, яка дорiвню¹ добутку величини сили на величину шляху i на косинус

			~
кута мiж ними, тобто A = fs cos '. Îòæå, A = f ~s.
Теорема 1.9. Скалярний добуток векторiв ~a(a1; a2; a3)					i ~		; b2	; b3), заданих координатами
						b(b1
в ортонормованому базисi, обчислю¹ться за формулою
			~	+ a3b3		:			(1.15)
			~a b = a1b1 + a2b2
Доведення. Якщо	~	àáî ~	~, то формула (1.15) очевидна, тому нехай						~ i ~	~.
	~a = 0	b = 0							~a 6= 0 b 6= 0

Можливi два випадки, коли цi вектори колiнеарнi, або вони не колiнеарнi. Розглянемо окремо

кожний з них. ~

¡¡!

а) Нехай ~a , b. Вiдкладемо данi вектори вiд деяко¨ точки O i припустимо, що ~a = OA ,

~

¡¡!

b = OB , тодi з трикутника OAB отриму¹мо за теоремою косинусiв

AB2 = OA2 + OB2 ¡ 2 OA ¢ OB cos ®;

~

¡¡!

~

¡¡!,

~

¡¡!

~

2

= j~aj

2

~

2

~

äå ® = (~a; b). Îñêiëüêè

AB = b ¡ ~a i ~a = OA

b = OB , òî jb ¡ ~aj

+ jbj

¡ 2~a b,

~

1

(j~aj

2

~

2

~

2

~

¡ a1; b2 ¡ a2; b3 ¡ a3), òîìó

çâiäêè ìà¹ìî ~a b =

2

+ jbj

¡ jb ¡ ~aj

). Âiäîìî, ùî (b ¡ ~a)(b1

~

2

= (b1 ¡ a1)

2

+ (b2 ¡ a2)

2

2

, j~aj

2

2

2

2 ~

2

2

2

2

jb ¡~aj

+ (b3 ¡ a3)

= a1

+ a2 + a3, jbj

= b1 + b2 + b3, çâiäêè ìà¹ìî

~a~b =

1

¡a12 + a22 + a32 + b12 + b22 + b32 ¡ (b1 ¡ a1)2 ¡ (b2 ¡ a2)2 ¡ (b3 ¡ a3)2¢ = a1b1 + a2b2 + a3b3;

2

що i треба було довести~.

~

= ¸b1, a2

= ¸b2,

б) Нехай тепер ~a k b, òîäi ~a = ¸b для деякого числа ¸ 2 N, çâiäêè a1

~

~ ~

~ ~

~ ~

~ ~

~ ~

~

2

, îñêiëüêè äëÿ ¸ > 0

a3 = ¸b3. Îòæå, ~a b = (¸b)b = j¸bjjbj cos(¸b; b) = j¸jjbjjbj cos(¸b; b) = ¸jbj

~ ~

~ ~

~

2

2

2

ìà¹ìî cos(¸b; b) = 1, à äëÿ ¸ < 0 cos(¸b; b) = ¡1. Таким чином, ма¹мо ~a b = ¸(b1

+ b2

+ b3) =

(¸b1)b1 + (¸b2)b2 + (¸b3)b3 = a1b1 + a2b2 + a3b3.

Íàñëiäîê 1.2.

умову

Íàñëiäîê 1.3.

ðiâíiñòü

	В ортонормованому базисi вектори ~a(a1; a2; a3)							i ~	; b2; b3)
								b(b1
		~
	~a ? b () a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0:							i ~
	В ортонормованому базисi вектори ~a(a1; a2						; a3)		; b2; b3)
								b(b1
	~			a1b1 + a2b2 + a3b3
	cos(~a; b) =							:
			p		p
				a12 + a22 + a32		b12 + b22	+ b32

задовольняють

задовольняють

17

Користуючись формулою (1.15) легко доводиться наступна теорема.

