Prak_Geom1

Таким чином, можливi шiсть випадкiв розташування прямо¨ l i лiнi¨ 2-го порядку °:

± > 0 двi дiйснi точки перетину,

P =6 0; ± < 0 уявнi комплексно-спряженi точки перетину,

± = 0 спiвпавшi точки перетину.

Q 6= 0 одна точка перетину,

P = 0; Q = 0; R 6= 0 нема¹ точок перетину,

Q = 0; R = 0 пряма мiститься в лiнi¨.

3 Асимптотичнi напрямки лiнi¨ другого порядку

Залежнiсть коефiцi¹нта P вiд напрямку прямо¨ l. Означення

асимптотичного напрямку. Теорема про число асимптотичних напрямкiв лiнi¨ 2-го порядку. Типи лiнiй другого порядку. Лема про асимптотичний напрямок лiнi¨ параболiчного типу.

Êîåôiöi¹íò P в рiвняннi (1.123) залежить лише вiд напрямку прямо¨ l з напрямним

вектором p~ i не залежить вiд координат (x0; y0) точки M0. Îòæå, ÿêùî P 6= 0, то всi прямi, що мають напрямок вектора p~(p1; p2), перетина¹ лiнiю другого порядку ° в двох точках (дiйсних рiзних, спiвпадаючих або комплексно-спряжених). Якщо P = 0, òî àáî l ½ °, або пряма l

перетина¹ лiнiю ° íå áiëüø íiæ â îäíié òî÷öi.

Означення 1.37. Напрямок, що визнача¹ться ненульовим вектором p~, назива¹ться асимптотичним напрямком вiдносно лiнi¨ другого порядку °, якщо пряма, паралельна вектору p~, àáî ìà¹ ç ° не бiльш однi¹¨ спiльно¨ точки, або мiститься в °.

В наступнiй теоремi говориться про число асимптотичних напрямкiв лiнi¨ другого
порядку.
Теорема 1.41. Нехай лiнiя другого порядку ° задана загальним рiвнянням
a11x + 2a12xy + a22y + 2a10x + 2a20y + a00			= 0 i ¢ =	¯	a21	a22	¯	= a11a22 ¡ a12:
				¯	a11	a12	¯
	2	2		¯			¯	2
				¯			¯

ßêùî ¢ > 0, то вiдносно тако¨ лiнi¨ не iсну¹ асимптотичних напрямкiв, якщо ¢ < 0, то iсну¹ два асимптотичних напрямки, а якщо ¢ = 0 один асимптотичний напрямок.

Доведення. Згiдно означення 1.37 напрямок вектора p~(p1; p2) буде асимптотичним тодi i тiльки тодi, коли P = 0, тобто, коли

a11p12 + 2a12p1p2 + a22p22 = 0:

(1.124)

à) ßêùî

, òî ç (1.124) ìà¹ìî

p1 6= 0, îñêiëüêè

вектор

ненульовий. Тому рiвняння

a22

6= 0

2

p2

p~

(1.124) перепишеться так: a22k

+ 2a12k + a11 = 0, äå k = p1 . Çâiäñè ìà¹ìî

¡a12 § p

;

k =

¡¢

äå ¢ = a

11

a

22

¡

a2 :

(1.125)

a22

12

á) ßêùî a22 = 0, то (1.124) прийма¹ вигляд: a11p12

+ 2a12p1p2

= 0: Цьому рiвнянню

задовольняють координати векторiв

~e2(0; 1) i

p~(¡2a12; a11):

(1.126)

81

Вияснимо, скiльки iсну¹ асимптотичних напрямкiв вiдносно лiнi¨ другого порядку °.

Можливi три випадки.

1) ¢ = ¯

a11

a12

¯

= a11a22 ¡ a122 > 0. В цьому випадку a22

6= 0, i, як слiду¹ з формули

a21

a22

(1.125), вiдносно¯

ëiíi¨¯

° не iсну¹ асимптотичних напрямкiв.

¯

¯

¯

a11

a12¯

¯

2

2) ¢ = ¯

a21

a22

= a11a22 ¡ a12 < 0. В цьому випадку вiдносно лiнi¨ ° iñíó¹ äâà

асимптотичних¯

напрямки.¯

Справдi, при a22 = 0, цей висновок виплива¹ з формули (1.125), а

¯

¯

6

ïðè a = 0 ¯

ç (1.126)¯

. В останньому випадку a

= 0, тому вектори ~e (0; 1) i p~(

2a

12

; a

11

)

22

12 6

2

¡

не колiнеарнi.a11

a12

¯

= a11a22 ¡ a122 = 0. В цьому випадку вiдносно лiнi¨ ° iñíó¹ òiëüêè

3) ¢ = ¯

a21

a22

один асимптотичний¯

напрямок.¯

Ïðè a22 = 0, цей висновок виплива¹ з формули (1.125), а

¯

¯

6

ïðè a22 = 0¯

ç (1.126)¯

. В останньому випадку a12 = 0, тому вектори ~e2(0; 1) i p~(0; a11)

колiнеарнi.

