Prak_Geom1

лемою 1.4 рух f ¹ або тотожне перетворення, або осьова симетрiя. Ясно, що f1 ±f1 тотожне перетворення, тому з формули (1.78) ма¹мо f1 ± f = f1 ± (f1 ± g) = (f1 ± f1) ± g = g. Îòæå,

f1 ± f = g:

(1.79)

Таким чином, g або осьова симетрiя (коли f = ¢), або добуток двох осьових симетрiй.

2) Точки O i O 0 не спiвпадають, тобто O = O 0	. Нехай p серединний перпендикуляр до
6		OO 0	. Розглянемо рух, який
âiäðiçêà

визнача¹ться формулою (1.78), де f1

вiдображення вiд прямо¨ p. Нехай h1 = f1(h0), тодi ми матимемо

f(h) = f1 ± g(h) = f1(g(h)) = f1(h0) = h1:

Îòæå, f(h) = h1. Променi h i h1 мають спiльний початок O, тому за доведеним випадком 1)

ðóõ f ¹ або осьова симетрiя, або добуток двох

осьових симетрiй. Таким чином, з рiвностi (1.79) виплива¹, що рух g ¹ або осьова симетрiя, або

добуток не бiльше трьох осьових симетрiй. ¤

Позначимо через D множину всiх рухiв площини. Можна довести, що добуток двох рухiв ¹ знову рух. Дiйсно, нехай g i f рухи. Оскiльки вони ¹ перетвореннями площини, то f ± g також ¹ перетворенням площини. Але кожний з рухiв g i f зберiга¹ вiдстань, тому i f ± g також зберiга¹ вiдстань. Отже, f ± g рух. Таким чином, якщо f 2 G i g 2 G, òî f ± g 2 G. Äàëi, ÿêùî g 2 G, òî g¡1 2 G. Таким чином (див. стор. 39), множина D ¹ групою перетворень,

i ми ¨¨ назива¹мо групою рухiв площини.

Довiльний рух першого роду зберiга¹ орi¹нтацiю площини. Звiдси робимо висновок, що коли g i f рухи першого роду, то i f ± g рух першого роду. З iншого боку, якщо g i f

рухи другого роду, то кожний з них змiню¹ орi¹нтацiю площини, а тому f ± g рух першого роду. Вiдмiтимо, нарештi, що коли f рух першого роду, а g рух другого роду, то g ± f

рух другого роду.

Нехай F деяка фiгура, Тi властивостi фiгури F , якi зберiгаються при всiх рухах,

називаються iнварiантними властивостями цi¹¨ фiгури, вiдносно групи D. Наприклад,

вiдстань мiж точками, або властивостi бути вiдрiзком, променем прямо¨ приклади iнварiантних властивостей фiгури вiдносно групи рухiв D.

Розглянемо найважливiшi пiдгрупи групи D i вкажемо деякi iнварiанти цих пiдгруп, якi не ¹ iнварiантами групи D.

1) Позначимо через D1 множину всiх рухiв першого роду. Довiльний рух першого роду зберiга¹ орi¹нтацiю площини, тому, коли g; f 2 D1, òî f ± g 2 D1 i також g¡1 2 D1. Îòæå,

D1 пiдгрупа групи D. Вона назива¹ться групою рухiв першого роду. Очевидно орi¹нтацiя репера iнварiант групи D1.

2)Нехай D1(M0) множина рухiв першого роду, для яких M0 нерухома точка. Очевидно, D1(M0) ½ D1. Очевидно, що D1(M0) пiдгрупа групи D1. Ця група склада¹ться зi всiх обертань навколо точки M0. Вона назива¹ться групою обертань площини навколо точки M0. Iнварiантом цi¹¨ групи ¹ вiдстань довiльно¨ точки M до центра повороту M0.

3)Розглянемо множину T , яка мiстить всi паралельнi перенесення площини. Очевидно,

T ½ D1. Неважко бачити, що коли f i g ¹ паралельнi перенесення вiдповiдно з векторами p~ i ~q, òî g ±f паралельне перенесення на вектор p~ + ~q. Звiдси виплива¹, що T ¹ пiдгрупа групи

D1; вона назива¹ться групою перенесень площини. Iнварiантом цi¹¨ групи ¹ напрямок.

51

Означення 1.23. Äâi ôiãóðè F i F 0 називаються рiвними, якщо вони D-еквiвалентнi (див. стор. 40), тобто якщо iсну¹ такий рух g 2 D, ùî F 0 = g(F ), при цьому пишуть F = F 0.

Îñêiëüêè D-еквiвалентнiсть фiгур ¹ вiдношення еквiвалентностi на множинi всiх фiгур площини, то справедливi такi властивостi рiвностi:

1±: F = F äëÿ äîâiëüíî¨ ôiãóðè F (рефлексивнiсть рiвностi).

2±: F1 = F2 =) F2 = F1 (симетричнiсть рiвностi).

