ПОСОБИЕ ПО ЛАБАМ СФУ

В результате развития радиотехники и методов математического анализа была разработана теория сигналов на основе функционального анализа, в котором сигнал представляется как вектор в специальном бесконечномерном линейном пространстве. Это дало возможность говорить о величине сигнала, проводить сравнительный анализ сигналов и т. д. Линейное множество сигналов наделено специальной структурой, причем выбор структуры характеризуется физическими соображениями (например, электрические сигналы суммируются, умножаются и т. д.).

Отметим основные положения этой теории.

∙ В линейном пространстве сигналов вводится координатный базис (координатные оси). Вектора координатного базиса ei линейно независимы, то есть выполняется соотношение:

åci ∙ ei = 0.

i

Если дано разложение сигнала s(t) в виде:

s(t) = åci ∙ ei ,

i

то числа (коэффициенты) сi являются проекциями сигнала s(t) относительно выбранного базиса.

∙ Норма сигнала. Для количественной оценки сигналов в линейном пространстве сигналов вводится понятие нормы как длины вектора сигнала:

для действительных аналоговых сигналов норма равна:

∞

s(t)

= òs2 (t)dt ,

−∞

для комплексных сигналов:

,

s(t)

=

∞òs(t)s (t)dt

−∞

для дискретных сигналов:

∞

s(t)

= å(si )2 .

i =−∞

В этом случае линейное пространство становится нормированным.

∙Энергия сигнала – это квадрат нормы.

Es = s(t)2 = ∞òs2 (t)dt .

−∞

∙ Метрика. Расстояние между сигналами в нормированном линейном пространстве называется метрикой. Обычно метрику определяют как норму разности двух сигналов:

ρ(s1,s2 ) = s1 - s2 .

Зная метрику можно судить о том, насколько хорошо один из сигналов аппроксимирует (может заменять) другой. Линейное нормированное пространство становится метрическим.

∙ Угол между двумя сигналами метрического нормированного линейного пространства определяется из их скалярного произведения:

(s1,s2 ) = ∞òs1(t) × s2 (t)dt ,

−∞

а косинус угла между сигналами находится по формуле:

cosθ =				(s1,s2 )				.
				s	×	s
				1		2

Линейное пространство с таким скалярным (масштабированным) произведением называется Гильбертовым.

∙ Ортогональные сигналы. Два сигнала называются ортогональными, если их скалярное произведение (а также и взаимная энергия) равно нулю.

(s1,s2 ) = ∞òs1(t) × s2 (t)dt = 0.

−∞

В Гильбертовом пространстве задается ортонормированный базис, для которого скалярное произведение равно:

ì1,	i = j ü
(si , sj ) = í	i ¹	ý.
î0,		jþ

Примером ортонормированного базиса может служить система тригонометрических функций с кратными частотами, дополненная постоянным сигналом.

∙ Обобщенный ряд Фурье. Произвольный сигнал s(t) в

Гильбертовом пространстве можно разложить в обобщенный ряд Фурье в выбранном базисе функций φn(t):

∞

s(t) = åcnϕn (t) ,

n=−∞

где сn – комплексные коэффициенты ряда, определяемые с учетом ортонормированности выбранного базиса находятся по формуле:

cn = tò2 s(t) ×ϕn (t)dt .

t1

Коэффициенты ряда сn – являются амплитудами (весовыми коэффициентами) выбранных базисных функций.

1.3. Спектральное представление сигналов

В радиотехнике в качестве базиса ортогональных функций чаще всего используются экспоненциальные или гармонические функции, что связано с простотой их генерации, а также с тем, что гармонические сигналы сохраняют свою форму при преобразованиях в линейных цепях.

Спектральное разложение сигнала – это представление сигнала в виде суммы гармонических колебаний с различными частотами и фазами.

Частотный спектр – это набор отдельных гармонических составляющих сигнала.

1.3.1. Ряд Фурье в тригонометрической форме, как наиболее часто

используемый вариант записи для произвольного периодического сигнала имеет вид:

s(t) = a0 + å∞ (an cosnω0t + bn sin nω0t) . 2 n=1

Коэффициенты ряда определяются по формулам:

T

a0 = 2 ò2s(t)dt ; T −T 2

2 T 2

an = T òs(t)cosnω0tdt ;

−T 2

2 T 2

bn = T òs(t)sin nω0tdt .