, ~

мають мiсце такi

Теорема 1.10. Для довiльного числа ® i довiльних векторiв ~a b i ~c

рiвностi:

1±: ~a~b = ~b~a

(комутативний закон).

2±: (®~a)~b = ®(~a~b) i

~a(®b~) = ®(~a~b)

(асоцiативний закон).

3±:

(~a +~b)~c = ~a~c +~b~c

(дистрибутивний закон).

, ~

i

~

Íàñëiäîê 1.4. Для довiльних векторiв ~a

b, ~c

d справедлива рiвнiсть

~

~

~

~ ~ ~

(~a + b)(~c + d) = ~a~c + b~c + ~a d + b d:

Нехай в ортонормованому базисi

~ ~ ~

заданий вектор

~a(a1

; a2; a3)

сво¨ми координатами,

(i; j; k)

тобто

~

~

~. Помноживши останню рiвнiсть на ~ i врахувавши, що ~~

i

~a = a1i + a2j + a3k

i

i i = 1

~~

~~

, ми отрима¹мо

~

~~

~~

~

~

. Аналогiчно доводимо, що

~

j i = k i = 0

~a i = a1i i + a2j i + a3k i = a1

~a j = a2 i

~

. Нехай

~ ,

~

i

~

, òîäi

~a k = a3

'1 = (~a; i)

'2 = (~a; j)

'3 = (~a; k)

a1 = j~aj cos '1;

a2 = j~aj cos '2;

a3 = j~aj cos '3:

(1.16)

Величини cos '1, cos '2

i cos '3 називаються напрямними косинусами вектора ~a в базисi

~ ~

~

. З рiвностей (1.16) ма¹мо

2

2

2

2

2

'1 +cos

2

'2 + cos

2

'3)

, звiдки виплива¹

(i; j; k)

2

'1

+ cos

2

'2 + cos

2

a1

+ a2

+ a3

= j~aj

(cos

ðiâíiñòü cos

'3

= 1. Таким чином, сума квадратiв напрямних косинусiв

довiльного ненульового вектора в ортонормованому базисi дорiвню¹ одиницi.

На завершення зазначимо, що в загальному випадку для скалярного добутку векторiв ма¹ мiсце властивiсть (~a1 ~a2)~a3 6= ~a1(~a2 ~a3); äå ~a1;~a2;~a3 довiльнi вектори.

4 Векторнi пiдпростори

Означення векторного пiдпростору. Приклади векторних пiдпросторiв. Двовимiрний векторний пiдпростiр. Деякi формули.

Нехай L непорожня пiдмножина векторного простору V .

Означення 1.9. Множина L назива¹ться векторним пiдпростором простору V , якщо виконуються такi умови:

1±: ßêùî ~a	2 L i ~b 2 L, òî ~a +~b 2 L.
2±: ßêùî ~a	2	L, òî ®~a	2	L для довiльного числа ®.

Для пiдпросторiв, як i для векторного простору, вводяться поняття базису та розмiрностi,
тобто пiд базисом ми будемо розумiти таку систему лiнiйно незалежних векторiв, що кожен
вектор даного пiдпростору ¹ ¨х лiнiйною комбiнацi¹ю, тодi розмiрнiсть пiдпростору означа¹
число базисних векторiв.
Приклад 1. Нехай ~a	i~	~
	b два не колiнеарнi вектори. Через L(~a; b) позначимо пiдмножину
векторного простору V , яка визнача¹ться так:
	~	~
	L(~a; b) = f®~a + ¯b j ®; ¯ 2 Rg:

