ПОСОБИЕ ПО ЛАБАМ СФУ

Рис. 4. К выводу метода трех ординат Подставляя в эти уравнения значения трех координат (1, 2 и 3) из

графика (рис.4), получим систему из трех уравнений с тремя неизвестными

токами I0 , Im1 и Im2.

Так для точки 1: ω0t=0; i1=imax; imax= I0 + Im1 + Im2; для точки 2: ω0t=π/2; i2=iп (ток покоя); iп= I0 - Im2; для точки 3: ω0t=π; i3= iмин; iмин= I0 - Im1 + Im2.

Решая систему уравнений, получим:

I0 = imax + imin + 2iΠ ,

4

Im1 = imax − imin ,

2

I = imax + imin − 2iΠ . 0 4

Достоинство этого метода – простота, однако точность невысокая. Более точным является метод пяти ординат, к тому же дающий возможность расчета ещё двух гармоник – третьей и четвертой.

Приложение 4

К лабораторной работе № 7

Умножение частоты

Наличие в составе тока усилителя, работающего в нелинейном режиме, гармоник, кратных основной частоте возбуждения, позволяет использовать его в качестве умножителя частоты. Для этого необходимо настроить нагрузочный колебательный контур на частоту выделяемой гармоники.

При нелинейном преобразовании моногармонического сигнала спектр тока нелинейного элемента содержит ряд гармоник (теоретически их число бесконечно), амплитуды которых могут быть рассчитаны, например, методом угла отсечки. Учитывая, что графики коэффициентов Берга имеют четко выраженные максимумы (рис. 3), можно определить оптимальные углы отсечки, соответствующие этим максимумам. Из графиков коэффициентов Берга αn (θ) следует, что θопт=1200/n, где n – номер гармоники. Следует

обратить внимание на тот факт, что при других нормировках коэффициентов Берга формула θопт будет иная; например, для γn (θ), θопт=1800/n. При

правильно выбранном угле отсечки амплитуда n-й гармоники достигает максимума (оптимальный режим умножителя частоты).

I mn max= imax αn (qопт).	(1)
Для обеспечения этого максимума следует правильно	выбрать

напряжение смещения (рис. 1), если задана амплитуда входного сигнала Um, либо наоборот, исходя из выражения

cosqопт = - (Есм - u0 )/ Um.

(2)

Для выделения нужной гармоники из сложного спектра тока можно использовать фильтр, в простейшем варианте – параллельный колебательный контур, настроенный на частоту нужной гармоники. Имея спектр тока и частотную характеристику контура zн(w), можно легко рассчитать спектр выходного напряжения.

Пусть, например, требуется выделить третью гармонику (n=3) входного сигнала с частотой w0 (рис. 1). Амплитуды гармоник выходного напряжения могут быть рассчитаны на основании закона Ома. Так, для третьей гармоники сопротивление нагрузки (LC контура) будет максимальным (это частота резонанса в контуре) zн(wр) = zн(3w0) = rQ , где r=ÖL/C – характеристическое сопротивление, а Q – добротность. Амплитуда третьей гармоники напряжения:

Um3 = Im3 zн (3w0) = Im3 r Q

Рис. 1. К построению спектра выходного напряжения

Частотная зависимость модуля полного сопротивления параллельного колебательного контура от частоты определяется формулой:

zΗ (ω )=	2æ	ω		ω p ö2 .			(3)
		ρQ
	1+Q ç		−		÷
				ω
	è ω p				ø

Подставляя вместо w частоты соседних гармоник, определим zн(w0), zн(2w0) и т. д. Амплитуда любой гармоники напряжения на контуре:

Umn = Imnzн(nw0).