−T 2

В общем случае периодический сигнал содержит постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний – гармоник, с частотами ωn = nω0, (n = 0, 1,..) кратными основной частоте ω0=2π/T исследуемой последовательности с известным периодом T. Четный сигнал содержит только косинусоидальные составляющие, а нечетный сигнал – синусоидальные.

Каждую гармонику можно описать её амплитудой Аn и начальной фазой ϕn, тогда коэффициенты ряда Фурье принимают вид:

	an = An cosϕn ;				bn =An sinϕn ;
							=	bn
	A = a		2 + b 2	;	tgϕ	n			;
	n	n	n					an

и эквивалентная формула ряда Фурье равна:

s(t) = a0 + å∞ An cos(nω0t −ϕn ) . 2 n=1

Спектральная диаграмма периодического сигнала – это графическое изображение коэффициентов ряда Фурье для конкретного сигнала.

Спектральные диаграммы бывают амплитудные и фазовые (рис. 11). Как следует из приведенных графиков, спектры периодических сигналов состоят из отдельных линий, то есть они дискретны.

An	ϕ n

1	3	w¤w0	1	3	w¤w0

Рис. 11. Амплитудная и фазовая спектрограммы периодического сигнала

1.3.2. Комплексная форма ряда Фурье. Спектральное разложение

периодического сигнала можно провести в системе экспоненциальных базисных функций. Функции этого базиса периодичны с периодом Т и ортонормированны на отрезке времени [-T/2,T/2]. Тогда комплексный ряд Фурье, с учетом нормы комплексного сигнала, характеризуется формулами:

∞

s(t) = åcne jnω0t ,

	n=−∞
cn =	1	T 2s(t)e jnω0t dt.
	T −Tò
	2

При вычислениях учитывают известную связь экспоненциальных функций с тригонометрическими:

e− jnω0t = cos nω0t − j sin nω0t ;

cosnω0t = ejnω0t + e− jnω0t ,

2

j sin nω0t = ejnω0t − e− jnω0t .

2

В случае экспоненциального представления спектр сигнала будет содержать гармоники и в отрицательной области на оси частот, при этом нужно учитывать, что отрицательная частота это не физическое, а математическое понятие, определяемое представлением комплексных чисел.

1.3.3. Спектральное представление непериодических сигналов

Предположим, что имеется одиночный импульсный сигнал s(t) конечной длительности. Мысленно дополним его такими же сигналами, периодически следующими через некоторые интервалы времени – Т. В результате получим периодическую последовательность sпер(t), которую можно представить в виде ряда Фурье (23).

Для перехода к одиночному импульсу увеличим до бесконечности период повторения импульсов – Т. В этом случае:

1). Частоты nω0 и (n+1)ω0 окажутся сколь угодно близкими и поэтому дискретную переменную nω0 можно заменить непрерывной – ω, то есть текущей частотой.

2). Амплитудные коэффициенты cn станут бесконечно малыми (стремящимися к нулю) из-за наличия Т→∞ в знаменателе в формулах ряда.

3). Рассмотрим интервал частот Δω→0 в окрестностях некоторой частоты ω0. В пределах этого интервала будет содержаться N отдельных пар спектральных составляющих, частоты которых будут отличаться друг от друга сколь угодно мало (N=Δω/ω0=ΔωT/2π).

4). В результате отмеченных преобразований спектральные составляющие можно суммировать так, как если они имеют одну и ту же частоту и характеризуются одинаковыми комплексными амплитудами.

Комплексная амплитуда эквивалентного гармонического сигнала внутри интервала Δω:

Aω0	=	2N	∞	j	t	dt =	ω	∞	j	t	dt .
		T	òs(t)e−		ω0		π	òs(t)e− ω0
			−∞					−∞

При этом интеграл:

∞

òs(t)e− jωt dt = S( jω)

−∞

называется спектральной плотностью сигнала s(t) или прямым преобразованием Фурье данного сигнала.

