Prak_Geom1
.pdfДоведемо тепер, що кожна точка, координати яко¨ задовольняють систему (2.138), ¹ центр поверхнi. Для цього перенесемо систему координат паралельно так,0 ùîá0 ¨¨ початок0 ñïiâïàâ0
з точкою, координати яко¨ задовольняють систему (2.137). Тодi a14 = Fx0 = 0, a24 = Fy0 = 0, a034 = Fz00 = 0, звiдки (див. (2.133)) отрима¹мо рiвняння поверхнi:
a11x02 + a22y02 + a33z02 + 2a12x0y0 + 2a13x0z0 + 2a23y0z0 + a440 = 0: |
(2.139) |
Рiвнянню (2.139) задовольняють координати точки M0(¡x0; ¡y0; ¡z0), якщо точка M(x0; y0; z0)
лежить на поверхнi. Отже, початок координат ново¨ системи ¹ центр поверхнi. Зауваження. Вiдмiтимо, що коли система (2.138) сумiсна i ма¹ один розв'язок, то
поверхня ма¹ ¹диний центр. Якщо система (2.138) зводиться до двох рiвнянь, то поверхня ма¹ пряму центрiв, якщо (2.138) сумiсна. I якщо система зводиться до одного рiвняння, то поверхня ма¹ площину центрiв. У випадку, коли (2.138) ¹ несумiсна система, то поверхня нема¹ центрiв.
4 Дiаметральнi площини поверхонь другого порядку
Означення дiаметрально¨ площини поверхнi другого порядку, спряжено¨ до вектора. Теорема про дiаметральнi площини i центр. Головнi напрямки поверхнi другого порядку. Головнi дiаметральнi площини поверхнi.
Розглянемо геометричне мiсце середин паралельних хорд неасимптотичного напрямку ~a(a1; a2; a3) поверхнi (2.120). Нехай M(x; y; z) довiльна точка шуканого геометричного
мiсця. Проведемо через точку M пряму напрямку ~a. Оскiльки напрямок ~a неасимптотичний,
то iснують двi точки M1, M2 перетину прямо¨ з поверхнею. Хорда M1M2 дiлиться в точцi M навпiл, тому коренi рiвняння P t2 + 2Qt + R = 0 задовольняють умову t1 + t2 = 0. Справдi,
якщо ма¹мо координати точок M1(x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2), òî x1 = x + a1t1, y1 |
= y + a2t1 |
, |
|||||||||||||||||
z1 = z + a3t1, äå t1 |
параметр точки M1, x2 |
= x + a1t2, y2 = y + a2t2, z2 |
= z + a3t2 |
, |
|||||||||||||||
äå t2 параметр точки M2. Îòæå, x1 |
+ x2 |
= 2x + a1(t1 + t2), y1 |
+ y2 = 2y + a2(t1 + t2), |
||||||||||||||||
z1 + z2 = 2z + a3(t1 |
+ t2). Àëå x = |
x1 + x2 |
|
y = |
y1 + y2 |
z = |
z1 + z2 |
|
|
a1(t1 + t2) = 0, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 , |
2 , |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
, òîìó |
|
|
|
|||||||||
a2(t1 + t2) = 0 |
, |
a3(t1 + t2) = 0 |
. Îñêiëüêè, |
|
|
~, то хоча б одна з координат |
a1 |
; a2; a3 âiäìiííà |
|||||||||||
|
|
|
~a 6= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
вiд нуля, нехай a3 =6 0, тому з рiвностi a3(t1 + t2) = 0 отриму¹мо t1 + t2 = 0. Îòæå, Q = 0. Таким чином, рiвняння шуканого геометричного мiсця ма¹ вид:
(a11x+a12y +a13z +a14)a1 +(a21x+a22y +a23z +a24)a2 +(a31x+a32y +a33z +a34)a3 = 0: (2.140)
Групуючи тепер члени при x; y; z, рiвнiсть (2.140) можна записати у виглядi:
(a11a1 + a12a2 + a13a3)x + (a21a1 + a22a2 + a23a3)y + |
|
+(a31a1 + a32a2 + a33a3)z + (a41a1 + a42a2 + a43a3) = 0: |
(2.141) |
Êîåôiöi¹íòè â (2.141) ïðè x; y; z одночасно не рiвнi нулевi, iнакше координати |
вектора |
~a(a1; a2:a3) задовольняли б рiвнiсть |
|
P= (a11a1 + a12a2 + a13a3)a1 + (a21a1 + a22a2 + a23a3)a2 + (a31a1 + a32a2 + a33a3)a3 = 0;
àтому вектор ~a мав би асимптотичний напрямок, що протирiччить умовi.
161
Таким чином, геометричне мiсце середин хорд, якi мають неасимптотичний напрямок
~a, ¹ площина. Цю площину назвемо дiаметральною площиною, яка спряжена напрямку ~a.