Користуючись теоремою 1.41 вияснимо, скiльки асимптотичниõ2 íàïyð2ямкiв ма¹ елiпс, гiпербола i парабола. Нехай елiпс заданий канонiчним рiвнянням xa2 + b2 = 1. Òîäi ¢ = a21b2 > 0, тому вiдносно елiпса нема¹ асимптотичних напрямкiв. Нехай тепер гiпербола задана канонiчним рiвнянням xa22 ¡ yb22 = 1. Òîäi ¢ = ¡a21b2 < 0, тому гiпербола ма¹ два асимптотичних напрямки, якi спiвпадають з напрямками ¨¨ асимптот. Для параболи ма¹мо

¢ = 0, тому вiдносно параболи iсну¹ лише один асимптотичний напрямок. У вiдповiдностi з цим лiнiя другого порядку назива¹ться лiнi¹ю елiптичного типу, якщо ¢ > 0, гiперболiчного типу, якщо ¢ < 0, i параболiчного типу, якщо ¢ = 0.

Ëåìà 1.6. Напрямок ненульового вектора ~q(q1; q2) ¹ асимптотичним напрямком вiдносно лiнi¨ ° параболiчного типу, задано¨ загальним рiвнянням (1.118), тодi i тiльки тодi, коли

a11q1 + a12q2 = 0;
½ a21q1 + a22q2 = 0:	(1.127)

Доведення. Доведемо спочатку, що координати вектора ~q(q1; q2) асимптотичного напрямку вiдносно лiнi¨ ° параболiчного типу задовольняють систему (1.127). Оскiльки для лiнi¨

параболiчного типу ¢ = a11a22 ¡ a122 = 0, òî ïðè a22 6= 0 з умови (1.125) знаходимо вектор
~q(a22; ¡a12)	(îñêiëüêè	k =	¡a12	= 0	ç (1.126) ìà¹ìî	~q = ~e2	(0; 1)	. В обох випадках,
			a22 ). À ïðè a22

як неважко бачити, координати вектора ~q задовольняють систему (1.127).

Навпаки, нехай координати вектора ~q(q1; q2) задовольняють систему (1.127). Помноживши перше рiвняння на q1, а друге на q2 i додавши, отрима¹мо:

(a11q1 + a12q2)q1 + (a21q1 + a22q2)q2 = 0;

тобто a11q12+2a12q1q2+a22q22 = 0. Отже, координати вектора ~q(q1; q2) задовольняють (1.124)

4 Центр лiнi¨ другого порядку

Лема про середину хорди лiнi¨ другого порядку. Означення центру. Теорема про центр лiнi¨ другого порядку. Центральнi та нецентральнi лiнi¨ другого порядку.

Доведемо лему про середину хорди лiнi¨ другого порядку.

82

Ëåìà 1.7 (про середину хорди). Нехай дано вектор p~(p1; p2) неасимптотичного напрямку лiнi¨ другого порядку °, задано¨ загальним рiвнянням

°: a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a10x + 2a20y + a00 = 0:

(1.128)

Для того щоб точка M(x0; y0) була серединою деяко¨ хорди, паралельно¨ вектору p~, необхiдно i достатньо, щоб виконувалась рiвнiсть

F1(x0; y0)p1 + F2(x0; y0)p2 = 0:

(1.129)

Доведення. Запишемо параметричнi рiвняння прямо¨ l, яка проходить через точку M(x0; y0) i паралельна вектору p~(p1; p2): x = x0 + p1t, y = y0 + p2t. Нехай M1, M2 точки перетину

прямо¨ l ç ëiíi¹þ °, à t1, t2 параметри, що вiдповiдають цим точкам. Тодi, очевидно, ми

матимемо:

M1(x0 + p1t1; y0 + p2t1); M2(x0 + p1t2; y0 + p2t2):

Оскiльки точка M ¹ середина вiдрiзка M1M2, òî

x0 =

(x0 + p1t1) + (x0 + p1t2)

=

2x0 + p1(t1 + t2)

= x0 +

p1

(t1 + t2);

2

2

2

y0 =

(y0 + p2t1) + (y0 + p2t2)

=

2y0 + p2(t1 + t2)

= y0 +

p2

(t1 + t2);

2

2

2

звiдки отриму¹мо p1(t1 + t2) = 0 i p2(t1 + t2) = 0. Оскiльки вектор p~(p1; p2) ненульовий, то

одна з його координат вiдмiнна вiд нуля, а тому з отриманих рiвностей ма¹мо t1 + t2 = 0. Àëå t1, t2 ¹ коренi рiвняння (1.123), тобто P t2 + 2Qt + R = 0, äå Q = F1(x0; y0)p1 + F2(x0; y0)p2.