С точки зрения физического смысла спектральная плотность S(ω0)=S(2πf0) – масштабный множитель, связывающий малую длину интервала частот f и соответствующюю комплексную амплитуду A гармонического сигнала на центральной частоте f0.

При решении обратной задачи, то есть при нахождении сигнала по его спектральной плотности, необходимо воспользоваться обратным преобразованием Фурье для сигнала s(t):

s(t) = 1 ∞òS(ω)e jωt dω .

2π −∞

Следует отметить основное условие существования спектральной плотности сигнала: для того, чтобы сигналу s(t) можно было бы сопоставить его спектральную плотность S(ω), необходимо, чтобы сигнал был абсолютно интегрируем, то есть, чтобы существовал интеграл:

∞

òs(t) dt < +∞ .

−∞

Кратко рассмотренные основные положения теории спектрального анализа сигналов позволяют анализировать как сами сигналы, так и прохождение сигналов через радиотехнические цепи, устройства и системы.

Приложение 2

К лабораторной работе №2

Дискретизация информационных сигналов

Задача преобразования непрерывных функций времени в дискретные встречается часто в радиотехнической практике: при организации

многоканальных систем передачи информации с временным разделением каналов, при вводе аналоговой информации в ПК, обмене информацией между различными системами и др.

В зависимости от ограничений, накладываемых на информационный сигнал и его спектральные характеристики, преобразование непрерывного сигнала s(t) в дискретно-непрерывный s(k t) может быть выполнено на основании – частотного критерия дискретизации, корреляционного, критерия наибольшего отклонения и др.

Частотный критерий выбора шага дискретизации основан на теореме Котельникова–Шеннона в которой отмечено, что – непрерывная функция времени s(t), удовлетворяющая условиям Дирихле и не содержащая частот выше ωm, полностью определяется отсчетами мгновенных значений s(k t), отстоящих друг от друга на интервалах t=π /ωm, где k=1, 2, 3 ...

В соответствии с этой теоремой отсчетов, функцию s(t), удовлетворяющую условиям теоремы, можно представить рядом в виде:

∞	s(kDt)sinωm (t-kDt)
s(t) = å		(1)
k=−∞	ω (t-kDt) .
	m

Каждое слагаемое в формуле (1) представляет собой произведение функции времени s(t), взятой в дискретные моменты времени (k t), на непрерывную функцию времени, называемую функцией отсчетов. В моменты времени tk=k t все слагаемые, кроме одного, обращаются в ноль. Внутри промежутка t восстанавливаемая функция определяется всеми слагаемыми. Функция s(t) с ограниченным спектром полностью задается счетным множеством мгновенных значений, определенных через равные промежутки времени t – шаг дискретизации.

Теорема Котельникова–Шеннона применима к непрерывным функциям s(t), не ограниченных во времени. Только в этом случае функция s(t) может иметь ограниченный спектр частот. Реальные физические процессы имеют начало и конец, а функции, их описывающие, ограничены во времени и, следовательно, имеют неограниченные спектры [2]. Введением понятия реальной ширины спектра как интервала частот, в котором сосредоточена преобладающая часть энергии функции s(t), сохраняет общий смысл теоремы о представлении функции на интервале [0, T] счетным числом значений:

n = ωmT π .

Но значение всех n отсчетов на интервале [0, T] не позволяет полностью определить функцию s(t), т. к. определяющие функцию точки, лежащие вне интервала [0, T], тоже влияют на восстанавливаемый сигнал.

Ограничение числа членов суммы ведет к появлению погрешности

восстановления функции, производимого с помощью ряда Котельникова– Шеннона, равную:

n		sinωm(t-kDt)
ε(t) = s(t) - å	s(kDt)		.	(2)
		ω (t-kDt)
k=-n		m

В точках tk=k t погрешность восстановления минимальна и равна нулю. Внутри интервала t погрешность отлична от нуля, причем при приближении к границам интервала [0, T] она возрастает (рис. 1).