Вiдмiтимо, що рiвняння дiаметрально¨ площини (2.140) скорочено можна записати так:
F 0 a1 |
+ F 0a2 |
+ F 0a3 = 0; |
(2.142) |
x |
y |
z |
|
äå Fx0 ; Fy0; Fz0 визначенi формулами (2.138).
Теорема 2.17. Дiаметральнi площини поверхонь другого порядку, якi мають центр, проходять через нього.
Доведення. Нехай M0(x0; y0; z0) центр поверхнi другого порядку, яка задана загальним
рiвнянням |
2F (x; y; z) |
= 0. Тодi мають мiсце рiвностi: Fx0 |
0 = Fy0 |
0 = Fz00 = 0, |
à òîìó |
Fx00 a1 + Fy0 |
0 a2 + Fz00 a3 |
= 0, тобто M0 задовольня¹ (2.142). Таким чином, центр M0 |
лежить |
||
в дiаметральнiй площинi. |
|
|
|
||
Розглянемо тепер питання про iснування такого неасимптотичного напрямку, який перпендикулярний спряженiй дiаметральнiй площинi. З умови перпендикулярностi вектора ~a до дiаметрально¨ площини (2.141) ма¹мо:
a11a1 + a12a2 + a13a3 = sa1; a21a1 + a22a2 + a23a3 = sa2; a31a1 + a32a2 + a33a3 = sa3;
äå s параметр, оскiльки нормальний вектор дiаметрально¨ площини колiнеарний вектору
~a(a1; a2; a3). З отриманих рiвностей ма¹мо систему рiвнянь вiдносно a1; a2; a3: |
||||||||||||||||||||
a21a1¡+ (a22 |
|
|
s)a2 |
+ a23a3 |
= 0; |
9 |
|
|
|
(2.143) |
||||||||||
(a11 |
s)a1 + a12a2 |
+ a13a3 |
= 0; |
> |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a31a1 + a32a2 + (a33 ¡ s)a3 = 0: = |
|
|
|
|
||||||||||||||||
Система (2.143) однорiдна i ма¹ ненульовий розв'язок ~a a |
; a>; a |
3) |
( |
|
~), òîìó, ÿê âiäîìî ç |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
1 |
|
;2 |
|
= 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
курсу алгебри, ¨¨ визначник дорiвню¹ нулю, тобто |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
¯ |
a21 |
a22 |
¡ |
s |
a |
|
a23 |
s |
= 0: |
|
|
|
(2.144) |
|||||||
¯ |
a |
¡ s |
|
a |
|
|
a13 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
¯ |
a11 |
|
a12 |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
31 |
|
|
32 |
|
|
33 |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
||
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Рiвняння (2.144) назива¹ться характеристичним. За його допомогою знаходяться неасимптотичнi напрямки, якi перпендикулярнi спряженим дiаметральним площинам.
Означення 2.18. Напрямок, перпендикулярний спряженiй йому дiаметральнiй площинi, назива¹ться головним напрямком вiдносно поверхнi другого порядку. Дiаметральна площина в цьому випадку назива¹ться головною дiаметральною площиною.
Приклад. Знайти рiвняння дiаметрально¨ площини, спряжено¨ хордам напрямку
~a(1; 2; ¡1) поверхнi x2 + y2 ¡ 6xy + 2yz ¡ 4xz + 6x + 8 = 0.
Розв'язання. Рiвняння дiаметрально¨ площини ма¹ вид: Fx0 a1 + Fy0a2 + Fz0a3 = 0. Ìà¹ìî
Fx0 = 12(2x ¡ 6y ¡ 4z + 6) = x ¡ 3y ¡ 2z + 3;
Fy0 = 12(2y ¡ 6x + 2z) = ¡3x + y + z;
Fz0 = 12(2y ¡ 4x) = ¡2x + y;
тому ма¹мо рiвняння дiаметрально¨ площини:
(x ¡ 3y ¡ 2z + 3) ¢ 1 + (¡3x + y + z) ¢ 2 + (¡2x + y)(¡1) = 0; тобто 3x + 2y = 3 = 0.
162
5 Центр плоского перерiзу та дiаметри поверхнi
Визначення центра плоского перерiзу поверхнi другого порядку. Рiвняння площини, для яко¨ задана точка ¹ центром плоского перерiзу. Дiаметри поверхнi другого порядку.