18

	~				~
Покажемо, що L(~a; b) ¹ пiдпростором простору V . Справдi, якщо ~x; ~y 2 L(~a; b), то очевидно
					~
знайдуться такi числа ®; ¯; ®1; ¯1 2 R, що будуть виконуватись рiвностi ~x = ®~a + ¯b i ~y =
~		~	~		~
®1~a + ¯1b. Òîìó ~x + ~y		= (®~a + ¯b) + (®1~a + ¯1b) = (® + ®1)~a + (¯ + ¯1)b. Îòæå, ~x + ~y 2
~				~	~
L(~a; b). Далi, для довiльного числа °			2 R ìà¹ìî °~x = °(®~a + ¯b) = (°®)~a + (°¯)b, òîìó
~					~
°~x 2 L(~a; b). Таким чином, обидвi умови означення 1.9 виконуються, що означа¹, що L(~a; b)
¹ пiдпростiр простору V . Зрозумiло, що вектори ~a				i ~
				b утворюють базис цього пiдпростору,
				~
а його розмiрнiсть дорiвню¹ 2. Кажуть, що пiдпростiр L(~a; b) ¹ лiнiйною оболонкою для
векторiв ~a	i ~
	b.

Приклад 2. Нехай ~a ¹ деякий ненульовий вектор. Через L(~a) позначимо пiдмножину векторного простору V , яка визнача¹ться так:

L(~a) = f®~a j ® 2 R:g

ßêùî ~x; ~y 2 L(~a), òî ~x = ®~a i ~y = ¯~a для деяких чисел ®; ¯ 2 R. Îòæå, ~x + ~y = ®~a + ¯~a =

(® + ¯)~a, òîìó ~x + ~y 2 L(~a). Також, для довiльного числа ° 2 R ìà¹ìî ° ~x = °(®~a) = (°®)~a, çâiäêè ° ~x 2 L(~a). Таким чином, L(~a) ¹ пiдпростiр розмiрностi 1.

Нехай L2 двовимiрний векторний пiдпростiр, (~e1;~e2) його базис. Якщо ~a 2 L2, òî ~a = a1~e1 + a2~e2 для деяких a1; a2 2 R при цьому пишуть ~a(a1; a2). Числа a1; a2 називають координатами вектора ~a в базисi (~e1;~e2). Операцi¨ над векторами в координатнiй формi так,

як i у випадку тривимiрного векторного простору (див. твердження 1.1 на стор. 15). Отже,
		~		; b2) заданi сво¨ми координатами, то
якщо в базисi (~e1;~e2) вектори ~a(a1; a2); b(b1
~				~				(®~a)(®a1; ®a2):
(~a + b)(a1 + b1; a2 + b2);		(~a ¡ b)(a1 ¡ b1; a2 ¡ b2);
~		; b2), заданi координатами в деякому базисi, колiнеарнi
Теорема 1.11. Вектори ~a(a1; a2); b(b1
òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè		¯	a2		b2		¯ = 0:7	(1.17)
		¯	a1		b1		¯
Доведення. Оскiльки вектори ~a(a	; a	);¯	~b(b		; b	2	¯) колiнеарнi, то це означа¹, що ~a = ¸b~ äëÿ
1	2	¯		1			¯

деякого ¸ 2 R згiдно з теоремою 1.3 про колiнеарнi вектори. В координатнiй формi остання рiвнiсть запишеться так: a1 = ¸b1, a2 = ¸b2. Çâiäñè ìà¹ìî a1(¸b2) = a2(¸b1), тобто a1b2 = a2b1.

Îòæå, a1b2 ¡ a2b1 = 0, що означа¹ (1.17).

a1

a2

~

Навпаки, якщо викону¹ться (1.17), то

b1

=

b2

= ¸, çâiäêè a1

= ¸b1

, a2

= ¸b2, òîìó ~a = ¸b,

~

тобто вектори ~a; b колiнеарнi, що i треба було довести.

