Prak_Geom1

площини, яке ми називатимемо осьовою симетрi¹ю0 вiдносно прямо¨ l. Будемо казати, що точка A

симетрична точцi A вiдносно прямо¨ l, якщо пряма

AA0 перпендикулярна прямiй l, i цi точки знаходяться

на однакових вiдстанях вiд не¨, тобто

AA0

?

l i

AA0

= A0A0

(див. рис.). Перетворення

площини, яке

кожнiй ¨¨ точцi ставить у вiдповiднiсть симетричну

точку вiдносно прямо¨, назива¹ться осьовою симетрi¹ю

вiдносно прямо¨. Доведемо, що вона ¹ рух. Дiйсно, нехай

f: ¾

!

¾ ¹ осьова симетрiя вiдносно прямо¨ l, A; A0

; B; B0

i f: B

B0

.

точки площини ¾ òàêi, ùî f: A A0

7!

7!

Нехай AC

?

BB0 i A0C0

?

BB0. ßñíî, ùî

ABC =

4

. Îòæå,

4A0B0C0, звiдки виплива¹ рiвнiсть AB = A0B0

що перетворення f ðóõ.	ми довели,

Приклад 3. Розглянемо ще одне перетворення площини ¾, яке назива¹ться поворотом

площини навколо точки M0 íà êóò '. Нехай f даний поворот, A; A0 точки площини, тодi вважа¹мо, що

f: A 7!A0	df
	() M0A = M0A0 ^ \AM0A0 = ':

Точка M0 назива¹ться центром повороту, а ' кутом

повороту.

Покажемо, що поворот площини навколо точки буде рухом. Дiйсно, якщо при поворотi f ìà¹ìî f: A 7!

A0; B 7!B0, äå A; A0; B; B0 точки площини, то

неважко бачити (див. рис.), що 4AM0B = 4A0M0B0, òîìó AB = A0B0. Îòæå, f ðóõ.

Нагада¹мо (див. означення 1.10), що афiнним репером назива¹ться впорядкована трiйка точок A; B; C площини (вершини репера), що не лежать на однiй прямiй, i познача¹ться вiн

R = (A; B; C). Кожному такому реперу вiдповiда¹ афiнна система координат (A;~e1;~e2), äå

¡¡! ¡¡!

~e1 = AB , ~e2 = AC . Репер R назива¹ться ортонормованим, якщо йому вiдповiда¹ прямокутна декартова система координат.

Теорема 1.21 (дiя руху на репер). При кожному русi репер переходить в репер, причому
ортонормований репер переходить в ортонормований репер.			A0	; B B0; C	C0, äå
Доведення. Нехай g ðóõ, R = (A; B; C) репер i нехай g: A
		7!		7!	7!
A0; B0; C0 деякi точки площини. Оскiльки точки A; B; C не лежать на однiй прямiй, то
	AB < AC + CB;
	8 BC < BA + AC;				(1.63)
	< CA < CB + BA:
Оскiльки при русi вiдстань мiж	:		AB = A0B0, BC = B0C0			,
	точками зберiга¹ться, то, очевидно,

CA = C0A0. Тому з (1.63) отриму¹мо

8

< A0B0

B0C0 : C0A0

<A0C0

<B0A0

<C0B0

+ C0B0;

+ A00C00; (1.64)

+ B A :

41

Система нерiвностей (1.64) означа¹, что точки A0; B0; C0 не лежать на однiй прямiй, тобто R0 = (A0; B0; C0) репер.

ßêùî æ R = (A; B; C) ортонормований репер, то, очевидно, за теоремою Пiфагора AB2+AC2 = BC2, òîìó A0B02+A0C02 = B0C02. Îòæå, R0 = (A0; B0; C0) ¹ також ортонормований репер.

Теорема 1.22 (основна теорема руху). Нехай R = (A; B; C) i R0 = (A0; B0; C0) ¹ довiльнi ортонормованi репери на площинi ¾. Тодi iсну¹ один i тiльки один рух, який репер R переводить в репер R 0. При цьому русi кожна точка M з даними координатами в реперi R переходить в точку M0 з такими ж самими координатами в реперi R 0.