В случае, когда добротность велика, спектр выходного напряжения

будет состоять практически из одной третьей гармоники и форма выходного напряжения будет практически синусоидальной. Присутствие соседних гармоник обуславливает искажения формы выходного сигнала, которые могут быть количественно оценены коэффициентом гармоник:

КГ =		PΗΕΛ		100%.	(4)
		PΠΟΛ

Здесь РНЕЛ – суммарная мощность продуктов нелинейности (соседних гармоник c номерами 1, 2, 4, ..), а РПОЛ – мощность полезной составляющей (третьей гармоники). Для рассматриваемого случая коэффициент гармоник равен:

КГ =		Um21 +Um2	2 + Um2	4 +Um2	5 +...	100%.
			Um3

Нелинейное резонансное усиление можно рассматривать как частный случай умножения частоты на при n=1.

Рассмотрим КПД резонансного усилительного каскада

η = P1 ,

P0

где Р1 – мощность первой гармоники сигнала (полезный сигнал); Р0 – мощность, потребляемая от источника питания.

Для гармонического сигнала:

P1 = 12 Im1Um1 = 21 α1 (θ)imaxUm1 .

Для источника питания устройства:

P0 = I0 E = α 0 (θ)imax E .

При максимальной амплитуде Um1 КПД также будет максимальным

ηmax =	1		α1	(θ) i			U		;
						max		m1
	2		α 0	(θ)		imax		E

учитывая, что при максимальной амплитуде сигнала Um1≈E – напряжению питания, то

	1		α1	(θ)
ηmax ≈					.	(5)
	2		α 0	(θ)

Для линейного режима работы (θ=1800), α1 (1800)=α 0 (1800)= 21 ; ηmax = 12 ; т. е. 50% мощности источника питания преобразуется в тепло.

0	1 α1			(600 )
Для нелинейного режима работы при θ ≈ 60 , ηmax ≈					≈ 0,9 .
	2		α 0	(600 )

Таким образом, усилительные каскады, работающие в нелинейном режиме, обладают большим КПД, что особенно важно в оконечных каскадах

передающих устройств. Несмотря на то, что усилитель работает в нелинейном режиме и форма тока имеет вид косинусоидальных импульсов,

выходное напряжение имеет практически синусоидальную (квазигармоническую) форму, т. к. контур в нагрузке каскада, настроенный на несущую частоту, подавляет все высшие гармоники.

Приложение 5

К лабораторной работе №9

Преобразование частоты

Процесс преобразования частоты широко используется в радиоприемных устройствах для того, чтобы вести обработку всех принимаемых сигналов (фильтрацию и усиление) в одном узком диапазоне частот вблизи промежуточной. Преобразование частоты сигнала сводится к сдвигу (смещению) его спектра по оси частот. Как правило, такими сигналами являются модулированные колебания, в которых полезная информация заключена в изменении огибающей или фазы. В этом случае

преобразование частоты приводит к замене несущей частоты принимаемого сигнала на некоторую другую – (промежуточную) частоту.

Пусть на вход нелинейной цепи с квадратичной ВАХ:

i = S (u − u0 )2	(1)
подаются два сигнала – модулированный сигнал	u1(t)= Um (t)cos[ω0t +ϕ(t)], в

котором могут меняться как огибающая Um (t), так и фаза ϕ(t), и

гармоническое колебание от местного генератора	(гетеродина) –
u2 (t) = UmΓ cosω Γ t .
uΒΧ = u = ECM + u1 (t) + u2 (t).	(2)

Величина напряжения смещения выбирается такой, чтобы рабочая точка находилась на середине квадратичного участка ВАХ, а амплитуда гетеродина Umг – такой, чтобы напряжение u2(t) не выходило за пределы этого участка. Подставим последнее выражение в уравнение (1) и преобразуем:

i = S [u1 + u2 + (ECM −u0 )]2 =

= S[u12 + u22 + (ECM −u02 )2 + 2u1 (ECM −u0 ) + 2u2 (ECM −u0 ) + 2u1u2 ].