3±: F1 = F2 ^ F2 = F3 =) F1 = F3 (транзитивнiсть рiвностi).

Для того, щоб встановити рiвнiсть двох фiгур, не обов'язково доводити iснування руху, який одну фiгуру переводить в другу. В деяких випадках вда¹ться встановити рiвнiсть фiгур, порiвнюючи деякi ¨х елементи. Розглянемо, наприклад, рiвнiсть трикутникiв.

Теорема 1.27. Äëÿ òîãî ùîá 4ABC = 4A0B 0C 0		необхiдно i достатньо, щоб виконувались
рiвностi 18:	\A = \A0; \B = \B	0;	\C = \C 0;
	AB = A0B 0; AC = A 0C 0;		BC = B 0C 0:	(1.80)

Доведення. Необхiднiсть очевидна, тому 0доведемо0 0. лише достатнiсть. Нехай виконуються рiвностi (1.80), доведемо що 4ABC = 4A B C

Розглянемо два ортонормованих репера (A; E1; E2) i (A0; E 01; E 02), розташованих так, як

, [

показано на рисунку. Якщо AB = c, AC = b BAC = ®, то вершини трикутника ABC

в реперi (A; E1; E2) мають координати A(0; 0), B(c; 0), C(b cos ®; b sin ®). З рiвностей (1.80)

робимо висновок, що вершини трикутника A0B 0C 0 в реперi (A0; E 01; E 02) мають координати A0(0; 0), B 0(c; 0), C 0(b cos ®; b sin ®). За основною теоремою 1.22 iсну¹ рух g, який переводить

репер (A; E1; E2) в репер (A0; E 01; E 02) i при цьому точки A; B; C переходять вiдповiдно в точки A0; B 0; C 0, а це означа¹, що 4ABC = 4A0B 0C 0.

18 Запис 4ABC = 4A0B 0C 0 означа¹, що iсну¹ рух, при якому A 7!A0, B 7!B 0, C 7!C 0.

52

група, яка ¹ пiдгрупою

i g¡1

6 Група симетрiй геометрично¨ фiгури

Означення симетрi¨ геометрично¨ фiгури. Приклади симетрiй. Симетрi¨ обмежено¨ фiгури. Елементи симетрi¨.

Нехай DF множина всiх рухiв площини, якi переводять фiгуру F в себе. Очевидно, якщо f 2 DF , g 2 DF , òî g ± f 2 DF 2 DF . Îòæå, DF

групи D рухiв площини. Якщо група DF мiстить елементи, вiдмiннi вiд одиницi групи, тобто тотожного перетворення, то вона назива¹ться групою симетрiй фiгури F , а ¨¨ елементи

симетрiями цi¹¨ фiгури. Якщо ж DF склада¹ться лише з одного тотожного перетворення, то говорять, що фiгура F не ма¹ симетрiй.

Група DF може мати нескiнченну

множину елементiв i може мiстити скiнченне число елементiв. Якщо, наприклад, F коло з центром O, òî

група DF ¹ нескiнченною множиною:

вона мiстить довiльне обертання з центром O i довiльне вiдображення

вiд прямо¨, що проходить через точку O. Àëå ÿêùî F рiвнобедрений, але

не рiвностороннiй трикут-

ник, то група DF склада¹ться тiльки з двох елементiв тотожного перетворення та

вiдображення вiд прямо¨, яка мiстить висоту трикутника, проведену до основи. Вiдмiтимо, до речi, що рiзностороннiй трикутник не ма¹ симетрiй.

Пряма назива¹ться вiссю симетрi¨ фiгури F , ÿêùî f 2 DF , äå f

вiдображення вiд прямо¨ d; точка

O назива¹ться центром симетрi¨

фiгури, якщо вiдображення вiд точки O належить групi DF .

Паралелограм, вiдмiнний вiд прямокутника або ромба, ма¹ один центр симетрi¨ центр паралелограма i нема¹ осей симетрi¨ (рис. а). Прямокутник (або ромб), вiдмiнний вiд квадрата, ма¹ один центр i двi вiсi симетрi¨ (прямi d1 i

d2 на рисунках б i в), але квадрат

ма¹ чотири вiсi симетрi¨ (прямi

d1; d2; AC; BD íà ðèñ. ã).

Iснують фiгури, якi мають нескiнченну множину центрiв та осей симетрi¨. Нехай, наприк-

53

¹ центром

ëàä, F смуга мiж паралельними прямими d1 i d2, à d0 пряма, паралельна d1 i d2 i знаходиться на вiд них на однаковiй вiдстанi. Тодi довiльна точка прямо¨ d0

симетрi¨ фiгури F , а довiльна пряма, перпендикулярна d0, а також пряма d0 вiссю симетрi¨ öi¹¨ ôiãóðè.

Фiгура назива¹ться обмеженою, якщо iсну¹ таке число m, що вiдстань мiж довiльними точками фiгури меньше m. ßêùî F обмежена фiгура, завжди знайдеться такий круг, що всi точки фiгури F належать цьому кругу. Прикладами обмежених фiгур ¹ многокутник,

коло. Розглянемо деякi властивостi групи DF , ÿêùî F обмежена фiгура.