Доведення. а) Iснування руху. Визначимо перетворення g площини ¾ таким чином, щоб кожнiй точцi M(x; y), заданiй координатами в реперi R, ставилась у вiдповiднiсть точка M0(x0; y0) з таким ж самими координатами вiдносно репера R 0, тобто

g: M 7!M0 () x = x0 ^ y = y0:

(1.65)

Покажемо, що g ¹ рух, який репер R переводить в репер M1(x1; y1)R, M2(x2; y2)R, якi заданi координатами в реперi

R 0. Вiзьмемо довiльнi двi точки R, i обчислимо вiдстань M1M2:

p

M1M2 = (x2 ¡ x1)2 + (y2 ¡ y1)2: (1.66)

Згiдно (1.65) точкам M1; M2 при перетвореннi g вiдповiдають точки M10(x1; y1)R0, M20(x2; y2)R0 з такими ж координатами в реперi R 0, тому вiдстань мiж ними буде такою:

M10M20 = p		:	(1.67)
	(x2 ¡ x1)2 + (y2 ¡ y1)2

Оскiльки правi частини0 0 рiвностей (1.66) i (1.67) однаковi, то, очевидно, рiвнi i лiвi ¨х частини, тобто M1M2 = M1M2. Îòæå, g ðóõ.

Знайдемо координати вершин реперiв в кожному з них:

R: A(0; 0); B(1; 0); C(0; 1);

R0: A0(0; 0); B0(1; 0); C0(0; 1):

Îòæå, çãiäíî (1.65) ìà¹ìî g: A 7!A0; B 7!B0; C 7!C0. Таким чином, рух g переводить репер R в репер R 0.

á) ™äèíiñòü ðóõó g. Припустимо, що f ¹ iнший рух, який переводить R â R 0. Треба довести, що рухи g i f спiвпадають. Будемо мiркувати вiд супротивного, тобто припустимо, що g 6= f. Це означа¹, що знайдеться точка M площини така, що g(M) 6= f(M). Нехай

g(M) = M

, f(M) = M

, òîäi M

1

= M

. Îñêiëüêè A

g A0

i A

f A0

, òî AM = A0M

1

1

2

6

2

7!

7!

i AM = A0M2, çâiäêè A0M1 = A0M2, тобто точка A0

рiвновiддалена вiд M1

i M2, тобто

вона знаходиться на серединному перпендикулярi до вiдрiзка M1M2. Мiркуючи аналогiчно, доводимо, що точки B0 i C0 також знаходяться на цьому серединному перпендикулярi. Отже,

точки A0; B0; C0 лежать на однiй прямiй, а це протирiччить тому, що R 0 ¹ репер. Таким чином, наше припущення невiрне, а тому g = f.

Використовуючи тепер теорему 1.22 доведемо ряд властивостей руху.

1±: Рух переводить пряму у пряму, а паралельнi прямi в паралельнi прямi.

Нехай на площинi заданий рух g. Виберемо ортонормований репер R i розглянемо його образ R 0, який за теоремою 1.21 буде також ортонормованим репером. Нехай пряма l

42

в реперi R визнача¹ться загальним рiвнянням Ax + By + C = 0, а саме дану пряму ми розгляда¹мо як множину точок M(x; y), координати яких в реперi R задовольняють вказане рiвняння, тобто l = fM(x; y)jAx + By + C = 0g. Оскiльки згiдно основно¨ теореми руху кожна точка прямо¨ l переходить в точку M0(x; y) з такими ж самими координатами в реперi R 0, то, очевидно, образом прямо¨ l ¹ множина l0 ¹ множина точок M0(x; y), координати яких в реперi R 0 задовольняють рiвняння Ax + By + C = 0, яке визнача¹ пряму лiнiю. Отже, пряма при русi переходить в пряму.

Нехай l1; l2 двi паралельнi прямi, а l10 ; l20 ¨х образи. Якщо припустити, що прямi l10 ; l20 мають спiльну точку, скажiмо M0, то ¨¨ прообраз M буде належати обом прямим l1; l2, а це суперечить ¨х паралельностi. Отже, l10 k l20 .

2±: Рух переводить напiвплощину з межею l в напiвплощину з межею l0, äå l0 образ прямо¨ l.

Нехай ® дана напiвплощина з межею l, à ® 0 образ напiвплощини ®. Якщо пряма

l в реперi R ма¹ рiвняння Ax + By + C = 0, то за теоремою 1.16 напiвплощина ® визнача¹ться нерiвнiстю

Ax + By + C > 0 (àáî Ax + By + C < 0):

(1.68)

Множина ® 0 в реперi R 0, äå R 0 = g(R), визнача¹ться тi¹ю ж нерiвнiстю (1.68). Отже, ® 0 напiвплощина з межею l0, äå l0 = g(l).

Означення 1.17. Простим вiдношенням трьох точок A; B; C однi¹¨ прямо¨ назива¹ться число ¸, в якому точка C дiлить направлений вiдрiзок AB i познача¹ться: ¸ = (AB; C).