Îñêiëüêè P 6= 0, òîìó ùî p~ ¹ вектор неасимптотичного напрямку, то рiвняння (1.123) можна

звести до виду t2 + 2PQ t + PR = 0. За формулами Вi¹тта 2PQ = t1 + t2, òîìó 2PQ = 0, çâiäêè Q = 0, тобто викону¹ться умова(1.129).

Означення 1.38. Точка C назива¹ться центром лiнi¨ другого порядку, якщо вона ¹ центром симетрi¨ цi¹¨ лiнi¨.

Теорема 1.42. Для того щоб точка C(x0; y0) була центром лiнi¨ другого порядку, що задана рiвнянням (1.128), необхiдно i достатньо, щоб пара чисел x0, y0 була розв'язком системи

рiвнянь:

a11x + a12y + a10 = 0;		(	F1(x; y) = 0;
( a21x + a22y + a20 = 0;	тобто		F2(x; y) = 0:	(1.130)

Доведення. Нехай C(x0; y0) ¹ центр лiнi¨ другого порядку °. Проведемо через C двi хорди

неасимптотичного напрямку, якi паралельнi векторам p~(p1; p2) i ~q(q1; q2), äå p~ , ~q. За лемою про середину хорди ми ма¹мо:

					(	F1(x0; y0)p1 + F2(x0; y0)p2 = 0;
	¯			¯		F1(x0; y0)q1 + F2(x0; y0)q2 = 0:	(1.131)
Îñêiëüêè p~ , ~q, òî		q1	q2		6= 0, тому з (1.131) виплива¹, що F1(x0; y0) = 0 i F2(x0; y0) = 0,
	¯	p1	p2	¯
тобто ма¹ мiсце (1.130)¯ .				¯		точки C(x0; y0) задовольняють систему (1.130). Доведемо, що
Навпаки, нехай	¯координати¯

C центр лiнi¨ °. Викона¹мо паралельне перенесення початку координат в точку C(x0; y0) i

83

запишемо рiвняння лiнi¨ в новiй системi координат. Як вiдомо формули перетворення мають вид: x = X + x0, y = Y + y0, тому, пiдставивши x i y в рiвняння (1.128), ми отрима¹мо

рiвняння лiнi¨ ° в новiй системi координат:

a11X2 + 2a12XY + a22Y 2 + 2a100 X + 2a200 Y + a000 = 0;

(1.132)

äå a010 = F1(x0; y0), a020 = F2(x0; y0), a000 = F (x0; y0). Оскiльки координати точки C(x0; y0) задовольняють систему (1.130), то a010 = 0, a020 = 0, тому рiвняння (1.132) набува¹ виду:

a11X2 + 2a12XY + a22Y 2 + a000 = 0:

З цього рiвняння видно, що C центр симетрi¨ лiнi¨ °, тому що з кожною сво¹ю точкою M(x; y) 2 ° вона мiстить симетричну вiдносно C точку M0(¡x; ¡y) 2 °. Îòæå, C центр лiнi¨ °.

Íàñëiäîê 1.9. Для того щоб початок координат був центром лiнi¨, задано¨ рiвнянням (1.128), необхiдно i достатньо, що a10 = a20 = 0.

Розглянемо питання про iснування центрiв лiнi¨ другого порядку. Для цього необхiдно
дослiдити систему (1.130). Розглянемо матрицю цi¹¨ системи та розширену матрицю системи
µ a21	a22 ¶;	µ a21	a22	a20 ¶	(1.133)
a11	a12	a11	a12	a10

i позначимо ¨х ранги вiдповiдно через r i R. ßñíî, ùî r 6 R. Можливi такi випадки:

² r = R = 2. Система (1.130) ма¹ ¹диний розв'язок, а тому лiнiя ° ма¹ тiльки один центр. Такi лiнi¨ називаються центральними.

² r = R = 1. Система сумiсна, але ма¹ безлiч розв'язкiв. В цьому випадку лiнiя ° ма¹ пряму центрiв, рiвняння яко¨ зада¹ться одним з рiвнянь системи (1.130).

²r = 1, R = 2. Система (1.130) несумiсна, а тому нема¹ жодного розв'язку. Отже, лiнiя ° центру нема¹.