1±: Група DF

обмежено¨ фiгури не мiстить паралельних перенесень не ненульовi век-

тори i ковзних симетрiй.

~.

Припустимо навпаки, що

g 2 DF

, äå

g

паралельне перенесення на вектор

p~

0

6= 0

Òîäi, ÿêùî M

F , òî M1

¡¡¡¡!

= p~. Аналогiчно можна показати, що точки

2

2

F , äå M0M1

¡¡¡¡!

¡¡¡¡!

¡¡¡¡¡!

1

2

k

, якi визначаються рiвностями

M

; M

; : : : ; M

M1M2

= M2M3

= : : : = Mk

¡

1Mk = p~, належать

0

k

¡¡¡¡!

ôiãóði F . Отже, для довiльного k точки M

i M

належать фiгурi. Але M0Mk = k~p, ùî

неможливо, оскiльки F обмежена фiгура. Таким чином, g 62DF .

Тепер доведемо, що DF не мiстить ковзних симетрiй. Нехай, наприклад, f 2 DF , äå f ковзна симетрiя. Тодi f ± f 2 DF , що неможливо, оскiльки f ± f паралельне перенесення

на ненульовий вектор.

2±: Обмежена фiгура ма¹ не бiльш нiж один центр симетрi¨.

Припустимо протилежне, тобто що обмежена фiгура DF ма¹ бiльше нiж один центр

симетрi¨. Розглянемо вiдображення f1 i f2 вiд двох з цих центрiв. Оскiльки f1; f2 2 DF , òî f2 ± f1 2 DF . Але це протирiччить властивостi 1±, òîìó ùî f2 ± f1 паралельне перенесення

на ненульовий вектор, в чому неважко переконатись.

3±: Якщо обмежена фiгура ма¹ центр симетрi¨ M0, всi ¨¨ вiсi симетрi¨ фiгури, якщо вони iснують, проходять через точку M0.

Припустимо протилежне, тобто що якась вiсь симетрi¨ d ôiãóðè F не проходить через

точку M0. Розглянемо вiдображення g вiд точки M0 i вiдображеннi f вiд прямо¨ d. Îñêiëüêè

g; f 2 DF , òî f ± g 2 DF . Але це неможливо, тому що f ± g ковзна симетрiя.

4±: Якщо обмежена фiгура ма¹ бiльше нiж одну вiсь симетрi¨, то всi цi вiсi

перетинаються в однiй точцi.

Виплива¹ з властивостi 3±:

Точка M0 назива¹ться центром обертання порядку n (n натуральне число бiльше

одиницi) фiгури F , якщо поворот площини навколо точки M0 íà êóò ®0 = 2n¼ належить групi DF . Якщо фiгура ма¹ центр симетрi¨ M0, то говорять, що M0 центр обертання другого

порядку фiгури F .

54

Îòæå, h ïîäiáíiñòü ç êîåôiöi¹íòîì

Нехай F правильний n-кутник, M0			його центр, а v поворот площини навколо
точки M0 íà êóò ®0 = 2¼				Wn =	f	v; v2; : : : ; vn¡1; vn = ¢	g	, äå v2	= v	±	v,
						.
	n . Розглянемо множину

v3	= v ± v ± v i т. д. Ця множина склада¹ться з поворотiв v; v2	; : : : ; vn¡1	Неважко бачити, що

добуток довiльних рухiв цi¹¨ множини ¹ рух цi¹¨ ж множини. Далi, оскiльки vk ± vn¡k = ¢, òî ç g 2 Wn виплива¹ g¡1 2 Wn. Таким чином, Wn група (пiдгрупа групи DF ). Âîíà назива¹ться групою поворотiв правильного n-кутника.

Центр симетрi¨, вiсь симетрi¨, центр обертання порядку n ôiãóðè F називаються елементами симетрi¨ цi¹¨ фiгури. Наприклад, правильний трикутник ABC з центром O ма¹ три вiсi симетрi¨ OA, OB i OC, а також центр обертання O третього порядку. Коло ж ма¹ центр симетрi¨ O i нескiнченну множину осей симетрi¨. Довiльна пряма, яка проходить через точку O, ¹ вiссю симетрi¨ кола. Крiм того, точка O також ¹ центром обертання n-го порядку, де n довiльне натуральне число, яке бiльше одиницi.

7 Перетворення подiбностi

Означення подiбностi площини. Означення гомотетi¨ та доведення того, що вона ¹ подiбнiстю. Властивостi гомотетi¨. Подiбнiсть як композицiя гомотетi¨ та руху. Властивостi подiбностi. Аналiтичне задання подiбностi. Група подiбностей та ¨¨ пiдгрупи. Подiбнiсть фiгур. Теорема про подiбнiсть трикутникiв.