3±: Рух зберiга¹ просте вiдношення трьох точок прямо¨.

Нехай в реперi R три довiльних точки прямо¨ мають координати A(x1; y1), B(x2; y2), C(x; y). ßêùî ¸ = (AB; C), то за формулами (2.3) ма¹мо

x =	x1 + ¸x2	;	y =	y1 + ¸y2	:	(1.69)
1 + ¸			1 + ¸
ßêùî R 0 образ репера R, то образи A0; B0; C0 точок A; B; C в реперi R 0						мають згiдно

основно¨ теореми руху координати A0(x1; y1), B0(x2; y2), C0(x; y), причому цi точки за властивiстю 1± належать однiй прямiй. Отже, рiвностi (1.69) показують, що точка C0

äiëèòü âiäðiçîê A0B0 у вiдношеннi ¸. Таким чином, (AB; C) = (A0B0; C0).

4±: Рух зберiга¹ вiдношення "лежати мiж".

ßêùî (AB; C) > 0, то точка C ¹ внутрiшньою точкою вiдрiзка AB, à ÿêùî (AB; C) < 0, то вона знаходиться зовнi вiдрiзка на прямiй AB. Звiдси згiдно властивостi 3± виплива¹ дане твердження.

5±: Рух переводить вiдрiзок AB ó âiäðiçîê A0B0, äå A0; B0 образи точок A; B. При цьому середина вiдрiзка AB переходить в середину вiдрiзка A0B0.

Ця властивiсть виплива¹ з властивостей 1±, 3±, 4± (доведiть це самостiйно).

6±: Рух переводить промiнь в промiнь, а кут в кут.

Довести самостiйно.

43

7±: Рух переводить кут в рiвний йому кут.

Нехай \AOB даний кут, а \A0O0B0 його образ при русi g, причому O 7!g O0, A 7!g A0, B 7!g B0. ßêùî \AOB розгорнутий, то дане твердження очевидне, тому припустимо,

що цей кут нерозгорнутий, тобто (O; A; B) репер. Тодi (O0; A0; B0) ¹ теж репер за теоремою 1.21. Оскiльки рух зберiга¹ вiдстань, то 4AOB = 4A0O0B0, òîìó \AOB =

\A0O0B0.

8±: Рух переводить вза¹мно перпендикулярнi прямi у вза¹мно перпендикулярнi прямi.

Виплива¹ з властивостей 1± i 7±.

Означення 1.18. Прапором назива¹ться впорядкована трiйка (O; h; ®), äå O точка площини, h ïðîìiíü,

який виходить з точки O, ® напiвплощина, межi яко¨ належить промiнь h.

Теорема 1.23. Нехай (O; h; ®) i (O0; h0; ® 0) довiльнi два прапори. Тодi iсну¹ один i тiльки один рух, який прапор (O; h; ®) переводить в прапор (O0; h0; ® 0).

Доведення. Нехай (O; E1; E2) i (O0; E10 ; E20 ) ¹ ортонормованi репери такi, що E1 2 h, E2 2 ®, E10 2 h0, E20 2 ® 0 (див. рисунок). За основною теоремою руху iсну¹ один i тiльки один рух g,

який репер (O; E1; E2) переводить в репер (O0; E10 ; E20 ). Îñêiëüêè O 7!g O0, E1 7!g E10 , òî h0 = g(h). Àëå E2 7!g E20 , òîìó ® 0 = g(®). Таким чином, рух g переводить прапор (O; h; ®) в прапор

(O0; h0; ® 0).

3 Два види руху. Аналiтичне задання руху площини

Два види руху. Аналiтичне задання руху. Ознака руху.

Означення 1.19. Репери R = (O; A; B) i	R0 =	(O0; A0; B0) називаються однаково
¡¡! ¡¡!	¡¡!	¡¡!
орi¹нтованими, якщо базиси ( OA ; OB ) i (O0A0; O0B0) орi¹нтованi однаково (див.
означення 1:14).

Будемо казати, що перетворення площини зберiга¹ (змiню¹) орi¹нтацiю, якщо довiльний репер i його образ однаково орi¹нтованi (протилежно орi¹нтованi).

Теорема 1.24. Довiльний рух або зберiга¹, або змiню¹ орi¹нтацiю площини.