Лiнi¨, якi мають бiльше одного центра або зовсiм ¨х немають, називаються нецентральними¯ ¯ . З попереднiх мiркувань виплива¹, що лiнiя ¹ центральною, коли ¢ =

¯¯¯ aa1121 aa1222 ¯¯¯ =6 0. Таким чином, лiнi¨ елiптичного i гiперболiчного типiв ¹ центральними, а лiнi¨ параболiчного типу нецентральнi. Отже, елiпс i гiпербола мають один центр, а парабола, задана канонiчним рiвнянням y2 = 2px, нема¹ жодного центра, оскiльки ранги

матриць (1.133) вiдповiдно будуть такi: r = 1, R = 2.

5 Дотична до лiнi¨ другого порядку

Звичайнi та особливi точки лiнi¨ другого порядку. Означення дотично¨ до лiнi¨. Теорема про iснування дотично¨ до лiнi¨ другого порядку, рiвняння дотично¨. Рiвняння дотично¨ до елiпса, гiперболи та параболи, заданих канонiчними рiвняннями.

Означення 1.39. Якщо точка M0, яка належить лiнi¨ другого порядку °, ¹ центром

цi¹¨ лiнi¨, то вона назива¹ться особливою точкою, в iншому разi точка M0 назива¹ться звичайною.

84

Означення 1.40. Пряма, що проходить через звичайну точку M0 лiнi¨ другого порядку,

назива¹ться дотичною до цi¹¨ лiнi¨ в точцi M0, якщо вона перетина¹ лiнiю в двох спiвпавших точках або цiлком мiститься в цiй лiнi¨.

Теорема 1.43 (про дотичну). В кожнiй звичайнiй точцi лiнi¨ другого порядку iсну¹ одна i тiльки одна дотична. Якщо лiнiя ° задана загальним рiвнянням (1.128), то дотична в

òî÷öi M0(x0; y0) цi¹¨ лiнi¨ ма¹ рiвняння

(a11x0 + a12y0 + a10)x + (a21x0 + a22y0 + a20)y + (a01x0 + a02y0 + a00) = 0;

(1.134)

àáî

F1(x0; y0)x + F2(x0; y0)y + F0(x0; y0) = 0:

Доведення. Нехай пряма l, яка проходить через точку M0, задана параметричними

рiвняннями: x = x0 + p1t, y = y0 + p2t. Параметри точок перетину l ç ëiíi¹þ ° знаходяться з рiвняння (1.123), яке в даному випадку ма¹ вид:

P t2 + 2Qt = 0;

(1.135)

îñêiëüêè M0 2 °, à òîìó R = F (x0; y0) = 0.

Покажемо, що l дотична () Q = 0. Äiéñíî, ÿêùî l дотична, то рiвняння (1.135) ма¹ два спiвпавших кореня20, або нескiнченну множину коренiв21, òîìó Q = 0. Навпаки, якщо Q = 0, то рiвняння (1.135) ма¹ два спiвпавших кореня при P 6= 0 або нескiнченну множину коренiв при P = 0, тобто l ¹ дотична.

Ðiâíiñòü Q = 0 означа¹:

F1(x0; y0)p1 + F2(x0; y0)p2 = 0:

(1.136)

Îñêiëüêè M0(x0; y0) звичайна точка, тому вона не ¹ центром лiнi¨ °, а це означа¹, що F1(x0; y0) i F2(x0; y0) одночасно не дорiвнюють нулевi. Тому рiвнiсть (1.136) визнача¹ вектор

p~(p1; p2)		. За цей вектор ми можемо взяти вектор ~						. Îòæå, íàì âiäîìà
						t(F2	(x0; y0); ¡F1(x0; y0))
точка дотикання i напрямний вектор дотично¨ ~, тому рiвняння дотично¨ матиме вид:
			¯	y ¡ y0		t	¯ = 0;
					¡	F1(x0; y0)				(1.137)
			¯	¡			¯
			¯	x x0		F2(x0; y0)	¯
тобто	F1							. Оскiльки точка	M0	(x0; y0)
			(x0; y0)x + F2(x0; y0)y ¡ (¯F1(x0; y0)x0 + F2(x0; y¯0)y0) = 0

належить лiнi¨ °, òî F1(x0; y0)x0 + F2(x0; y0)y0 + F0(x0; y0) = 0, звiдки отриму¹мо рiвнiсть
F0	(x0	; y0) = ¡(F1(x0; y0)x0 + F2(x0; y0)y0). Отже, рiвняння дотично¨ ма¹ вид F1(x0; y0)x +
F2	(x0	; y0)y + F0(x0; y0) = 0, тобто (1.134).

Виведемо з (1.134) рiвняння дотично¨ для елiпса, гiперболи та параболи, якi заданi

канонiчними рiвняннями.