Нехай дана точка M0(x0; y0; z0), яка не ¹ центром поверхнi другого порядку, що задана загальним рiвнянням (2.120):
a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0:
M0 i утворюють з поверхнею
(2.120) хорди, що дiляться в точцi M0 пополам. Якщо ~a(a1; a2; a3) напрямний вектор однi¹¨ з таких прямих, то як вiдомо, ма¹ мiсце рiвнiсть:
Q = F 0 |
a1 |
+ F 0 |
a2 |
+ F 0 |
a3 = 0: |
(2.145) |
||
x0 |
|
y0 |
|
|
|
z0 |
|
|
Îñêiëüêè M0 не ¹ центром дано¨ поверхнi, то Fx0 |
0 , Fy0 |
0 , Fz00 не дорiвнюють одночасно нулю, а |
||||||
з рiвняння (2.145) виплива¹, що вектор ~a(a1; a2; a3) для кожно¨ з прямих перпендикулярний
сталому вектору ~n(Fx00 ; Fy00 ; Fz00 ). Таким чином, всi прямi, що проходять через точку M0 i утворюють з поверхнею другого порядку хорди, що дiляться точкою M0 пополам, лежать в
однiй площинi ®, яка перпендикулярна вектору ~n. Площина ® перетина¹ поверхню другого
порядку по деякiй плоскiй лiнi¨ другого порядку, причому хорди поверхнi в даному разi ¹ хордами цi¹¨ лiнi¨ i точка M0 центром цi¹¨ плоско¨ лiнi¨ другого порядку. Цю точку
називають центром плоского перерiзу.
Складемо рiвняння площини, для яко¨ точка M0 ¹ центром плоского перерiзу. Ця площина проходить через M0 i перпендикулярна вектору ~n, тому рiвняння буде таким:
Fx00 (x ¡ x0) + Fy00 (y ¡ y0) + Fz00 (z ¡ z0) = 0; (2.146)
àáî
(a11x0 + a12y0 + a13z0 + a14)(x ¡ x0) + (a21x0 + a22y0 + a23z0 + a24)(y ¡ y0) + |
(2.147) |
+(a31x0 + a32y0 + a33z0 + a34)(z ¡ z0) = 0: |
|
Розглянемо обернену задачу до розглянуто¨. Нехай задана площина рiвнянням |
|
Ax + By + Cz + D = 0: |
(2.148) |
Необхiдно визначити центр M0 лiнi¨ другого порядку, отримано¨ вiд перерiзу поверхнi другого порядку з даною площиною. Оскiльки (2.147) i (2.148) визначають одну i ту ж площину, то
|
a11x0 + a12y0 + a13z0 + a14 |
= |
a21x0 + a22y0 + a23z0 + a24 |
= |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
A |
|
|
B |
|
|
|
|
= |
a31x0 + a32y0 + a33z0 + a34 |
= |
|
|
|
(2.149) |
|||
C |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
¡x0(a11x0 + a12y0 + a13z0 + a14) ¡ y0 |
(a21x0 + a22y0 + a23z0 |
+ a24) |
£ |
|||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
£¡z0(a31x0 + a32y0 + a33z0 + a34):
163
Êðiì òîãî, |
Ax0 |
+ By0 |
+ Cz0 + D = 0: |
(2.150) |
|
Таким чином, якщо iсну¹ центр плоского перерiзу, то його координати задовольняють трьом
рiвнянням: |
8 |
a11x0 + a12y0 + a13z0 + a14 |
|
= |
a21x0 + a22y0 + a23z0 + a24 |
= |
||||||
|
A |
B |
||||||||||
|
> |
= |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
a31x0 + a32y0 + a33z0 + a34 |
|
|
(2.151) |
|||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Îòæå, ÿêùî |
координати> |
|
деяко¨ точки |
M (x ; y ; z ) |
задовольняють систему рiвнянь (2.151), |
|||||||
> |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
> Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0: |
|
|
|
|
|
||||||
|
: |
|
|
|
|
0 0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
то ця точка ¹ центром плоского перерiзу: |
|
|
|
|
|
|||||||
8 a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0; |
||||||||||||
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0; y0; z0 розглядати як координати |
|
< Ax + By + Cz + D = 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Якщо в перших двох рiвняннях системи (2.151)
бiжучо¨ точки, то замiнивши ¨х на x; y; z, ми отрима¹мо рiвняння геометричного мiсця центрiв паралельних перерiзiв:
a11x + a12y + a13z + a14 |
= |
a21x + a22y + a23z + a24 |
= |
a31x + a32y + a33z + a34 |
; |
(2.152) |
||
|
|
A |
B |
C |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
àáî 8 |
(a11C ¡ a13A)x + (a12C ¡ a32A)y + (a13C ¡ a33A)z + (a14C ¡ a34A) = 0; |
|
(2.153) |
|||||
: |
|
|
r0 |
|
|
|
|
|
< |
(a21C ¡ a21B)x + (a22C ¡ a23B)y + (a32C ¡ a33B)z + (a24C ¡ a34B) = 0: |
|
|
|||||
Нехай r ранг матрицi системи (2.153), а |
ранг розширено¨ матрицi цi¹¨ ж системи. |
|
ßêùî r = 2, то система (2.153) ма¹ безлiч розв'язкiв, а тому геометричне мiсце центрiв
плоских паралельних перерiзiв ¹ пряма лiнiя. Ця пряма назива¹ться дiаметром поверхнi другого порядку. 0
ßêùî r = 1, r = 1, то система (2.153) зводиться до одного рiвняння, а тому центри
плоских паралельних0 перерiзiв знаходяться в однiй площинi.