Доведення. Нехай g ðóõ, R0 ортонормований репер i R 00 його образ при даному русi, який також ¹ ортонормованим0 0 репером0 0 згiдно теореми 1.21. Розглянемо довiльний репер R = (O; A; B) i нехай R = (O ; A ; B ) його образ. За теоремою 1.22 точки O; A; B в реперi

R0 мають такi ж координати, як i вiдповiднi точки O 0; A0; B0 в реперi R 00, тому вектори

44

¡¡! ¡¡!			¡¡! ¡¡! â
OA ; OB в реперi R0 мають такi ж самi координати, як i вiдповiднi i вектори O 0A0; O 0B0
реперi R 00	. Звiдси виплива¹, що R0jR = R 00 jR 0, тому за властивiстю 3± визначникiв матрицi
переходу (див. стор. 24) ма¹мо RjR0		= R 0jR 00	. Користуючись далi властивiстю (1.25) ми
отриму¹мо такi рiвностi:

RjR 0 = (RjR0)(R0jR 0) = (R 0jR 00)(R0jR 0) = (R0jR 0)(R 0jR 00) = R0jR 00:

Îòæå, ÿêùî R0jR00 > 0, òî i RjR0 > 0. В цьому випадку кажуть, що ми ма¹мо рух першого роду, який зберiга¹ орi¹нтацiю площини. А якщо R0jR00 < 0, òî RjR0 < 0 i говорять, що це рух другого роду, який змiню¹ орi¹нтацiю площини на протилежну.

Аналiтичне задання руху. Нехай g ðóõ, R = (O; E1; E2) ортонормований репер, M(x; y) довiльна точка площини, задана координатами в реперi R, M0(x0; y0) образ точки

M з координатами в реперi R, тобто M 7!g M0. Нехай далi R 0 = (O 0; E 01; E 02) ¹ образ репера R ïðè ðóñi g, тобто R 0 = g(R). Припустимо, що точка O0 в реперi R ма¹ координати O0(x0; y0) i ®

	¡¡!	¡¡!	\
¹ кут мiж векторами			¡¡!	¡¡!
	OE1 i O 0E 0 , тобто ® = (OE1			; O 0E 0 ). Îñêiëüêè g рух, то за основною
		1		1
теоремою руху точка M0 в реперi R 0 ма¹ такi самi координати, як точка M в реперi R, тобто
M0(x; y)R 0.
Îòæå, ìà¹ìî M0(x0; y0)R		старi координати, M0(x; y)R 0			новi координати, тому за
формулами перетворення прямокутних координат (1.35) ма¹мо:
		x0	= x cos ® ¡ "y sin ® + x0;
		y0	= x sin ® + "y cos ® + y0;		(1.70)

äå " = 1 для руху першого роду i " = ¡1 для руху другого роду. Формули (1.70) надалi

будемо називати формулами руху на площинi.

Означення 1.20. Матриця µ a1 b1 ¶ назива¹ться ортогональною, якщо ¨¨ елементи

задовольняють такi рiвностi:

a2 b2

a2

+ a2 = 1;

b2

+ b2

= 1;

a1b1 + a2b2 = 0:

(1.71)

1

2

1

2

Покажемо,

ùîi

визначник

ортогонально¨

матрицi

äîðiâíþ¹ §1. Дiйсно, розглянемо

вектори ~a(a1; a2)

~

~

b(b1; b2), тодi з (1.71) виплива¹, що (~a; b) ¹ ортонормований базис. Нехай ± =

a1

b1

~

¯

a2

b2

¯

¹ визначник ортогонально¨ матрицi. За формулою (1.27) ма¹мо sin(~a; b) =

¯

a1

b1

¯

¯

¯

¯

¯,

a2

b2

~a

~b

c

¯

j

jj

j

¯

¯

¯

~

, îñêiëüêè

, ~

. ßêùî

~ правий базис, то

¼

¯òîìó

¯

~

(~a; b) ëiâèéc

(~a; b) =

2 . Îòæå, ± = sin(

2 ) =

1

c

2 , à ÿêùî

¯

± =¯ sin(~a; b)

~a

= 1

b

j

= 1

(~a; b)

(~a; b) =

~

базис, то ~

j j

j

, що i треба було довести.

c

¡

¼

§

¼

§

Теорема 1.25 (ознака руху). Якщо аналiтичне задання вiдображення f: ¾ ! ¾ площини ¾ в ортонормованому реперi R = (O; E1; E2) визнача¹ться формулами

				x0 = a1x + b1y + x0;
äå	µ a2		¶	y0 = a2x + b2y + y0;				(1.72)
		b2		ортогональна матриця, то f ¹ рух, причому якщо ± = 1, òî f ðóõ
	a1	b1			¯			¯.
першого роду, а при ± = ¡1 перетворення f ¹ рух другого роду, де ± =						a2	b2
					¯	a1	b1	¯
					¯			¯
					¯			¯