2

2

1. Дотична до елiпса

x

+

y

= 1 â òî÷öi (x0; y0). В даному випадку a11

=

1

, a22 =

1

,

2

2

a2

b2

a

b

x0x

y0y

a00 = ¡1, a12 = a10 = a20 = 0, тому рiвняння (1.134) набува¹ виду

+

= 1:

a2

b2

2. Дотична до гiперболи

x2

y2

1

1

¡

= 1 â òî÷öi (x0; y0). В даному випадку a11 =

, a22 = ¡

,

a2

b2

a2

b2

a00 = ¡1, a12 = a10 = a20 = 0, тому рiвняння (1.134) набува¹ виду

x0x

y0y

¡

= 1:

a2

b2

20Це буде в тому випадку коли P 6= 0 i дискримiнант рiвняння ± = 0, тобто ± = Q2 ¡ P R = Q2 = 0, тому звiдси отриму¹мо Q = 0.

21Це викону¹ться при умовi, коли P = 0, i òîìó ç (1.135) ìà¹ìî Q = 0.

85

задана лiнiя

(1.138)

3. Дотична до параболи y2 ¡ 2px = 0 â òî÷öi (x0; y0). В даному випадку a22 = 1, a10 = ¡p, a11 = a12 = a20 = a00 = 0, тому рiвняння (1.134) набува¹ виду y0y = p(x + x0).

6 Дiаметри лiнi¨ другого порядку. Спряженi напрямки

Теорема про множину середин хорд лiнi¨ другого порядку. Означення дiаметра. Властивостi дiаметрiв. Теорема про дiаметр центрально¨ лiнi¨. Спряженi напрямки та ¨х властивостi.

Теорема 1.44 (про середини хорд). Нехай в афiннiй системi координат O~e1~e2 ° рiвнянням

F (x; y) = a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a10x + 2a20y + a00 = 0;

тодi множина середин всiх хорд цi¹¨ лiнi¨, паралельних вектору p~(p1; p2) неасимптотичного напрямку, ¹ пряма, яка задана рiвнянням

(a11p1 + a12p2)x + (a21p1 + a22p2)y + a10p1 + a20p2 = 0:

(1.139)

Доведення. Нехай M(x; y) середина хорди, d множина всiх середин хорд напрямку p~,

тодi за лемою 1.7 про середину хорд (див. стор. 83) M(x; y) 2 d òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè

F1(x; y)p1 + F2(x; y)p2 = 0;

тобто

(a11x + a12y + a10)p1 + (a21x + a22y + a20)p2 = 0: (1.140)

Це i ¹ рiвняння множини середин всiх хорд, якi паралельнi вектору p~. Розкривши в (1.140) дужки i

звiвши подiбнi члени, ми отрима¹мо шукане рiвняння (1.139). Оскiльки p~ ¹ вектор неасимптотичного

напрямку, то, очевидно, a11p21 + 2a12p1p2 + a22p22 6= 0, (тобто P 6= 0), àëå

a11p21 + 2a12p1p2 + a22p22 = (a11p1 + a12p2)p1 + (a21p1 + a22p2)p2, òîìó (a11p1 + a12p2)p1 + (a21p1 + a22p2)p2 =6 0:

Îòæå, a11p1 + a12p2 i a21p1 + a22p2 (тобто коефiцi¹нти при x i y в (1.139)) одночасно не

дорiвнюють нулевi. Таким чином, (1.139) ¹ рiвняння першого степеня, тобто воно визнача¹ пряму лiнiю.

Пряма d назива¹ться дiаметром лiнi¨ 2-го порядку, який спряжений хордам, напрямок

яких визнача¹ться вектором p~. Îòæå, F1(x; y)p1 + F2(x; y)p2 = 0 ¹ рiвняння дiаметра, який спряжений хордам напрямку p~.

Властивостi дiаметрiв лiнi¨ другого порядку

1.Якщо лiнiя другого порядку ма¹ центри, то кожний центр належить довiльному дiаметру лiнi¨.

Дiйсно, нехай C(x0; y0) центр, а d дiаметр. Вiдомо, що координати центра задовольняють рiвняння (1.130), тобто a11x0 + a12y0 + a10 = 0 i a21x0 + a22y0 + a20 = 0.

Отже, координати центра задовольняють рiвняння (1.140), а значить i (1.139), тому

C 2 d.

86

Íàñëiäîê 1.10. Якщо лiнiя другого порядку ма¹ бiльше нiж один центр, то вона ма¹ лише один дiаметр.

2.Якщо дана центральна лiнiя другого порядку, то кожна пряма неасимптотичного напрямку, що проходить через ¨¨ центр, ¹ дiаметр цi¹¨ лiнi¨.