Помимо гармоник исходных сигналов, которые в данном случае не представляют интереса, в спектре тока имеются комбинационные составляющие второго порядка (последнее слагаемое):

S2u1u2 = 2S Um (t)cos[ω0t +ϕ(t)]UmΓ cosωΓt = SUmΓUm (t)cos[(ω0 +ωΓ )t +ϕ(t)]+ + S UmΓUm (t)cos[(ω0 −ωΓ )t +ϕ(t)].

После полосового фильтра, настроенного на одну из комбинационных
частот (обычно это разностная частота ω 0 − ω Γ = ω ΠP	– промежуточная
частота) на выходе преобразователя частоты остается сигнал,
соответствующий второму слагаемому (iпч). Часто в качестве полосового
фильтра используется параллельный колебательный контур, настроенный на
промежуточную частоту и включенный в качестве нагрузки нелинейного
элемента. Добротность контура должна быть такой, чтобы его полоса
пропускания была не уже полосы частот, занимаемой	модулированным

сигналом u1(t).

На выходе фильтра получим:

u вых = zΗ (ω)i пч = zΗ (ω)SUmΓUm (t)cos[ωΠΡt +ϕ(t)].

(3)

В последнем выражении zΗ (ω), S ,U mг не зависят от времени и поэтому можно утверждать, что законы изменения во времени огибающей и начальной фазы сохранились неизменными. Следовательно, в результате

преобразования частоты параметры модулированных колебаний не меняются, а несущая частота ω0 заменяется на промежуточную ωпр. Обычно

амплитуды сигналов на входе преобразователя частоты на несколько порядков меньше, чем амплитуда гетеродина. Поэтому для столь малых сигналов преобразователь частоты является линейным устройством, а в отношении напряжения гетеродина – нелинейным.

Значения промежуточных частот стандартизированы в каждой области радиотехники – например, в радиовещании в диапазонах КВ, СВ и ДВ fпр=465 кГц, для диапазона УКВ – fпр=10.7 МГц.

Процесс преобразования частоты может вызвать специфическую помеху радиоприему – это так называемая "зеркальная" помеха (или помеха по зеркальному каналу). Дело в том, что при приёме сигнала с частотой ω0 (рис. 1) одновременно может приниматься сигнал другой радиостанции, работающей на частоте ωЗП, расположенной симметрично относительно частоты гетеродина. В этом случае на выходе преобразователя частоты формируются два сигнала разностных комбинационных частот ωГ - ω0 =ωПР и ωЗП - ωГ =ωПР. Принимаются одновременно сигналы двух радиостанций, но т. к. они имеют одну несущую частоту (ωПР), то разделить их фильтрами после преобразователя частоты невозможно. Для борьбы с зеркальной помехой используют фильтры (LC-контуры входной цепи) до входа преобразователя частоты, настроенные на несущую принимаемого сигнала. АЧХ такого фильтра показана пунктиром на рис. 1.

Рис. 1. К образованию “зеркальной помехи“

S(ω)

Приложение 6

К лабораторной работе №8

Амплитудная модуляция

Для сигналов с аналоговыми видами модуляции удобно использовать квазигармоническое представление:

i(t) = Im (t)cosF(t) , где Im (t) – огибающая сигнала, Φ(t) – полная фаза равная F(t) = ω0t +ϕ(t) . Учитывая, что Im (t) и ϕ(t) являются медленно

меняющимися функциями времени, то за один период колебания с несущей частотой ω0, модулированный сигнал по форме практически представляет собой гармоническое колебание. Этим и объясняется название "квазигармоническое", то есть почти синусоидальной формы.

Амплитудную модуляцию можно определить как вид модуляции, при

котором девиация амплитуды пропорциональна информационному сигналу uC (t) , а девиация фазы ϕ(t) вырождается в начальную фазу ϕ 0 .

DIm (t) = KΑΜuC (t) , ϕ(t) = ϕ0 ,

(1)

где КАМ – коэффициент пропорциональности, характеризующий работу модулятора.