Означення 1.24. Перетворення площини назива¹ться перетворенням подiбностi (або просто подiбнiстю), якщо iсну¹ таке число k > 0, що для довiльних двох точок A i B

та ¨х образiв A0; B 0 справедлива рiвнiсть

A0B 0 = k ¢ AB

(1.81)

(k назива¹ться коефiцi¹нтом подiбностi).

Неважко бачити, що при k = 1 подiбнiсть ¹ рухом. Нехай тепер M0 довiльна точка площини, k =6 0 дiйсне число.

Означення 1.25. Перетворення f площини назива¹ться гомотетi¹ю з центром в точцi

якщо кожнiй точцi площини

воно ставить у вiдповiднiсть

M0 i êîåôiöi¹íòîì k 6= 0,, ùî

M

таку точку площини M0

M M0

k M

M:

(1.82)

¡¡¡! =

0

0

¢ ¡¡¡!

Теорема 1.28. Гомотетiя з коефiцi¹нтом m ¹ ïîäiáíiñòü ç êîåôiöi¹íòîì k = jmj.

Доведення. Нехай

h

¹ гомотетiя з центром в точцi

M0

i êîåôiöi¹íòîì

m 6= 0

. Вiзьмемо довiльнi

двi точки M

i M

h

M0

i

M

h

1

. Нехай M

1

M0, òîäi çãiäíî (1.82) ìà¹ìî

2

7!

1

2 7!

2

M M0

=

m M

M

; M M0

m M

M

;

¡¡¡¡!

¢

0

1

¡¡¡¡0 ! =

0

2

0

1

¡¡¡¡!

2

¢ ¡¡¡¡!

M0M0

M0M

+

M M

0

=

mM

M

0

+

M

M

2

=

m

M

M

0

+

M

M

2) =

mM

M

, çâiäêè

òîìó

¡¡¡¡! =

¡¡¡¡!0

¡¡¡¡0 !

1

0

(

1

0

1

2

1 2

1

2

¡¡¡¡!

¡¡¡¡!

¡¡¡¡!

¡¡¡¡!

¡¡¡¡!

M0

M0

=

mM

M

:

(1.83)

¡¡¡¡!

1

2

1

2

¡¡¡¡!

З рiвностi (1.83) виплива¹, що

0

0

=

M0M0

=

mM

M

2

=

m M

M

2

=

m M

M

:

M

M

j

¡¡¡¡!

j

1

j

1

j

j

1

2

1

2

1

2j

¡¡¡¡!j

jj¡¡¡¡!j

k = jmj.

55

Âiäìiòèìî, ùî ïðè m = 1 гомотетiя ¹ тотожним перетворенням, а при m = ¡1 ¹ öåíò-

ральною симетрi¹ю. В загальному випадку гомотетiя ¹ перетворення, яке вiдмiнне вiд руху. Нехай (O; E1; E2) ортонормований репер, де O центр гомотетi¨ з коефiцi¹нтом m =6 0,

M(x; y) точка площини, M0(x0y0) ¨¨ образ при данiй гомотетi¨, тодi за означенням 1.25

ìà¹ìî:	x0 = mx; y0 = my:	(1.84)

Формули (1.84) називаються формулами гомотетi¨ в ортонормованому реперi з центром в початку координат. Розглянемо деякi властивостi гомотетi¨:

1±: Гомотетiя з коефiцi¹нтом m =6 1 переводить пряму, що не проходить через

центр гомотетi¨, в паралельну до не¨ пряму, а пряму, яка проходить через центр гомотетi¨, в себе.

Нехай дана пряма l: Ax + By + C = 0 загальним рiвнянням в ортонормованому реперi

(O; E1; E2), äå O центр гомотетi¨. Знайдемо рiвняння образу l 0

при гомотетi¨ для

дано¨ прямо¨. З формул (1.84) ма¹мо x = mx0

, y = my0

, òîìó l 0: Amx0

+ B my0

= 0, çâiäêè

l 0: Ax0

+ By0

+ mC = 0. Îòæå, ÿêùî C = 0, òî l

k

l 0; ÿêùî æ C = 0, òî l = l 0.

6

2±: Гомотетiя зберiга¹ просте вiдношення трьох точок.

Нехай A; B; C три точки прямо¨, A0; B 0; C0

¨х образи при гомотетi¨, ¹ = (AB; C)

0

= (A

B

; C

)

AC = ¹ CB

¡¡! =

0

¡¡¡!

i ¹

0

0

0

, тобто згiдно (1.20) ма¹мо

¡!

¡¡!

, A0C0

C0B 0. За формулою

=

¹

(1.83) справедливi рiвностi ¡¡! =

¡! ¡¡!

¡¡!

¡!

=

0

(

¡¡!)

A0C0

mAC i C0B0

mCB, äå m коефiцi¹нт гомотетi¨.

¡! =

0¡¡!

¡!

=

¡¡!

¡¡! =

Îòæå, mAC

¹

mCB

, звiдки виплива¹ AC

¹ CB. Àëå AC

¹CB, òîìó ¹CB

¹0¡¡!