Определим величину среднеквадратической погрешности восстановления дискретизированного сигнала таким идеальным фильтром, используя подобие процессов дискретизации и амплитудно-импульсной модуляции (АИМ). Дискретизированный сигнал (рис. 2) часто рассматривается как АИМ-сигнал, для которого несущим колебанием

является последовательность прямоугольных импульсов единичной амплитуды с периодом следования, равным шагу дискретизации, и бесконечно малой длительностью (рис. 3). Амплитудный спектр такого несущего колебания имеет вид, показанный на рис. 4. В свою очередь, спектр АИМ-сигнала (дискретизированного) примет вид, показанный на рис. 5. Если информационный сигнал удовлетворяет требованиям теоремы отсчетов, то

спектры боковых полос оказываются непересекающимися и восстановление информационной функции сводится к процессу низкочастотной фильтрации с помощью фильтра, имеющего идеальную прямоугольную амплитудно- частотную характеристику (рис. 6а).

				δ (t)
						t
−3Δt	−2Δ t	− t	0	t	2Δ t	3Δ t
		Рис. 1. График погрешности

	s(k	t)
1
0							t
		t	2Δ t	3Δ t	4Δ t	5Δ t	6Δ t
		Рис. 2.	Дискретизированный сигнал
1	u(t)
0							t
		t	2Δ t	3Δ t	4Δ t	5Δ t	6Δ t
		Рис. 3. Несущее колебание
	C k ( ω )
0				2ω0			ω
		ω 0			3ω0		4ω0
Рис. 4. Амплитудный спектр идеального импульсного АИМ-колебания
	SАИМ(ω)
							ω
	0	ω 0		2ω0	3ω0		4ω0
		Рис. 5. Спектр дискретизированного сигнала

Процесс восстановления информационной функции идеальным фильтром (рис. 6 а) поясняется на рис. 6. Для обеспечения абсолютной

точности восстановления дискретизированного сигнала следует строго выдержать соотношение:

ω0 =	2π	= 2ωm ,	ωc = ωm .	(3)
	t

При нарушении последнего условия, как следует из рис. 6, возрастает

погрешность восстановления, т. к. при ωс<ωm в полосу пропускания фильтра непопадают составляющие спектра информационной функции, лежащие в диапазоне [ωс, ωm]; при ωс>ωm в полосу пропускания фильтра попадают составляющие спектра нижней боковой при ω0, лежащие в диапазоне частот

[ωm, ωc].

В реальных устройствах получить импульсное несущее колебание с бесконечно малой длительностью импульсов невозможно. Считая, что реальное несущее колебание достаточно близко к идеальному, если

длительность его импульсов τ хотя бы на порядок меньше периода их следования:

Т= t, (скважность q=T/τ = t /τ >10).

Спектр АИМ-сигнала для идеальной информационной функции (идеальная информационная функция удовлетворяет условиям теоремы Котельникова-Шеннона) и реального несущего колебания приведен на рис. 7, период следования импульсов которого Т= t выбран в соответствии с теоремой t=π /ωm, поэтому спектры боковых составляющих не перекрываются. Это позволяет восстановить сигнал (информационную функцию) с абсолютной точностью.

Реальные сигналы имеют неограниченные спектры. Спектр АИМ- сигнала для случая такой информационной функции приведен на рис. 8 и 9 (на рис. 9 выделен фрагмент спектра). Из рис. 9 следует, что сигнал, восстановленный даже идеальным фильтром, отличается от исходного информационного, т. к.:

1) в полосу пропускания фильтра попали только лишь составляющие спектра сигнала в диапазоне частот [-ωc , ωc], в то время как сигнал имеет бесконечный спектр; ограничение частотного диапазона приводит к появлению среднеквадратической погрешности:

	σ	2		1	∞	S 2 (ω ) d ω
			=		ò		,	(5)
		0		π
					ωc

где S2(ω) – спектральная плотность мощности информационной функции;

2) в полосу пропускания фильтра попала часть составляющих спектра верхней боковой при (-ω0) и нижней боковой при ω0; появление этих

составляющих увеличивает среднеквадратическую погрешность на величину:

σ	2		1 ω–		Sáî2	ê ,ω0 (ω)dω,
	1	=		−ωò c			(6)
			π

где S2бок,ω0 – спектральная плотность мощности нижней боковой при ω0 в диапазоне [- ωc , ωc];