Огибающая процесса Im (t) может быть представлена как сумма постоянной составляющий (амплитуды несущего колебания) и девиации амплитуды:

Im (t) = Im 0 + DIm (t)

Общая запись амплитудно-модулированного сигнала (АМ) имеет вид:

i(t) = [Im0 + KΑΜ uc (t)]cos(ω 0t + ϕ 0 )

(2)

Для случая с тональной АМ,

модулирующая функция и АМ-сигнал

имеют вид:

uc (t) = Umc cosWt ; (Ω << ω0),

i(t) = [Im0 + KΑΜUm c cosWt]cos(ω 0t + ϕ) .

Величина KΑΜUmc = DIm max

и, после преобразований, получим:

i(t) = I

é1+

DIm max

cosWtùcos(ω

0

t + ϕ

0

) .

m 0 ê

ImO

ú

ë

û

Обозначив

DIm max

= m

(глубина

модуляции),

то окончательно

для

ImO

тональной модуляции математическая модель записи сигнала будет иметь вид:

i(t) = Im 0 [1+ mcosWt]cos(ω 0t + ϕ 0 ) .

(3)

∞

При модуляции сложным сигналом, например, uc (t) = åUmk coskWt , то

k =1

		∞	]cos(ω 0t + ϕ 0 )
		i(t) = ImO [1+åmk coskΩt
	Imk max	k =1	∞
здесь mk =
		– частичная (парциальная) глубина модуляции; åmk ≤ 1.
	ImO		k =1

Временные диаграммы информационного сигнала uc (t) и сигнала АМ представлены на рис. 1.

Для получения спектра тонального АМ сигнала раскроем скобки выражения (3):

i(t) = Im 0 cos(ω 0t + ϕ 0 ) + m2 ImO cos[(ω 0 + Ω)t + ϕ 0 ]+ m2 ImO cos[(ω 0 − Ω)t + ϕ 0 ].

Спектрограммы исходного (информационного) сигнала и АМ сигнала показаны на рис. 2

Рис. 1. Временные диаграммы тонального АМ-сигнала

SАМ(

Рис. 2. Спектр тонального АМ-сигнала

uΒΧ = u = ECM + u1 + uc = ECM + Um cosω 0t + Umc cosWt,

Спектр тонального АМ сигнала состоит из колебания несущей частоты и двух боковых, которые являются комбинационными частотами.

Итак, новыми колебаниями, возникающими в амплитудном модуляторе, являются комбинационные колебания второго порядка ω0 ± Ω. Следовательно, наилучшей формой ВАХ нелинейного элемента в амплитудном модуляторе является квадратичная парабола: i = S(u - u0 )2 при

u ³ u0 . Если на вход нелинейного элемента подать бигармонический сигнал в спектре тока i , кроме гармоник входных сигналов, образуются комбинационные колебания второго

порядка (iK ):

iK = S[u1 + uc + (ECM - u0 )]2 =

= S [u12 + uc2 + (ECM - u0 )2 + 2u1uc + 2u1 (ECM - u0 ) + 2uc (ECM - u0 )]

iK = S 2u1uc = 2SUmUmc cosω0t cosWt = S UmUmc cos(ω0	+ W)t +	(4)
+ S UmUmc cos(ω0 - W)t.

Весь спектр тока i приведен на рис. 3. Для выделения из спектра тока полезных компонентов сигнала (ω0, ω0±Ω) необходимо применить полосовой фильтр с центральной частотой ω0 и полосой пропускания не уже 2Ω.

Si(ω)

Sвых(

Рис. 3. Спектры амплитудного модулятора

В простейшем варианте таким полосовым фильтром может быть параллельный контур с невысокой добротностью. (При высокой добротности

контура в спектре выходного напряжения будут подавлены боковые частоты).