=

0

.

CB, çâiäêè ¹

¹

3±: Гомотетiя переводить кут в рiвний йому кут.

Нехай BAC даний кут, а B0; A0; C0 образи точок B; A; C. За формулою (1.83) ма¹мо

¡¡0!0 ¡! ¡¡0!0 ¡! 0 0 0

A B = mAB, A C = mAC. Звiдси виплива¹ \B A C = \BAC.

4±: Гомотетiя зберiга¹ орi¹нтацiю площини.

Нехай (A; B; C)

довiльний репер,

(A0; B0; C0)

éîãî

образ

ïðè

гомотетi¨

ç

¡¡!

=

¡!

¡¡!

=

¡!

êîåôiöi¹íòîì m. Оскiльки справедливi рiвностi

A0B0

mAB i

A0C0

mAC,

òî

(

)

(¡¡! ¡¡!)

визначник матрицi переходу вiд базиса

¡! ¡!

до базиса

A0B0; A0C0 буде такий:

AB; AC

(¡! ¡!)j(¡¡! ¡¡!) =

¯

0 m

¯

=

0

¯

m

0

¯

AB; AC

A0B0; A0C0

¯

¯

m2

> :

Отже, базиси

(AB; AC)

i

A0B0

; A0C0

орi¹нтованi¯

однаково.¯

(¡¡! ¡¡!)

¡! ¡!

Âiäìiòèìî, ïåðø çà âñå, ùî êîëè f1 i f2 ¹ подiбностi вiдповiдно з коефiцi¹нтами k1 i k2, òî

композицiя f1 ±f2 ïîäiáíiñòü ç êîåôiöi¹íòîì k1k2. Äiéñíî, f2 ±f1 ¹ перетворенням площини. Доведемо, що для довiльних двох точок A i B та ¨х образiв A0 = f2 ± f1(A), B0 = f2 ± f1(B) викону¹ться рiвнiсть A0B0 = k2k1AB. ßêùî A 7!f1 A1, B 7!f1 B1, òî A0 7!f2 A1, B0 7!f2 B1. Çà означенням подiбностi A1B1 = k1AB, A0B0 = k2A1B1, òîìó A0B0 = k2k1AB.

Теорема 1.29. Нехай f перетворення подiбностi з коефiцi¹нтом k, à h гомотетiя з

òèì æå êîåôiöi¹íòîì k i з центром в довiльнiй точцi M0. Òîäi iñíó¹ îäèí i òiëüêè îäèí ðóõ g такий, що f = g ± h.

56

Доведення. Згiдно теореми 1.28 гомотетiя h ¹ ïîäiáíiñòü ç òèì æå êîåôiöi¹íòîì k, îñêiëüêè

k > 0, а тому обернене перетворення h¡1	ïîäiáíiñòü ç êîåôiöi¹íòîì 1
			k . Отже, композицiя
g = f ± h¡1 ¹ ïîäiáíiñòü ç êîåôiöi¹íòîì k ¢ k1 = 1, тобто g рух. Помноживши далi рiвнiсть
g = f ± h¡1 íà h справа, будемо мати g ± h = (f ± h¡1) ± h = f ± (h¡1 ± h) = f ± ¢ = f. Таким
чином, ми показали, що подiбнiсть f ¹ композицiя гомотетi¨ h i ðóõó g.
Покажемо, що це ¹диний рух, який задовольня¹ умову		f = g ± h	. Припустимо, що
				,g1àëå
деякий рух, що задовольня¹ дану рiвнiсть, тобто f = g1 ± h. Çâiäñè ìà¹ìî g1 = f ± h¡1

g = f ± h¡1, òîìó g = g1.

Використовуючи теорему 1.29, а також властивостi руху i гомотетi¨, ми можемо зробити такi висновки: перетворення подiбностi переводить пряму у пряму; паралельнi прямi у паралельнi прямi; зберiга¹ просте вiдношення трьох точок; напiвплощину переводить у напiвплощину; вiдрiзок у вiдрiзок; промiнь у промiнь; кут в рiвний йому кут; перпендикулярнi прямi у перпендикулярнi прямi. Крiм того, оскiльки гомотетiя не змiню¹ орi¹нтацiю площини, а рух може ¨¨ змiнювати, то, очевидно, подiбнiсть теж може зберiгати, або змiнювати орi¹нтацiю площини, тобто ¹ два роди подiбностей: першого роду, якi зберiгають орi¹нтацiю, i другого роду, якi змiнюють орi¹нтацiю площини на протилежну.

Аналiтичне задання подiбностi на площинi. Нехай f ïîäiáíiñòü ç êîåôiöi¹íòîì k,

~~ прямокутна система координат,

гомотетiя з центром в точцi

i êîåôiöi¹íòîì

.