45

Доведення. Оскiльки ± 6= 0, то вiдображення f ¹ перетворенням площини ¾. Доведемо, що

f рух. Розглянемо двi точки M1(x1; y1), M2(x2; y2) i нехай вони вiдображенням f переходять

вiдповiдно в точки M10(x01; y10 ), M20(x02; y20 ), де координати цих точок визначенi в реперi R. Тодi за формулами (1.72) ми матимемо:

(x02 ¡ x01)2 + (y20 ¡ y10 )2 =

=(a1x2 + b1y2 + x0 ¡ a1x1 ¡ b1y1 ¡ x0)2 + (a2x2 + b2y2 + y0 ¡ a2x1 ¡ b2y1 ¡ y0)2 =

=(a1x2 + b1y2 ¡ a1x1 ¡ b1y1)2 + (a2x2 + b2y2 ¡ a2x1 ¡ b2y1)2 =

=(a1(x2 ¡ x1) + b1(y2 ¡ y1))2 + (a2(x2 ¡ x1) + b2(y2 ¡ y1))2 =

=a21(x2 ¡ x1)2 + 2a1b1(x2 ¡ x1)(y2 ¡ y1) + b21(y2 ¡ y1)2 + +a22(x2 ¡ x1)2 + 2a2b2(x2 ¡ x1)(y2 ¡ y1) + b22(y2 ¡ y1)2 =

=(a21 + a22)(x2 ¡ x1)2 + 2(a1b1 + a2b2)(x2 ¡ x1)(y2 ¡ y1) + (b21 + b22)(y2 ¡ y1)2 =

=(x2 ¡ x1)2 + (y2 ¡ y1)2:

Îòæå, M10M20 = M1M2. Таким чином, вiдображення f ¹ ðóõ.
Нехай рух f переводить репер R = (O; E1; E2) в репер R 0				= (O 0; E10 ; E20 ), O 0(x0; y0), E10 (a1 +
¡¡!			¡¡!
x0; a2 + y0), E20 (b1 + x0; b2 + y0), òîìó O0E10 (a1; a2), O0E20 (b1; b2). Îòæå,
RjR 0 = ¯	a2	b2	¯ = ±:
¯	a1	b1	¯
¯			¯
				à ïðè ± = ¡1 R i R 0	орi¹нтованi
Таким чином, якщо ± = 1, òî R i R 0 орi¹нтованi¯		однаково,¯

протилежно. Це означа¹, що при ± = 1 ðóõ f буде першого роду, а при ± = ¡1 рух другого роду.

~ ~

Приклад 1. В прямокутнiй системi координат (O; i; j) розглянемо поворот площини на кут ® навколо початку координат O (див. означення повороту на стор. 41, приклад 3). Нехай при даному поворотi точка M(x; y) переходить в точку M0(x0; y0). Тодi, очевидно,

\

¡¡!

¡¡!

визначаються так:

(OM ; OM0) = ® i OM = OM0 = ½. Ясно, що радiус-вектори точок M i M0

¡¡!

¡¡!

OM (x; y) i OM0 (x0; y0). За формулами (1.26) i (1.27) ма¹мо

¯

x x

¯

xx0

+ yy0

y y00

cos ® =

; sin ® =

¯

¯

;

½

¯

½

¯

½ ¡yx00

+ xy00

¯

¯

звiдки отриму¹мо систему

= ½2 sin ®: Розв'язуючи ¨¨ вiдносно x0; y0

xx + yy = ½2 cos ®;

ми будемо

мати такi формули:

x0

= x cos ® ¡ y sin ®;

y0

= x sin ® + y cos ®:

(1.73)

Формули (1.73) називають формулами повороту площини на кут ® навколо початку
координат. Далi ма¹мо ± =	¯	sin ®	¡cos ®	¯	= 1. Отже, за теоремою 1.25 поворот ¹ рухом
першого роду.	¯	cos ®	sin ®	¯
	¯			¯
	¯			¯

46

Приклад 2.	Знайдемо формули осьово¨ симетрi¨ в прямокутнiй декартовiй системi
координат вiдносно вiсi абсцис. Нехай M(x; y)					M0(x0; y0), òîäi x0 = x, y0 =		y. Öå i ¹
				7!			¡
формули дано¨ осьово¨ симетрi¨. Ма¹мо ± =		¯	1	0	¯	= ¡1. Таким чином, осьова симетрiя ¹
			0	1
рух другого роду.		¯		¡	¯
		¯			¯
		¯			¯

4 Класифiкацiя рухiв площини

Лема про iснування iнварiантно¨ прямо¨. Класифiкацiя рухiв першого роду. Класифiкацiя рухiв другого роду.