Зокрема, довiльна пряма, яка проходить через центр елiпса (або кола), буде його дiаметром.

3.Довiльний дiаметр нецентрально¨ лiнi¨ другого порядку ма¹ асимптотичний напрямок.

Дiйсно, нехай d довiльний дiаметр нецентрально¨ лiнi¨ другого порядку °, à (1.139)

¹ його рiвняння. За теоремою 1.15 (стор. 31) вектор ~q(¡a21p1 ¡ a22p2; a11p1 + a12p2) ¹ напрямний вектор прямо¨ d. За лемою 1.6 вектор ~q ма¹ асимптотичний напрямок, оскiльки його координати задовольняють систему (1.127).

Оскiльки нецентральна лiнiя ° ма¹ лише один асимптотичний напрямок, то з останньо¨

властивостi виплива¹, що напрямок ¨¨ дiаметра не залежить вiд напрямку тих хорд, якi вiн дiлить пополам, тобто довiльнi два дiаметра нецентрально¨ лiнi¨ паралельнi.

Теорема 1.45. Якщо дiаметр d1 центрально¨ лiнi¨ другого порядку ¹ множиною середин хорд, паралельних дiаметру d2, то дiаметр d2 ¹ множиною середин хорд, паралельних дiаметру d1.

Доведення. Нехай дiаметр d1 спряжений до вектора p~(p1; p2), тодi його рiвняння згiдно (1.139) буде таким: (a11p1 + a12p2)x + (a21p1 + a22p2)y + a10p1 + a20p2 = 0. Нехай далi дiаметр d2

визнача¹ться наступним рiвнянням:

(a11q1 + a12q2)x + (a21q1 + a22q2)y + a10q1 + a20q2 = 0;

äå ~q(q1; q2) вектор, до якого спряжений дiаметр d2. Îñêiëüêè p~ k d2, то, очевидно, викону¹ться рiвнiсть

(a11q1 + a12q2)p1 + (a21q1 + a22q2)p2 = 0;

пiсля перетворення яко¨ ми отриму¹мо

(a11p1 + a12p2)q1 + (a21p1 + a22p2)q2 = 0:

Остання рiвнiсть означа¹, що вектор ~q паралельний дiаметру d1. Таким чином, дiаметр d2 ¹ множиною середин хорд, паралельних дiаметру d1.

Означення 1.41. Напрямок ненульового вектора p~(p1; p2) назива¹ться спряженим з напрямком ненульового вектора ~q(q1; q2) вiдносно лiнi¨ другого порядку °, якщо викону¹ться

ðiâíiñòü	a11p1q1	+ a12p1q2 + a21p2q1 + a22p2q2	= 0:	(1.141)

Вiдмiтимо без доведення деякi властивостi спряжених напрямкiв:

²Спряженi дiаметри мають спряженi напрямки.

²Асимптотичний напрямок ¹ самоспряженим.

²	ßêùî	~ вектор неасимптотичного напрямку, то iсну¹ ¹диний вектор					~	, ÿêèé
		p~ 6= 0					~q 6= 0
	спряжений з ним.			ма¹ асимптотичний напрямок, то при		всi спряженi вектори
²	Якщо вектор		~		¢ 6= 0
			p~ 6= 0

паралельнi p~, à ïðè ¢ = 0 довiльний вектор ~q спряжений p~.

87

7 Головнi напрямки i головнi дiаметри лiнi¨ другого порядку

Означення головного напрямку. Теорема про iснування головних напрямкiв лiнi¨ другого порядку. Означення головного дiаметра. Теорема про число головних дiаметрiв лiнi¨ другого порядку.

Означення 1.42. Напрямок назива¹ться головним вiдносно дано¨ лiнi¨ другого порядку, якщо вiн спряжений з перпендикулярним до нього напрямком.

~~

Нехай в прямокутнiй системi координат Oi j задана лiнiя другого порядку ° загальним

рiвнянням	°: a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a10x + 2a20y + a00	= 0:

За означенням 1.42 ненульовий вектор p~(p1; p2) ¹ вектор головного напрямку вiдносно лiнi¨ °, якщо вектори p~(p1; p2) i ~q(¡p2; p1) спряженi.22 Отже, виходячи з рiвностi (1.141) ма¹мо:

(a22 ¡ a11)p1p2 + a12(p12 ¡ p22) = 0:

(1.142)

Отримана формула дозволя¹ знаходити головнi напрямки лiнi¨ другого порядку.

Теорема 1.46. Вiдносно довiльно¨ лiнi¨ ° другого порядку, яка вiдмiнна вiд кола, iсну¹ два i тiльки два головних напрямки. Вiдносно кола довiльний напрямок ¹ головним.