Oi j

h

O

k

точки площини, що M 7!M,

M 7!M0, тодi, очевидно, M 7!M0. Çàf e e

За теоремою 1.29 знайдеться такий рух, що f = g

±

h. Нехай M(x; y), M(x; y), M0(x0; y0) òàêi

h

f f

g

f

формулами гомотетi¨

(1.84) i руху (1.70) будемо

ìàòè:

h:

x = kx;

g:

x0 = x cos ® ¡ "y sin ® + x0;

e =

;

y0 = esin

+ ecos

+

0

y

ky

x

®

"y

®

y

:

Звiдси отриму¹мо

e

e

e

f: x0

= k(x cos ® ¡ "y sin ®) + x0;

y0

= k(x sin ® + "y cos ®) + y0:

(1.85)

Формули (1.85) називаються формулами перетворення подiбностi площини.

Теорема 1.30. Кожне перетворення подiбностi площини, яке вiдмiнне вiд руху, ма¹ одну i тiльки одну iнварiантну точку.

Доведення. Вiдомо, що точка M(x; y) буде iнварiантною, коли вона переходить сама в себе

при перетвореннi подiбностi. Щоб знайти координати цi¹¨ точки, необхiдно в формулах (1.85) покласти x = x0, y = y0 i розв'язати отриману систему рiвнянь:

(

(k cos ® ¡ 1)x ¡ "k sin ® ¢ y + x0 = 0; k sin ® ¢ x + ("k cos ® ¡ 1)y + y0 = 0:

Обчислимо визначник системи (1.86):

		¯		¡	¯			¡
	± =	,¯	k cos ® ¡ 1	¡"k sin ®		=	(k	cos ®)2	+ 1 cos2 ®;
Îòæå,	± = 0		а тому система (1.86) ма¹¯			¹диний розв'язок.
		¯	k sin ®	"k cos ® 1	¯	½	¡	1	k2;¡
		¯			¯
	6

(1.86)

ÿêùî " = 1; ÿêùî " = ¡1:

Наслiдок 1.7. Довiльне перетворення подiбностi, яке ма¹ бiльше нiж одну iнварiантну точку або не ма¹ iнварiантних точок, буде рухом.

57

0 називаються подiбними, якщо iсну¹ таке перетворення

Позначимо через P множину всiх перетворень подiбностi. Вище було доведено, що коли g 2 P i f 2 P , òî f ± g 2 P . Êðiì òîãî, ÿêùî g 2 P , òî g¡1 2 P . Таким чином, множина P утворю¹ групу перетворень, яка назива¹ться групою перетворень подiбностi або просто

групою подiбностей. Довiльне перетворення подiбностi переводить кут в рiвний йому кут. Оскiльки рух ¹ подiбнiстю, то група рухiв буде пiдгрупою групи подiбностей. Множина

P1 всiх подiбностей першого роду буде також пiдгрупою групи подiбностей. Розглянемо деякi

iншi приклади пiдгруп групи подiбностей.

Позначимо через P (M0) множину всiх гомотетiй з центром в точцi M0. Якщо точку M0

взяти за початок координат прямокутно¨ системи координат, то виходячи з формул гомотетi¨ (1.84) можна довести, що коли h1; h2 2 P (M0), òî h2 ± h1 2 P (M0), i ÿêùî h 2 P (M0), òî

h¡1 2 P (M0). Таким чином, P (M0) утворю¹ пiдгрупу групи P .

Нехай тепер H множина всiх паралельних перенесень i гомотетiй. Доведемо, що ця

множина утворю¹ пiдгрупу. Дiйсно, якщо f1; f2 2 H, òî f1 i f2 ¹ перетвореннями подiбностi

першого роду, тому f2 ± f1 перетворення подiбностi першого роду. Вiдмiтимо, що f2 ± f1

не ¹ центрально-подiбним0 обертанням. При центрально-подiбному обертаннi довiльна пряма a переходить в пряму a , яка перетина¹ пряму a, в той час як перетворення f2 ± f1 äîâiëüíó

пряму переводить в пряму, паралельну до не¨ або в пряму, що спiвпада¹ з нею. Звiдси робимо висновок, що f2 ±f1 ¹ або гомотетiя, або паралельне перенесення, тобто f2 ±f1 2 H. Очевидно

також, що коли f 2 H, òî f¡1 2 H. Îòæå, H пiдгрупа групи P .

Означення 1.26. Ôiãóðè F i F

подiбностi f, ùî F 0 = f(F ), при цьому пишуть F » F 0.

Теорема 1.31 (подiбнiсть трикутникiв). Äëÿ òîãî ùîá 4ABC » 4A0B0C0, необхiдно i достатньо, що виконувались умови:

	\A = \A0; \B = \B0; \C = \C0;	AB	=	BC	=	CA	:	(1.87)
		A0B0		B0C0		C0A0

Доведення. Необхiднiсть очевидна, тому доведемо лише достатнiсть умоâ0 ò0 еореми. Нехай виконуються умови (1.87). Розглянемо гомотетiю h ç êîåôiöi¹íòîì k = A B

AB i з центром в деякiй точцi O. Нехай 4A1B1C1 = h(4ABC). Îñêiëüêè A1B1 = kAB, òî A0B0 = A1B1.