Означення 1.21. Точка назива¹ться iнварiантною (або нерухомою), якщо вона переходить при русi сама в себе.

Означення 1.22. Пряма назива¹ться iнварiантною вiдносно даного руху, якщо довiльна ¨¨ точка переходить в точку на цiй же прямiй.

Якщо кожна точка прямо¨ ¹ нерухомою, то, очевидно, така пряма буде iнварiантною, при цьому ¨¨ називають прямою iнварiантних точок.

Ëåìà 1.3 (iснування iнварiантно¨ прямо¨). ßêùî ðóõ g не ма¹ жодно¨ iнварiантно¨ точки, то вiн ма¹ хоча б одну iнварiантну пряму.

Доведення. Нехай викону¹ться умова леми, тобто рух g нема¹ жодно¨ iнварiантно¨ точки.

Виберемо на площинi довiльну точку A. Нехай рух g переводить

¨¨ в точку A1, а точку A1 â òî÷- êó A2. Вiдмiтимо зразу, що точка A2 не може спiвпадати з точкою A,

		iнакше середина O1 âiäðiçêà AA1
		була б iнварiантною точкою, що
		неможливо за умовою. Отже точ-
		êè A; A1; A2 попарно рiзнi. Якщо
		вони лежать на однiй прямiй,
		ñêàæiìî l, то, очевидно, l ¹ шукана
		iнварiантна пряма тому, що l =
		g
		AA1 i l = A1A2. Îñêiëüêè A 7!A1
g	, то, очевидно, що пряма AA1	i òà-
êîæ A1 7!A2		переходить в пряму A1A2, тобто g(l) = l.

Розглянемо тепер випадок, коли точки A; A1; A2 не лежать на однiй прямiй. Нехай точки O1 i O2 ¹ середини вiдповiдно вiдрiзкiв AA1 i A1A2, l1 i l2 серединнi перпендикуляри до них, якi перетинаються в точцi C. Оскiльки рух зберiга¹ просте вiдношення трьох точок, то

середина O1 âiäðiçêà AA1 переходить в середину O2 âiäðiçêà A1A2. Вiдомо, що рух переводить пряму у пряму i зберiга¹ перпендикулярнiсть, тому пряма l1 переходить у пряму l2. ßñíî, що цi прямi перетинаються i нехай C ¹ точка ¨х перетину. Оскiльки C 2 l1, то ¨¨ образ C1 2 l2, причому C1 не може спiвпадати з точкою C, бо рух нема¹ iнварiантних точок. Звiдси виплива¹, що O2 середина вiдрiзка CC1. Ç óìîâ, ùî l2 ? A1A2 i O2 ¹ середина вiдрiзкiв

A1A2 i CC1, виплива¹, що чотирикутник A1CA2C1 ðîìá, à òîìó A1C k A2C1.

Позначимо пряму O1O2 через l i нехай l0 ¹ ¨¨ образ при даному русi, тобто l0 = g(l). Доведемо, що l ¹ iнварiантна пряма, що означа¹, що вона спiвпада¹ iз сво¨м образом,

47

в прапор (O; h; ¸0). В цьому випадку рух g спiвпада¹

тобто l = l0. Справдi неважко бачити, що l ? A1C, à òîìó l0 ? A2C1, òîìó ùî ïðè ðóñi перпендикулярнiсть зберiга¹ться. Оскiльки A1C k A2C1, то, очевидно, l0 ? A1C. Таким чином, ми ма¹мо умови l ? A1C, O2 2 l, l0 ? A1C, O2 2 l0, çâiäêè ñëiäó¹, ùî l = l0. Îòæå,

l = g(l), тобто l iнварiантна пряма.

Ëåìà 1.4. ßêùî ðóõ g ïðîìiíü h переводить сам в себе, то g ¹ або тотожне перетворення, або вiдображення16 вiд прямо¨ p, яка мiстить промiнь h.

Доведення. Позначимо через O початок променя h, а через ¸ i ¸0 двi напiвплощини iз спiльною межею, яка мiстить промiнь h. Можливi такi два випадки:

1) Ðóõ g переводить прапор (O; h; ¸) в прапор (O; h; ¸). Тодi за теоремою 1.23 рух g ¹

тотожне перетворення.

2) Ðóõ g переводить прапор (O; h; ¸) з осьовою симетрi¹ю вiдносно прямо¨ p.

Класифiкацiю рухiв будемо проводити в залежностi вiд наявностi iнварiантних точок та iнварiантних прямих.