Доведення. Нехай ненульовий вектор p~(p1; p2) ¹ вектор головного напрямку лiнi¨ другого порядку °. Розглянемо такi два випадки:

1) Нехай лiнiя ° не ¹ коло, тодi знаючи загальне рiвняння кола23, робимо висновок, що або a12 6= 0, àáî a12 = 0, àëå a11 6= a22, тобто a22 ¡ a11 6= 0. Отже, нехай:

à) a12 6= 0, тодi з формули (1.142) ми матимемо, що p1								6= 0, iнакше ми отримали бp2ç
(1.142), ùî p2 = 0 i вектор p~ виявився би нульовим, що неможливо. Покладемо k = p1 ,
тодi (1.142) набува¹ виду:
a12k2 + (a11 ¡ a22)k ¡ a12 = 0:										(1.143)
Неважко бачити, що рiвняння (1.143) ма¹ два коренi, а саме:
								+ 4a2
	a22		a		(a22		a11)2
k1;2 =		¡		11 § p2a12		¡		12	;

причому легко перевiрити, що k1k2 = ¡1. Останн¹ означа¹, що головнi напрямки, якi вiдповiдають значенням k1 i k2 вза¹мно перпендикулярнi.

á) a12 = 0 i a22 ¡ a11 6= 0, тодi рiвняння (1.142) буде мати вид (a22 ¡ a11)p1p2 = 0, çâiäêè

виплива¹, що p1p2 = 0. Таким чином, або p1 = 0 i p2 6= 0, àáî p1 6= 0 i p2 = 0, тобто iсну¹ два головних напрямки, якi визначають напрямки координатних осей.

2) Нехай тепер ° ¹ êîëî, òîäi a12 = 0 i a22 ¡ a11 = 0. Тому рiвнянню (1.142) задовольня¹ довiльний напрямок. Це означа¹, що для кола довiльний напрямок головний.

Означення 1.43. Дiаметр лiнi¨ другого порядку назива¹ться головним, якщо вiн перпендикулярний спряженим хордаì.

22Неважко бачити, що данi вектори вза¹мно перпендикулярнi, оскiльки ¨х скалярний добуток дорiвню¹ нулевi. 2 2

23Загальне рiвняння кола ма¹ вид: x + y + Ax + By + C = 0.

88

Отже, головний дiаметр ¹ вiссю симетрi¨ лiнi¨ другого порядку. З теореми 1.46 виплива¹ очевидним чином наступна теорема.

Теорема 1.47. Центральна лiнiя другого порядку, яка вiдмiнна вiд кола, ма¹ два i тiльки два головних дiаметра; для кола довiльний дiаметр ¹ головним. Нецентральна лiнiя другого порядку ма¹ лише один головний дiаметр.

8 Класифiкацiя лiнiй другого порядку

Iдея класифiкацi¨ лiнiй другого порядку. Класифiкацiя центральних лiнiй другого порядку. Класифiкацiя нецентральних лiнiй другого порядку. Таблиця типiв лiнiй другого порядку.

Iдея класифiкацi¨ лiнiй другого порядку поляга¹ в тому, щоб шляхом певного вибору
ново¨ прямокутно¨ системи координат спростити лiнi¨, а далi за цим рiвнянням встановити,
до якого класу належить лiнiя.	~~ задана лiнiя		другого порядку:
Нехай в прямокутнiй системi координат		°
	Oi j
°: a11x2 + 2a12xy + a22y2 + 2a10x + 2a20y + a00 = 0:				(1.144)

так, щоб вектор ~ 0 ново¨ системи Розглянемо поворот системи координат навколо точки O j

~ 0~ 0 мав головний, але не асимптотичний напрямок. Тодi ~ 0 також буде мати координат Oi j i

~ 0~ 0

головний напрямок. В системi координат Oi j ëiíiÿ ° буде мати рiвняння:

a011x02 + 2a012x0y0 + a022y02 + 2a010x0 + 2a020y + a00 = 0:

Оскiльки вектор ~ 0

j (0; 1) ма¹ головний напрямок, то його координати задовольняють рiвняння

(1.142), тобто (a0	¡	a0	)01 + a0 (0		¡	1) = 0, звiдки виплива¹, що a0		= 0. Вектор ~j 0 íåìà¹
22		11		12			12
асимптотичного напрямку, тому a0					= 0.24 Таким чином, отримане рiвняння запишеться так:
				22 6
			a0	x02 + a0		y02 + 2a0	x0 + 2a0 y + a00 = 0:	(1.145)
			11		22	10	20

а) Класифiкацiя центральних лiнiй другого порядку.