Використовуючи рiвностi (1.87) аналогiчно отриму¹мо: B0C0 = B1C1 i C0A0 = C1A1. Äàëi, \A1 = h(\A), òîìó \A1 = \A, àëå \A = \A0, çâiäêè \A0 = \A1. Аналогiчно, \B0 = \B1 i

\C0 = \C1.

Таким чином, за теоремою 1.27 ма¹мо 4A1B1C1 = 4A0B0C0, òîìó 4A1B1C1 » 4A0B0C0.

Îòæå, 4ABC = 4A1B1C1 i 4A1B1C1 = 4A0B0C0, òîìó 4ABC » 4A0B0C0.

8 Афiннi перетворення площини

Означення афiнного перетворення площини. Теорема iснування афiнного перетворення. Властивостi афiнних перетворень. Аналiтичне задання афiнного перетворення площини.

Означення 1.27. Перетворення площини назива¹ться афiнним, якщо воно довiльнi0 0 òðè0 точки M1, M2, M3, що лежать на однiй прямiй, переводить в три точки M1, M2, M3, якi також лежать0 0 íà 0однiй прямiй, i зберiга¹ просте вiдношення трьох точок, тобто

(M1M2; M3) = (M1M2; M3).

Прикладами афiнних перетворень ¹ рух, подiбнiсть, гомотетiя. Виника¹ питання, а чи ¹ афiннi перетворення, якi не будуть нi рухом, нi подiбнiстю, нi гомотетi¹ю? Виявля¹ться, що такi афiннi перетворення iснують. Про них ми взна¹мо трохи пiзнiше.

58

Ëåìà 1.5. Якщо афiннi перетворення f1 i f2 переводять двi точки A i B вiдповiдно в точки A0 i B0, òî f1(M) = f2(M), äå M довiльна точка прямо¨ AB.

Доведення. Нехай M точка прямо¨ AB i M =6 A, M =6 B. Введемо такi позначення:

M0 = f1(M) i M00 = f2(M). Îñêiëüêè (AB; M) = (A0B0; M0) i (AB; M) = (A0B0; M00), òî,

очевидно, (A0B0; M0) = (A0B0; M00), çâiäêè M0 = M00, тобто f1(M) = f2(M).

Теорема 1.32 (основна теорема про афiнне перетворення). Нехай R = (A; B; C) i R 0 = (A0; B0; C0) довiльнi репери площини. Тодi iсну¹ одне i тiльки одне афiнне перетворення, яке переводить репер R в репер R 0. При цьому кожна точка M з даними координатами в реперi R переходить в точку M0 з тими ж самими координатами в реперi R 0.

Доведення. Доведемо спочатку iснування афiнного перетворення, яке репер R переводить в репер R 0. Визначимо перетворення f площини таким чином:

f: M M0	df	M(x; y)R	^	M0	(x; y)R0	;
7!	()

тобто точки M i M0 мають однаковi координати вiдповiдно в реперах R i R 0. ßñíî, ùî f перетворення площини, яке репер R переводить в репер R 0. Äiéñíî, îñêiëüêè A(0; 0)R,

B(1; 0)

, C(0; 1)

i A0(0; 0)

, B0(1; 0)

, C0(0; 1) , то згiдно означення f ìà¹ìî A

f A0,

R

R

R 0

R 0

R 0

7!

B

f B0, C

f C0

. Покажемо, що перетворення f буде афiнним. Нехай M

; M

; M

3

òðè

7!

7!

1

2

точки однi¹¨ прямо¨, якi в реперi R мають координати M1(x1; y1), M2(x2; y2), M3(x3; y3). ˆõ

образи M10; M20; M30	в реперi R 0 мають тi ж самi координати M10(x1; y1), M20(x2; y2), M30(x3; y3).
ßêùî ¸ = (M1M2; M3), то за формулами (2.3) знаходимо:
	x3 =	x1 + ¸x2	;	y3 =		y1 + ¸y2	:
	1 + ¸				1 + ¸
Але цi ж рiвностi показують, що точка M30				äiëèòü âiäðiçîê M10M20				у вiдношеннi ¸, тобто
(M10M20; M30) = ¸. Таким чином, точки M10; M20; M30					лежать на однiй прямiй i викону¹ться

ðiâíiñòü (M1M2; M3) = (M10M20; M30).

Доведемо тепер ¹диннiсть перетворення f. Нехай f1 деяке афiнне перетворення, яке переводить репер R в репер R 0. Нехай M довiльна точка площини. Через цю точку

проведемо пряму так, щоб вона перетинала якiсь двi з прямих AB, BC i AC в рiзних точках

N i P (див. рис.). За лемою 1.5 f(N) = f1(N), f(P ) = f1(P ). Звiдси, використовуючи цю ж

саму лему отриму¹мо: f(M) = f1(M). Таким чином, вiдображення f i f1 спiвпадають, тобто f ¹дине афiнне перетворення, яке переводить репер R в репер R 0. При цьому афiнному

перетвореннi точка M(x; y)R переходить в точку M0(x; y)R 0.