Класифiкацiя рухiв першого роду. Розглянемо наступнi три випадки:

1) Рух ма¹ бiльше нiж одну iнварiантну точку. Нехай A i B двi нерухомi точки руху,

òîäi ïðîìiíü AB переходить при русi сам в себе, а тому за лемою 1.4 даний рух ¹ тотожне

перетворення.17

2) Рух ма¹ тiльки одну iнварiантну точку. Виберемо ортонормований репер (O; E1; E2)

так, щоб точка O була нерухомою, тобто O 7!O. Виходячи з (1.70) запишемо тепер формули цього руху. Ясно, що " = 1 i x0 = 0, y0 = 0, тому шуканi формули будуть такi:

x0 = x cos ® ¡ y sin ®; y0 = x sin ® + y cos ®: ;

якi спiвпадають з формулами повороту площини (1.73). Таким чином, якщо рух ма¹ лише одну iнварiантну точку, то це буде поворот площини навколо цi¹¨ точки.

3) Рух нема¹ жодно¨ iнварiантно¨ точки. Оскiльки рух нема¹ жодно¨ iнварiантно¨ точки, то за лемою 1.3 вiн ма¹ хоч одну iнварiантну пряму. Вiзьмемо одну з них i позначимо ¨¨ через l. Виберемо тепер ортонормований репер

(O; E1; E2) таким чином, щоб O 2 l, E1 2 l. Нехай рух точку O переводить в точку O1, à точку O1 в точку O2. Вiдзначимо, що точ- ка O2 не може спiвпасти з точкою O, iнакше середина вiдрiзка OO1 була б нерухомою, що

суперечило б умовi. Крiм того ясно, що всi три точки O; O1; O2 належать прямiй l, îñêiëüêè

ця пряма iнварiантна, причому цi точки розташованi на прямiй так, як вказано на малюнку.
Îñêiëüêè OO1 = O1O2, òî O1 середина вiдрiзка OO2 а тому координати точок будуть такi:
g	g
O(0; 0), O1(a; 0), O2(2a; 0), äå a дiйсне число. При даному русi g ìà¹ìî O 7!O1, O1	7!O2,

тому згiдно формул (1.70) x0 = a, y0 = 0, a = a cos ® i 0 = sin ®, çâiäêè ñëiäó¹, ùî cos ® = 1 i sin ® = 0. Таким чином формули руху в даному випадку набувають вигляду:

x0 = x + a;
y0 = y:	(1.74)

16тобто осьова симетрiя з вiссю симетрi¨ p.

17Нагада¹мо, що осьова симетрiя ¹ рух другого роду.

48

З формул (1.74) виплива¹, що даний рух ¹ паралельне перенесення площини0 0 (äèâ0 . стор. 40) на ненульовий вектор p~(a; 0). Äiéñíî, ÿêùî M(x; y) довiльна точка, а M (x ; y ) ¨¨ образ,

¡¡¡!

то з формул (1.74) отриму¹мо MM0 = p~. Отже, ми показали, що коли рух першого роду нема¹ жодно¨ iнварiантно¨ точки, то вiн ¹ паралельне перенесення площини на ненульовий вектор. I нарештi, вiдмiтимо, що довiльна пряма, яка паралельна вектору p~ ¹ iнварiантною

прямою цього паралельного перенесення. Iнших iнварiантних прямих нема¹.

Класифiкацiя рухiв другого роду. Запишемо формули руху другого роду, поклавши " = ¡1 в формулах в (1.70):

x0 = x cos ® + y sin ® + x0;

y0 = x sin ® ¡ y cos ® + y0:

(1.75)

Будемо шукати iнварiантнi точки руху. Якщо M(x; y) iнварiантна точка, то для визначення ¨¨ координат необхiдно в (1.75) покласти x0 = x, y0 = y i розв'язати отриману систему рiвнянь.

Отже, зробивши це, ми отрима¹мо таку систему рiвнянь:

(

(cos ® ¡ 1)x + sin ® ¢ y + x0

= 0;

(1.76)

sin ® ¢ x ¡ (cos ® + 1)y + y0

= 0:

Обчислимо визначник системи (1.76): ¯

cos ® ¡ 1

sin ®

¯

=

(cos2

®

¡

1)

¡

sin2

® = 0:

sin ®

(cos ® + 1)

¡

¯

¡

¯

нема¹ розв'язкiв. Таким

Отже, дана система або ма¹ безлiч розв'язкiв,¯

або несумiсна, тобто¯

¯

¯

чином, довiльний рух другого роду або ма¹ пряму iнварiантних точок, або нема¹ жодно¨ iнварiантно¨ точки.