Нехай O 0 центр лiнi¨ °. Розглянемо паралельне перенесення початку координат в O 0. В новiй системi координат, як вiдомо, коефiцi¹нти при x0; y0 будуть дорiвнювати нулевi, тому

рiвняння (1.145) набува¹ виду

a110 x02 + a220 y02 + a000 = 0:

(1.146)

Можливi два випадки:

1. a0

= 0, тодi (1.146) можна записати так:

x2

+

y2

= 1; äå A =

a0

B =

a0

00

00

A

B

¡a110

¡a220 . ßêùî

00

6

,

A > 0, B > 0, òî ° ¹ åëiïñ; ïðè A > 0, B < 0 ма¹мо гiперболу, а при A < 0, B < 0

уявний елiпс (лiнiя нема¹ жодно¨ дiйсно¨ точки).

2. a0

= 0, тодi (1.146) запишеться як

x2

+

y2

= 0; äå A > 0. В цьому випадку при

00

A

B

B < 0 ма¹мо пару прямих, що перетинаються, а при B > 0 пару уявних прямих, що

перетинаються.

0 + 2a0

01 + a0

1 = 0.

24Це виплива¹ iз заперечення умови (1.124), тобто a0

11

12

22

6

89

б) Класифiкацiя нецентральних лiнiй другого порядку, якi мають центри.

Розглянемо паралельне перенесення початку координат в один з центрiв O 0 ëiíi¨ °. Â

даному випадку вектор ~ 0 0

i (1; 0) ма¹ асимптотичний напрямок, тому a11 = 0. Тодi рiвняння (1.146) набува¹ виду y2 + C = 0, äå C = a0000 C < 0, то дане рiвняння визнача¹ пару

a22 . ßêùî

паралельних прямих; при C > 0 пару паралельних уявних прямих, а при C = 0 пару спiвпавших прямих.

в) Класифiкацiя нецентральних лiнiй другого порядку, якi не мають центрiв.

Розглянемо перенесення початку координат в точку O 0, яка лежить на головному дiаметрi

0~ 0

ëiíi¨ °. В цьому випадку лiнiя ° ма¹ лише один головний дiаметр, який спiвпада¹ з вiссю O i

i спряжений з хордами, що паралельнi вектору ~ 0. Îñêiëüêè~ 0 ма¹ асимптотичний напрямок,

j i

òî a0

= 0. Вiсь абсцис O 0x0

¹ головний дiаметр, тому a0

= 0 (àäæå a0

¡

a0

= 0) i a0

= 0.25

11

22

6

22

11

6

20

Рiвняння (1.145) при цьому набува¹ виду:

°: a220 y02 + 2a100 x0 + a000 = 0:

(1.147)

Ëiíiÿ ° перетина¹ вiсь абсцис в точцi M(¡

a000

; 0). Перенесемо в не¨ початок координат, тодi

2a100

рiвняння (1.147) перепишеться так: a0 y2 + 2a0 x = 0 àáî y2

= 2px, äå p =

a0

10

¡a220

випадку лiнiя ° ¹ парабола.

22

10

. В цьому

Отже, iснують дев'ять типiв лiнiй другого порядку:

2

2

1.

Åëiïñ

x

+

y

= 1

2

2

a

b

2.

Гiпербола

x2

y2

¡

= 1

a2

b2

3.

Парабола

y2 = 2px

4.

Уявний елiпс

x2

y2

= ¡1

+

a2

b2

5.

Пара прямих, що перетинаються

x2

y2

¡

= 0

a2

b2

2

2

6.

Пара уявних прямих, що перетинаються

x

+

y

= 0

2

2

a

b

7.

Пара паралельних прямих

y2 ¡ a2 = 0

8.

Пара уявних паралельних прямих

y2 + a2 = 0

9.

Пара спiвпавших прямих

y2 = 0

9 Зведення рiвняння лiнi¨ другого порядку до канонiчного виду

Характеристичне рiвняння лiнi¨ другого порядку. Знаходження одинич- них векторiв головних напрямкiв. Формули для обчислення коефiцi¹нтiв лiнi¨ другого порядку в новiй системi координат. План зведення загального рiвняння до канонiчного виду. Приклад побудови графiка лiнi¨ другого порядку за загальним рiвнянням.

25Дiйсно, оскiльки вiсь абсцис ¹ головний дiаметр, який спряжений до вектора ~ 0

j (0; 1), то згiдно формули

(1.140) його рiвнянням буде a220 y0 +a200	= 0, тобто y0	+	a0	= 0. Але рiвнянням осi абсцис ¹ y0 = 0, òîìó a200 = 0.
			20
			a0
		22

90