Íàñëiäîê 1.8. Якщо три точки A, B i C, що не лежать на однiй прямiй, ¹ нерухомi точки афiнного перетворення f, òî f ¹ тотожне перетворення.

59

Вiдмiтимо деякi властивостi афiнного перетворення:

1±: Довiльне афiнне перетворення f репер переводить в репер.

Нехай R = (A; B; C) довiльний репер i A0 = f(A), B0 = f(B), C0 = f(C). Виберемо точку M таким чином, щоб M 62AB i M0 = f(M) 62A0B0 (це завжди можна зробити, îñêiëüêè f вза¹мно однозначне i f афiнне перетворення). Нехай C(x0; y0) ¹ точка,

задана координатами в реперi (A; B; M), òàêà ùî y				= 0. Тодi образ C0			= f(C) точки
C матиме в реперi (A0; B0; M0) координати C0(x	; y		0	6		= 0, òîìó C0	A0B0	. Îòæå,
		). Àëå y			0
0	0					6	62

(A0; B0; C0) репер.

2±: Афiнне перетворення переводить пряму у пряму, паралельнi прямi у паралельнi

прямi, вiдрiзок у вiдрiзок, промiнь в промiнь, напiвплощину у напiвплощину, кут в кут (не обов'язково рiвний йому).

Виплива¹ з основно¨ теореми про афiнне перетворення.

3±: Довiльне афiнне перетворення або зберiга¹, або змiню¹ орi¹нтацiю площини.

Виплива¹ з означення орi¹нтовностi реперiв (див. стор. 25).

Аналiтичне задання афiнного перетворення.

Виберемо на площинi афiнну систему

координат (O;~e1;~e2)

i

нехай афiнне

перетворення f

переводить

точку

M(x; y)

â

точку

M0(x0; y0). Необхiдно виразити координати x0; y0

через координати x; y. Розглянемо афiнний

1

2

¡¡!

¡¡!

7!

1

7!

1

2

7!

репер

R

= (O; E

; E

),

äå

OE1 =

~e1, OE2

= ~e2. Нехай O f

O0, E

f

E0

,

E

f

E20 , òîäi,

очевидно,

ùî

R0

= (O0; E10 ; E20 ) ¹

також

репер. Припустимо,

ùî

O0(x0; y0)R,

¡¡¡!1

(

11

21)R

¡¡¡!2(

12

22)R

O0E0

c

; c

,

O0E0

c

; c

. Çãiäíî

основно¨

теореми про афiнне перетворення

ìà¹ìî

M0(x0; y0)R i M0(x; y)R0, тому за формулами перетворення афiнних координат (1.29) ма¹мо

f:	x0 = c11x + c12y + x0;
	y0 = c21x + c22y + y0:	(1.88)

Формули¯¯ (1.88)¯¯називаються формулами афiнного перетворення площини. Якщо визначник

± = ¯¯ cc1121 cc1222 ¯¯ > 0, òî R; R0 мають однакову орi¹нтацiю, а при ± < 0 протилежну орi¹нтацiю. В першому випадку ма¹мо афiнне перетворення першого роду, а в другому другого роду. Ма¹ мiсце така теорема:

Теорема 1.33. Якщо вiдображення площини f в афiнному реперi R = (O; E1; E2) задане аналiтично формулами (1.88), де ± 6= 0, òî f афiнне перетворення. При цьому, якщо

± > 0 (± < 0), òî f афiнне перетворення першого (другого) роду.

Доведення. За формулами (1.88) знайдемо координати образiв для точок O, E1, E2 ïðè вiдображеннi f. Оскiльки в реперi R ìà¹ìî O(0; 0), E1(1; 0), E2(0; 1), то пiдставляючи

координати								öèõ				точок			â		(1.88)			ìè	отрима¹мо координати									¨х образiв, а саме: O0								(x0		; y0),
	0	(			+				+y ) E0 (c							+x ; c				+y )				¡¡¡!(					)	¡¡¡!(						)	¡¡¡!		¡¡¡!,
E	1		c	11		x	; c	21			0	,	2		12			0	22	0		. Îñêiëüêè O0E0			c	11	; c	21		i O0E0		c	12	; c	22		, òî O0E0	,	O0E0
						0																		1							2						1			2
òîìó ùî ± = 0. Îòæå, R0																	= (O0; E0 ; E0						) репер. За основною теоремою (1.32) знайдеться
							6													1		2									i визнача¹ться формулами
таке афiнне перетворення f, яке репер R переводить в репер R0
(1.88), îñêiëüêè										¡¡¡!(				11 21)					¡¡¡!(		12		22)
												1								2
										O0E0			c ; c i O0E0 c ; c .

60