Випадок r = 1, r = 2 неможливий, оскiльки ми припустили, що паралельний перерiз ма¹ центр.
Íàñëiäîê 2.4. Якщо поверхня другого порядку ма¹ центр, то кожний дiаметр проходить через нього.
6 Дотична площина i нормаль до поверхнi другого порядку
Означення дотично¨ прямо¨ i дотично¨ площини до поверхнi другого порядку. Рiвняння дотично¨ площини. Рiвняння дотично¨ площини до поверхнi, задано¨ канонiчним рiвнянням. Означення нормалi до поверхнi другого порядку та ¨¨ рiвняння.
Нехай на поверхнi другого порядку дана точка M0(x0; y0; z0), яка не ¹ центром цi¹¨
поверхнi. Тодi вона не ¹ вершиною конiчно¨ поверхнi, або спiльною точкою двох площин, що перетинаються, або точкою двох спiвпавших площин.
164
Означення 2.19. Дотичною прямою до поверхнi другого порядку в данiй точцi M0
назива¹ться така пряма, яка проходить через M0, ма¹ з поверхнею двi спiвпавшi спiльнi точки або повнiстю належить поверхнi.
Нехай ~a(a1; a2; a3) напрямний вектор дотично¨. Тодi необхiднi i достатнi умови того, що
пряма з напрямним вектором ~a, що проходить через точку M0, дотика¹ться поверхнi другого порядку, будуть такi:
Q = Fx00 a1 + Fy00 a2 + Fz00 a3 = 0; R = 2F (x0; y0; z0) = 0:
Визначимо тепер геометричне мiсце дотичних прямих до поверхнi в данiй точцi M0. |
||
Розглянемо вектор N~ (Fx0 |
0 ; Fy0 |
0 ; Fz00 ). Оскiльки за умовою точка M0 не ¹ центром поверхнi, |
òî Fx00 ; Fy00 ; Fz00 не дорiвнюють нулю одночасно. Умову Q = 0 можна розглядати як умову |
||
перпендикулярностi вектора |
~ |
|
|
|
N до напрямного вектора ~a довiльно¨ дотично¨ до поверхнi в |
òî÷öi M0. Таким чином, всi дотичнi до поверхнi в точцi M0 знаходяться в однiй площинi, |
|||
яка перпендикулярна ~ |
|
|
|
N. Цю площину називають дотичною площиною до поверхнi в данiй |
|||
òî÷öi M0. |
|
|
|
Рiвняння дотично¨ площини ма¹ вигляд: |
|
||
Fx0 |
0 (x ¡ x0) + Fy0 |
0 (y ¡ y0) + Fz00 (z ¡ z0) = 0; |
àáî |
Fx00 x+Fy00 y+Fz00 z¡(a11x20+a22y02+a33z02+2a12x0y0+2a13x0z0+2a23y0z0+a14x0+a24y0+2a34z0) = 0:
Але оскiльки точка M0 належить поверхнi (R = 2F (x0; y0; z0) = 0), то вираз який сто¨ть в останнiй дужцi дорiвню¹ сумi:
a41x0 + a42y0 + a43z0 + a44:
Таким чином, рiвняння дотично¨ площини ма¹ вид:
(a11x0 + a12y0 + a13z0 + a14)x + (a21x0 + a22y0 + a23z0 + a24)y +
+(a31x0 + a32y0 + a33z0 + a34)z + (a41x0 + a42y0 + a43z0 + a44) = 0:
Якщо поверхня задана рiвнянням
x2 + y2 + z2 ¡ D = 0; A B C
то рiвняння дотично¨ площини до не¨ в точцi M0(x0; y0; z0) áóäå òàêå:
x0x + y0y + z0z ¡ D = 0: A B C
А якщо ж поверхня задана рiвнянням виду Ax2 + By2 + 2Cz = 0, то рiвняння дотично¨
площини таке:
Ax0x + By0y + C(z + z0) = 0:
M0(x0; y0; z0) назива¹ться пряма, яка
проходить через точку M0 i перпендикулярна дотичнiй площинi до цi¹¨ поверхнi в данiй точцi. Рiвняння нормалi ма¹ такий вид:
x ¡ x0 = y ¡ y0 = z ¡ z0 Fx00 Fy00 Fz00
àáî |
|
x ¡ x0 |
|
|
y ¡ y0 |
|
|
z ¡ z0 |
|
|
|
= |
|
= |
|
: |
|||
|
a11x0 + a12y0 + a13z0 + a14 |
a21x0 |
+ a22y0 + a23z0 + a24 |
a31x0 |
+ a32y0 + a33z0 + a34 |
||||
|
|
|
|
||||||
165
7Спрощення рiвняння поверхнi другого порядку за допомогою обертання системи координат навколо початку
Формули обертання прямокутно¨ системи координат навколо початку. Характеристичне рiвняння поверхнi другого порядку. Властивостi коренiв характеристичного рiвняння.