Нехай вектори

~

заданi координатами в ортонормованому базисi

~ ~

, òîäi

~a(a1; a2); b(b1; b2)

(i; j)

мають мiсце наступнi формули, якi ми наводимо без доведення:

~

~a b = a1b1 + a2b2;

~

~a ? b () a1b1 + a2b2 = 0;

j~aj = q

;

a12 + a22

~

a1b1 + a2b2

cos(~a; b) =

:

p

p

a12 + a22

b12 + b22

визначником другого порядку

i означа¹

число, що

7 Зауважимо, що вираз

¯

a2

b2

¯

назива¹ться

¯

a1

b1

¯

¯

¯

обчислю¹ться за формулою:

¯¯

a2

b2

¯¯

= a1b2 ¡ a2b1:

¯

¯

¯

¯

¯

¯

19

1.2 Метод координат на площинi

1 Афiнна система координат на площинi

Означення афiнно¨ системи координат на площинi. Прямокутна декартова система координат. Координати точки в афiннiй системi координат. Вiдстань мiж двома точками. Дiлення вiдрiзка в даному вiдношеннi.

Основним завданням системи координат на площинi ¹ встановлення вза¹мно однозначно¨ вiдповiдностi мiж точками площини i парами дiйсних чисел, що да¹ нам можливiсть описувати геометричнi об'¹кти у виглядi алгебричних виразiв (рiвнянь, нерiвностей тощо). Подальше вивчення властивостей геометричних фiгур i вiдношень мiж ними проводиться алгебричними методами.8

Розглянемо, як вводиться афiнна система координат на площинi. Нехай ма¹мо площину ¦, i нехай L2 множина всiх векторiв, паралельних цiй площинi, тобто L2 ¹ двовимiрний

пiдпростiр векторного простору V над множиною дiйсних чисел R.

Означення 1.10. Афiнним репером R на площинi називають упорядковану трiйку точок O; E1; E2, якi не лежать на однiй прямiй, при цьому записують R = (O; E1; E2).

Оскiльки точки O; E1; E2 не лежать на однiй	прямiй, то напрямленi вiдрiзки	OE1	i
¡¡!	¡¡!

OE2 визначають неколiнеарнi вектори OE1= ~e1, OE2= ~e2, i òîìó ïàðà (~e1;~e2) ¹ базисом пiдпростору L2, тобто афiнний репер R на площинi зада¹ базис у просторi L2. Навпаки,

задавши деякий базис (~e1;~e2) пiдпростору L2 i точку O на площинi ¦, знайдемо на нiй

¡¡! ¡¡!

точки E1 i E2 òàêi, ùî OE1 ¹ вектор ~e1, à OE2 ~e2. Як результат матимемо упорядковану трiйку точок O; E1; E2, якi не лежать на однiй прямiй, тобто афiнний репер (O; E1; E2). Таким чином, афiнний репер R можна задати точкою O (початок системи координат) i

двома неколiнеарними векторами ~e1;~e2 (координатнi вектори). Записують R = (O;~e1;~e2) i зображають так, як це зроблено на рисунку. Пряма OE1, на якiй додатний напрям визнача¹ вектор ~e1, назива¹ться вiссю абсцис i познача¹ться Ox, а пряма OE2, на якiй додатний напрям визнача¹ вектор ~e2, назива¹ться вiссю ординат i познача¹ться Oy. Обидвi осi

разом називають осями координат. Будемо говорити, що на площинi задана афiнна система координат Oxy ÿê

тiльки задано афiнний репер (O;~e1;~e2). Нехай на площинi задано афiнний репер (O;~e1;~e2), i нехай M äîâiëüíà

	точка площини. Оскiльки радiус-вектор	¡¡!
		OM належить
	векторному пiдпростору L2, для якого упорядкована пара
	векторiв (~e1;~e2) ¹ базисом, то iсну¹ ¹дина пара чисел (x; y),
	¡¡!
а отже, ма¹ мiсце подання	якi ¹ координатами вектора OM вiдносно базису (~e1;~e2),
	¡¡!
		(1.18)
	OM = x~e1 + y~e2:

8 Вперше метод координат був застосований П. Ферма (1636) i Р. Декартом (1637). Останнiй у сво¨й працi ½Геометрiя заклав основи аналiтично¨ геометрi¨. Термiн ½координати був введений Г. Лейбнiцом (1694).

20