Для нахождения оптимального режима работы модулятора следует получить (расчетным или экспериментальным путем) статическую модуляционную характеристику (СМХ) Im1 = ϕ(ECΜ ) при Umω = const. Эта

характеристика показывает возможности модулятора при изменении амплитуды сигнала.

Строятся несколько таких характеристик для разных амплитуд колебаний несущей частоты (Umω ) и из них выбирается та, которая имеет

наибольший по протяженности линейный участок. Требование линейности СМХ вытекает из определения АМ. Тангенс угла наклона линейного участка СМХ (угла α на рис. 4) является коэффициентом пропорциональности КАМ

(1). С помощью СМХ можно определить оптимальный режим амплитудного модулятора и его параметры:

– выбор оптимальной амплитуды сигнала несущей частоты Umω (по максимальной протяженности линейного участка СМХ);

–границы линейного участка СМХ (средняя точка линейного участка

соответствует оптимальному напряжению смещения и амплитуде несущего колебания (по вертикальной оси));

–максимальная амплитуда модулирующего сигнала UmΩ max – половина

проекции линейного участка СМХ на горизонтальную ось графика;

– максимальная девиация амплитуды	Im max – половина проекции
линейного участка СМХ на вертикальную ось;		Im max .
- максимально достижимая глубина модуляции mmax =
		ImO

Рис. 4. Статическая модуляционная характеристика.

Разновидности амплитудной модуляции

В спектре тональной АМ присутствуют две боковые частоты, являющиеся комбинационными колебаниями второго порядка ω0 ±Ω и несущая Umo на частоте ω0. Информация о модулирующем сигнале uC (t) содержится в боковых составляющих спектра, причем их амплитуды пропорциональны амплитуде модулирующего сигнала Umc , а расстояние по

оси частот от несущей	ω0 – содержит информацию	о частоте
модулирующего сигнала Ω. Амплитуда несущего колебания Umo		не зависит

от модулирующего сигнала и в этом смысле несущее колебание, вопреки своему названию, никакой информации не несет (кроме того факта, что передатчик работает).

Даже при максимальной амплитуде модулирующего сигнала (m=1) амплитуда несущей Umo в 2 раза превышает амплитуду каждой из боковых

æU		ö		. При малых значениях модулирующего сигнала (m→0) это
ç		mo	÷
è	2 ø

соотношение значительно возрастает. Следовательно, на полезную часть спектра АМ сигнала приходится малая часть мощности передатчика, а подавляющая часть её расходуется бесполезно – на создание гармонического колебания на частоте ω0. Поэтому возникло предложение удалить несущую из спектра АМ сигнала, что дает значительный экономический эффект либо позволит увеличить дальность связи, так как теперь вся мощность передатчика будет расходоваться на создание колебаний боковых частот. Такую разновидность АМ называют балансной (БАМ). Сигнал с балансной

АМ можно получить путем перемножения						несущей uΗ (t) = Um cosω 0t и
модулирующего сигнала			uc (t) = Umc cosWt .			На выходе	перемножителя
получим:		u вых= KuΗ (t)uc (t) = KU m cosω0tU mc cosWt =
=	K	UmUmc cos(ω 0	+ W)t +	K	UmUmc cos(ω 0 - W)t = uБМ(t).		(5)
	2
			2

При этом никаких фильтров не требуется.

Такую операцию можно выполнить на аналоговых перемножителях сигналов или на симметричных (балансных) схемах, которые и дали название этой разновидности АМ.

Дальнейшим "усовершенствованием" БМ является отказ от одной из боковых полос (для тональной модуляции – одной из боковых составляющих), так как каждая из них содержит одинаковую информацию о модулирующем сигнале. Так возникла еще одна разновидность АМ – однополосная модуляция (ОБП – одна боковая полоса или SSB – Single Side Band). Судя по спектру сигнала с ОБП, последний может быть получен путем

переноса спектра модулирующего низкочастотного сигнала вверх по оси частот на частоту ω0 (подобно процессу преобразования частоты).