Нехай задана поверхня другого порядку загальним рiвнянням
a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz + 2a14x + 2a24y + 2a34z + a44 = 0 (2.154)
вiдносно прямокутно¨ декартово¨ системи координат Oxyz. Перед нами сто¨ть задача знайти
таку прямокутну систему координат, вiдносно яко¨ рiвняння дано¨ поверхнi не мiстить членiв |
||
з добутком координат. |
||
Знайдемо рiвняння поверхнi (2.154) вiдносно системи координат Ox0y0z0, яка отриму¹ться |
||
з системи |
|
обертанням навколо початку. Нехай ~ ~ ~ ортонормований базис системи |
|
Oxyz |
i; j; k |
, à~0 ~0 ~0 0 0 0 0 0 0
координат Oxyz i ; j ; k ортонормований базис системи Ox y z . Оскiльки система Ox y z
обертанням, то базиси~ ~ ~ i~0 ~0 ~0 мають однакову орi¹нтацiю, отриму¹ться iз системи Oxyz i; j; k i ; j ; k
а тому мiшаний добуток ~i0~j0~k0 |
= +1. Крiм того, мають мiсце рiвностi ~i02 = ~j02 = ~k02 = 1, |
||||||||||
~i0~j0 =~i0~k0 = ~j0~k0 = 0, оскiльки вектори ~i0;~j0;~k0 одиничнi i попарно ортогональнi. |
|||||||||||
Нехай вектори ~i0;~j0;~k0 |
в базисi ~i;~j;~k мають такi координати: |
|
|||||||||
~0 |
|
|
|
|
|
~0 |
|
|
~0 |
(p13; p23 |
; p33); |
i |
(p11; p21; p31); j |
(p12; p22; p32); k |
|||||||||
тодi, очевидно, мають мiсце рiвностi: |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
p12i + p22i + p32i = 1; |
|
i = 1; 2; 3; |
|
|
||||||
|
p1ip1j + p2ip2j |
+ p3ip3j = 0; i 6= j; i; j = 1; 2; 3; |
|||||||||
|
¯ |
p21 p22 p23 |
¯ = |
§ |
1: |
|
|
||||
|
¯ |
p |
p |
|
p |
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
p11 |
p12 |
p13 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
31 |
|
32 |
33 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|||
Вiдомо (див. стор. 101), що тодi формули обертання дано¨ прямокутно¨ системи координат навколо ¨¨ початку мають вид:
x = p11x0 y = p21x0 z = p31x0
+p12y0
+p22y0
+p32y0
+ p13z0;
+ p23z00; (2.155)
+ p33z :
Пiдставляючи значення x; y; z з формул (2.155) у рiвняння (2.154), ми отрима¹мо рiвняння поверхнi другого порядку в системi координат Ox0y0z0:
a011x02 + a022y02 + a033z02 + 2a012x0y0 + 2a013x0z0 + 2a023y0z0 + 2a014x0 + 2a024y0 + 2a034z0 + a044 = 0; (2.156)
äå
aik0 |
= (a11p1i + a12p2i + a13p3i)p1k + (a21p1i + a22p2i + a23p3i)p2k + |
|
+ (a31p1i + a32p2i + a33p3i)p3k; i; k = 1; 2; 3; |
am0 |
4 = a14p1m + a24p2m + a34p3m; m = 1; 2; 3; a440 = a44: |
(2.157)
(2.158)
166
Припустимо, що iсну¹ така система координат Ox0y0z0, вiдносно яко¨ a012 = 0, a013 = 0, a023 = 0. Тодi умови a012 = 0 i a013 = 0 мають вид:
(a11p11 + a12p21 + a13p31)p12 + (a21p11 + a22p21 + a23p31)p22 +
+(a31p11 + a32p21 + a33p31)p31 = 0; |
|
|
(2.159) |
||||
a11p11 + a12p21 + a13p31)p13 + (a21p11 + a22p21 + a23p31)p23 + |
|
|
|||||
|
|
|
|
||||
+(a31p11 + a32p21 + a33p31)p33 = 0: |
|
|
|
¶ |
|||
Оскiльки вектор ~j0 перпендикулярний до вектора ~k0 |
|
|
µ p13 |
p23 |
p33 |
||
|
, |
òî ðàíã |
матрицi |
p12 |
p22 |
p32 |
|
дорiвню¹ 2. Приймаючи тепер в системi (2.159) за |
|
íåâiäîìi |
(a11p11 + a12p21 |
+ a13p31), |
|||
(a21p11 +a22p21 +a23p31), (a31p11 +a32p21 +a33p31), ми з системи (2.159) двох лiнiйних однорiдних
рiвнянь з трьома невiдомими ма¹мо: |
= s |
¯ |
p23 |
p33 |
¯ |
; |
|
|||
|
|
|
a11p11 + a12p21 + a13p31 |
|
||||||
|
|
|
|
|
¯ |
p22 |
p32 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
a21p11 + a22p21 + a23p31 |
= s |
¯ |
p32 |