1) Ðóõ g ма¹ пряму iнварiантних точок. Нехай h промiнь на цiй прямiй, тодi, очевидно, g(h) = h, а тому за лемою 1.4 рух g ¹ осьова симетрiя.

2) Ðóõ g нема¹ iнварiантних точок. В цьому випадку рух ма¹ iнварiантну пряму, згiдно

леми 1.3. Позначимо ¨¨ через l. Виберемо тепер ортонормований репер (O; E1; E2) таким чином, щоб O 2 l, E1 2 l (див. рис. на стор. 48). Нехай рух точку O переводить в точку O1,

а точку

O1

в точку

O2

. Очевидно, що

O2

6= O

. Îñêiëüêè

OO1

= O1O2, òîìó

координати

,

,

a 2 R

g

точок будуть такi:

O(0; 0)

, äå

. При даному русi

g

ìà¹ìî

O 7!O1,

g

O1(a; 0) O2(2a; 0)

O1 7!O2, тому згiдно формул (1.70) отриму¹мо x0 = a, y0 = 0, cos ® = 1 i sin ® = 0. Таким

чином формули руху в даному випадку будуть такi:

x0 = x + a;

y0 = ¡y:

(1.77)

Неважко бачити, що даний рух g ¹ суперпозицi¹ю двох

перетворень f i s, якi задаються такими формулами:

x = x + a;

x0

= x;

f:

e

s: y0 =

e

y;

y = y;

¡

ef. Згiдно формул

e

причому g

= s

±

(1.74) перетворення

f ¹ паралельне перенесення площини на вектор p~(a; 0),

який паралельний вiсi Ox, à s (див. приклад 2 на стор.

47) осьовою симетрi¹ю вiдносно вiсi абсцис. Такий рух

назива¹ться ковзною симетрi¹ю.

f, тобто g(M) = M0,

Нехай M довiльна точка, M0 ¨¨ образ при ковзнiй симетрi¨ g = s

±

49

f = f1 ± g:

Доведення. Розглянемо деякий прапор

i нехай рух

переводить його у прапор

òîìó M0 = s						f f	. Таким чином,
	±
		M	g M0	()	M	f M M s M0	:
			7!			7!f^ f 7!

Отже iсну¹ чотири типи рухiв, якi наведенi в наступнiй таблицi.

	Назва руху			Iнварiантнi точки	Iíâàðiàíòíi ïðÿìi
				I. Рухи першого роду
	1. Поворот на кут ®
	а) Поворот на кут ® 6= 0 i			Центр повороту	Íåìà¹
	® 6= §¼
	б) Тотожне перетворення			Довiльна точка площини	Довiльна пряма площини
	(® = 0)
	в) Центральна симетрiя			Центр симетрi¨	Довiльна пряма, яка проходить
	(® = §¼)				через центр симетрi¨
	2. Паралельне перенесення на
	вектор p~
	а) Паралельне перенесення			Íåìà¹	Довiльна пряма, паралельна
	на вектор		~		вектору	p~
		p~ 6= 0
	б) Тотожне перетворення			Довiльна точка площини	Довiльна пряма площини
	~
	(p~ = 0)
				II. Рухи другого роду
	3. Осьова симетрiя			Всi точки осi	Вiсь симетрi¨ i довiльна пряма,
					перпендикулярна до не¨
	4. Ковзна симетрiя			Íåìà¹	Одна пряма

5 Група рухiв площини та ¨¨ пiдгрупи

Рух як добуток осьових симетрiй. Група рухiв та ¨¨ пiдгрупи. Рiвнiсть фiгур. Теорема про рiвнiсть трикутникiв.

З чотирьох типiв руху осьова симетрiя вiдiгра¹ особливу роль, про що свiдчить наступна теорема.

Теорема 1.26. Довiльний рух g площини ¹ або осьовою симетрi¹ю, або добутком не бiльше трьох осьових симетрiй.

(O; h; ®) g

(O 0; h0; ® 0). Можливi два випадки, коли точки O, O 0

спiвпадають i коли вони рiзнi0 . 0. 1) Нехай точки O i O спiвпадають, тобто O = O

Тодi променi h i h0 мають спiльний початок. В цьому випадку iсну¹ пряма p, вiдносно яко¨ променi h i h0 симетричнi, тобто p бiсектриса кута мiж ними (див.

рис.). Позначимо через f1 рух, який ¹ вiдображенням вiд прямо¨ p. Розглянемо рух f, який визнача¹ться

формулою

(1.78)

Îñêiëüêè g(h) = h0 i f1(h0) = h, òî f(h) = f1 ± g(h) = f1(g(h)) = f1(h0) = h: Таким чином, f(h) = h, çâiäêè çà

50