p12 |
¯ |
; |
(2.160) |
|
|
|
¯ |
p33 |
p13 |
¯ |
|
|||
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
a31p11 + a32p21 + a33p31 |
= s |
¯ |
p12 |
p22 |
¯ |
: |
|
|
|
|
¯ |
p13 |
p23 |
¯ |
|
|||
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
Àëå îñêiëüêè [~j0 |
;~k0 |
] =~i0 |
, òî |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|||
¯ |
p23 |
p33 |
¯ |
= p11 |
; |
¯ |
p33 p13 |
¯ = p21; |
¯ |
p13 p23 |
¯ |
= p31: |
||
¯ |
p22 |
p32 |
¯ |
|
|
¯ |
p32 |
p12 |
¯ |
¯ |
p12 |
p22 |
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
¯ |
|
|
¯ |
|
Отже, рiвняння (2.160)¯ |
набувають¯ |
âèäó:¯ |
|
¯ |
¯ |
|
|
¯ |
|
|||||
a11p11 + a12p21 + a13p31 = s ¢ p11; |
a21p11 + a22p21 + a23p31 = s ¢ p21; |
|||||||||||||
Звiдси отриму¹мо: |
|
|
|
a31p11 + a32p21 + a33p31 = s ¢ p31; |
|
|
(2.161) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a11 ¡ s)p11 + a12p21 + a13p31 = 0; |
|
(2.162) |
||||||||
|
|
|
|
a21p11 + (a22 ¡ s)p21 + a23p31 = 0; |
|
|||||||||
|
|
|
|
a31p11 + a32p21 + (a33 ¡ s)p31 = 0: |
|
|
||||||||
Систему (2.162) ми отримали з умов a120 = 0, a130 = 0. Аналогiчно з умов a120 = 0, a230 = 0 |
|||||||||||
i a130 = 0, a230 = 0 можна отримати, що координати векторiв ~j0(p12; p22; p32), ~k0(p13; p23; p33) |
|||||||||||
задовольняють систему (2.162). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Система (2.162) ма¹ ненульовий розв'язок p11 |
; p21; p31 |
òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè s ¹ коренем |
|||||||||
рiвняння: |
¯ |
a21 |
a22 |
s |
|
a23 |
|
¯ = 0: |
(2.163) |
||
|
|
|
|||||||||
|
¯ |
a11 |
¡ s |
a12 |
|
|
a13 |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
||
|
¯ |
a |
|
a ¡ |
a |
|
|
s |
¯ |
|
|
Це рiвняння назива¹ться характеристичним¯ |
рiвнянням |
¯поверхнi другого порядку. Рiвняння |
|||||||||
|
¯ |
|
31 |
32 |
|
|
33 |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|||
(2.163) можна записати в iншому видi: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
¡ s3 + I1s2 ¡ I2s + I3 = 0; |
(2.164) |
||||||||
167
äå |
= |
¯ |
a21 |
a22 |
¯ |
+ |
¯ |
a21 |
a23 |
¯ |
+ |
¯ |
a32 |
a33 |
¯ |
; |
I1 = a11 + a22 + a33; I2 |
||||||||||||||||
|
|
¯ |
a11 |
a12 |
¯ |
|
¯ |
a11 |
a13 |
¯ |
|
¯ |
a22 |
a23 |
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
¯
¯¯ a11 a12 I3 = ¯¯ a21 a22 ¯ a31 a32
a13 |
¯ |
(2.165) |
|
a |
33 |
|
|
|
¯ |
|
|
a23 |
¯ |
: |
|
¯ |
|||
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
Нехай s1; s2; s3 коренi рiвняння (2.164). З курсу алгебри вiдомо, що
I1 = s1 + s2 + s3; I2 = s1s2 + s1s3 + s2s3; I3 = s1s2s3: |
(2.166) |
Таким чином, якщо iсну¹ система
другого порядку не мiстить членiв одиничного вектора ~0 , ~0
i (p11; p21; p31) j
задовольняють систему рiвнянь:
координат Ox0y0z0, вiдносно яко¨ рiвняння поверхнi
з добутками, ~0координат, то координати кожного (p12; p22; p32) k (p13; p23; p33) цi¹¨ системи координат
(a11 ¡ sk)p1k + a12p2k + a13p3k = 0; |
(2.167) |
a21p1k + (a22 ¡ sk)p2k + a23p3k = 0; |
|
a31p1k + a32p2k + (a33 ¡ sk)p3k = 0; |
|
äå sk корiнь характеристичного рiвняння, k = 1; 2; 3.
З попереднього матерiалу виплива¹, що напрямок вектора, координати якого задовольняють систему (2.167), ¹ головним напрямком вiдносно поверхнi другого порядку.
Вiдмiтимо без доведення деякi властивостi коренiв характеристичного рiвняння i головних напрямкiв.
Теорема 2.18. Якщо коренi s1; s2 характеристичного рiвняння (2.163) рiзнi, то координати
вiдповiдних ¨м векторiв, якi мають головнi напрямки вiдносно поверхнi другого порядку, задовольняють умову ортогональностi p11p12 + p21p22 + p31p32 = 0.
Теорема 2.19. Коренi характеристичного рiвняння поверхнi другого порядку завжди дiйснi.
Наслiдок 2.5. Координати векторiв, що мають головнi напрямки вiдносно поверхнi другого порядку ¹ дiйснi числа.
Наслiдок 2.6. Головнi напрямки вiдносно поверхнi другого порядку, якi вiдповiдають не рiвним кореням характеристичного рiвняння, перпендикулярнi.
Теорема 2.20. Якщо коренi s1; s2; s3 характеристичного рiвняння задовольняють умову s1 = s2 = s3, то всi коефiцi¹нти системи рiвнянь (2.162) рiвнi нулю.
В цьому випадку довiльний вектор простору ма¹ головний напрямок вiдносно поверхнi другого порядку.
Теорема 2.21. Якщо коренi s1; s2; s3 характеристичного рiвняння задовольняють умови s1 = s2 6= s3, то в системi (2.162) iсну¹ тiльки одне лiнiйно незалежне рiвняння.
Теорема 2.22. Якщо коренi s1; s2; s3 характеристичного рiвняння задовольняють умови s1 =6 s2 =6 s3 =6 s1, то в системi (2.162) iсну¹ два лiнiйно незалежних рiвняння.
168
З теореми 2.21 виплива¹, що iсну¹ нескiнченна множина компланарних векторiв, якi мають головнi напрямки, А з теореми 2.22 виплива¹, що iснують три вектори, якi мають головнi напрямки вiдносно поверхнi другого порядку, i вони попарно перпендикулярнi.
Íàñëiäîê 2.7. Для довiльно¨ поверхнi другого порядку iснують принаймнi три попарно перпендикулярнi головнi напрямки вiдносно дано¨ поверхнi.
Теорема 2.23. Нехай одиничнi вектори ~0 ~0 ~0 0 0 0 мають головнi i ; j ; k системи координат Ox y z
напрямки вiдносно поверхнi другого порядку, задано¨ загальним рiвнянням вiдносно системи координат Oxyz, тодi вiдносно системи координат Ox0y0z0 рiвняння дано¨ поверхнi ма¹ вид:
s1x02 + s2y02 + s3z02 + 2a014x0 + 2a024y0 + 2a034z0 + a044 = 0:
8Спрощення рiвняння поверхнi другого порядку за допомогою паралельного перенесення системи координат
Спрощення рiвняння поверхнi другого порядку за допомогою паралельного перенесення системи координат. Класифiкацiя поверхонь другого порядку.
В попереднiй лекцi¨ було вiдмiчено (див. теорему 2.23), що рiвняння довiльно¨ поверхнi другого порядку за допомогою обертання системи координат можна звести до виду:
s1x02 + s2y02 + s3z02 + 2a0 |
x0 + 2a0 |
y0 + 2a0 |
z0 + a0 |
= 0; |
(2.168) |
14 |
24 |
34 |
44 |
|
|
äå s1; s2; s3 коренi характеристичного рiвняння. Розглянемо тепер подальшi можливi
випадки спрощення рiвняння (2.168). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
I. Жоден з коренiв характеристичного рiвняння не дорiвню¹ нулю, тобто s1 6= 0, s2 6= 0, |
||||||||||||||
s3 6= 0, тодi (2.168) можна записати так: |
+ s3 ¶ |
+ µa440 |
¡ s1 |
¡ s2 |
¡ s3 ¶ = 0: |
|||||||||
s1 µx0 + s1 |
¶ |
|
+ s2 µy0 + s2 |
¶ |
|
+ s3 µz0 |
||||||||
|
a140 |
|
2 |
a240 |
|
2 |
|
|
a340 |
2 |
a1402 |
a2402 |
|
a3402 |
Викона¹мо паралельне перенесення системи координат так, щоб ¨¨ початок спiвпав з точкою |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a140 |
|
a240 |
|
a340 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
O0 |
µ¡ |
|
; ¡ |
|
|
; ¡ |
|
|
¶. Формули паралельного перенесення в цьому випадку будуть такi: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
s1 |
s2 |
s3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
00 |
|
a0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
00 |
|
|
|
a0 |
|
|
0 |
|
00 |
a0 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
34 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
= x |
|
¡ |
|
|
|
|
; y |
|
= y |
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
; z |
|
= z |
|
¡ |
|
; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s1 |
|
|
|
|
s2 |
|
|
s3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
i рiвняння (2.168) матиме вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s1x002 + s2y002 + s3z002 + a4400 = 0; |
|
|
|
(2.169) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a02 |
|
a02 |
a02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
äå a00 |
= a0 |
|
14 |
|
24 |
|
|
34 |
. ßêùî a00 |
= 0, то рiвняння (2.169) можна записати в канонiчному |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¡ s1 |
¡ s2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
44 |
|
44 |
¡ s3 |
|
44 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
âèäi: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x002 |
|
|
|
|
|
|
|
y002 |
|
|
|
|
|
|
z002 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
= 1; |
|
|
|
(2.170) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a00 |
|
|
|
|
a00 |
|
|
|
|
|
|
a00 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44 |
|
|
|
|
|
44 |
|
|
|
44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s1 |
|
s2 |
|
|
|
|
s3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
à ÿêùî a4400 |
= 0, то у виглядi: |
|
|
|
|
x002 |
|
|
|
y002 |
|
|
|
|
z002 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
= 0: |
|
|
|
|
(2.171) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s1 |
|
s2 |
|
|
|
|
s3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Враховуючи всi можливi знаки коефiцi¹нтiв в рiвняннi (2.169), ми отриму¹мо з (2.170) i (2.171) такi види поверхонь другого порядку та ¨х канонiчнi рiвняння:
169
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
||||
1) |
|
x |
+ |
y |
+ |
z |
= 1 |
åëiïñî¨ä; |
||
2 |
2 |
2 |
||||||||
|
|
a |
|
b |
|
|
c |
|
|
|
2) |
x2 |
y2 |
|
z2 |
|
= ¡1 уявний елiпсо¨д; |
||||
|
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|||
|
a2 |
b2 |
|
c2 |
||||||
3) |
x2 |
y2 |
¡ |
z2 |
|
|
однопорожниний гiперболо¨д; |
|||
|
|
+ |
|
|
|
= 1 |
||||
|
a2 |
b2 |
c2 |
|
||||||
4) |
x2 |
y2 |
¡ |
z2 |
|
= ¡1 двопорожниний гiперболо¨д; |
||||
|
|
+ |
|
|
|
|||||
|
a2 |
b2 |
c2 |
|
||||||
5) |
x2 |
y2 |
¡ |
z2 |
|
|
конiчна поверхня; |
|||
|
|
+ |
|
|
|
= 0 |
||||
|
a2 |
b2 |
c2 |
|
||||||
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
||||
6) |
|
x |
+ |
y |
+ |
z |
= 0 |
точка або уявна конiчна поверхня. |
||
2 |
2 |
2 |
||||||||
|
|
a |
|
b |
|
|
c |
|
|
|
|
|
II. Один з коренiв характеристичного рiвняння дорiвню¹ нулю, наприклад, s1 6= 0, s2 6= 0, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
s |
3 |
= 0 i a0 |
= 0, тодi рiвняння (2.168) можна привести до виду: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
34 |
6 |
s1 µx0 + s1 |
¶ |
|
+ s2 µy0 |
+ s2 |
¶ |
|
+ 2a340 z0 |
+ µa440 |
¡ s1 |
¡ s2 ¶ = 0; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a140 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
a240 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1402 |
|
|
|
|
a2402 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
àáî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
s1 |
µx0 + s1 |
¶ |
|
+ s2 µy0 + s2 |
¶ |
+ 2a340 |
µz0 |
+ 2a340 |
¶ = 0; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a140 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
a240 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
a4400 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
a02 |
|
|
a02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44 |
|
44 |
|
|
|
. Перенесемо систему координат паралельно так, щоб ¨¨ початок |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
¡ s1 |
¡ s2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
äå a00 |
= a0 |
14 |
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
µ¡ s1 |
|
; ¡ s2 |
; ¡ |
2a340 |
¶, при цьому формули перетворення будуть мати |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
спiвпав з точкою O 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a140 |
|
|
a240 |
|
|
a4400 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
такий вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
|
|
|
|
|
a00 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
00 |
|
|
|
0 |
|
|
|
00 |
|
|
|
0 |
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
14 |
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
24 |
|
|
|
¡ |
|
44 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
= x |
|
|
; y |
|
= y |
|
|
; z |
|
= z |
|
|
: |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s1 |
|
|
s2 |
|
|
2a340 |
|||||||||||||||||||||||||||
Рiвняння поверхнi буде таким:
àáî
s1x002 + s2y002 + 2a034z00 = 0;
x002 |
y002 |
||||||
|
|
|
+ |
|
|
|
= ¡2a340 z00: |
|
1 |
|
|
1 |
|
||
s1 |
|
s2 |
|||||
(2.172)
(2.173)
Враховуючи всi можливi знаки коефiцi¹нтiв в рiвняннi (2.172), ми отриму¹мо з (2.173) такi види поверхонь другого порядку та ¨х канонiчнi рiвняння:
|
2 |
2 |
|
|
|||
7) |
|
x |
+ |
y |
|
= 2pz елiптичний параболо¨д; |
|
2 |
2 |
||||||
|
|
a |
|
|
b |
|
|
8) |
x2 |
|
y2 |
|
= 2pz гiперболiчний параболо¨д. |
||
|
|
¡ |
|
|
|||
|
a2 |
b2 |
|
||||
170