ПОСОБИЕ ПО ЛАБАМ СФУ

а )

K (ω )

-ω c		0

	б ) K m	K ( ω )
0 .	7 0 7 K m
ω c ω	0 .1 K m	ω c	ω
			ω c

S А И М (ω )

ω

− ω 0	− ω m	0	m	m	ω 0
					m
			<ω	=ω	>ω
			c	c	c
Р и с . 6 .			ω	ω	ω
	В о с ста н о вл е н и е и н ф о р м а ц и о н н о й ф у н кц и и

и д е а л ьн ы м ф и л ьтр о м

S А И М (ω )

0	ω 0 2 ω 0 3 ω 0 4 ω 0 5 ω 0 6 ω	ω
		0 7 ω 0 8 ω 0
	-
	2 π /τ u

Р и с . 7 . С п е ктр д и скр е ти зи р о в а н н о го (А И М ) с и гн а л а п р и

пр ям о у го л ьн о й и н ф о р м а ц и о н н о й ф у н кц и и и р е а л ьн о м и м пул ьс н о м н е су щ е м ко л е б а н и и

S А И М (ω )

	ω 0 2 ω 0 3 ω 0 4 ω 0 5 ω 0 6 ω 0 7 ω 0	ω
0		8 ω 0
	-
	2 π /τ u
Р и с . 8 . С п е ктр д и скр е ти зи р о в а н н о го (А И М )		с и гн а л а п р и

р е а л ьн ы х и н ф о р м а ц и о н н о й ф у н кц и и и и м пу л ьс н о м н е су щ е м ко л е ба н и и

3) аналогично устанавливается составляющая погрешности, обусловленная попаданием части верхней боковой при (-kω0) и части нижней боковой при kω0 в полосу пропускания фильтра.

Суммарная среднеквадратическая погрешность восстановления дискретизированного сигнала может быть определена по формуле:

σ 2	∞		σ 2
	= å			(7)
	k =	0	k .

Анализ формул (5) и (6) , а также рис. 9 и 10 приводит к выводу, что

σ 02	∞			2 = 2σ 02 .
	= å σ k2	;	σ		(8)
	k =1

Последнее соотношение позволяет установить относительную среднеквадратическую погрешность δ%2 восстановления дискретизированного сигнала идеальным фильтром в следующем виде:

2

2

ò∞

S2

(ω)dω

é

ò

ωc

S

2

(ω)dω

ù

ωc

ê

ú

δ

= 2δ0

0

= 2

ò0∞ S2

(ω)dω

= 2

ê1-

ú .

(9)

ò∞ S2

(ω)dω

ë

0

û

В лабораторной работе в качестве информационных используются детерминированные периодические сигналы с бесконечными спектрами. Полная мощность таких сигналов может быть найдена из формул:

1

T

2

1

∞

R

=

ò

s2 (t )∂ t = C2

4 +

å C2

,

(10)

T

2

s

−T 2

0

k=1

k

где С0, Сk – коэффициенты ряда Фурье.

Первый вариант из (10) (определения средней мощности во временной области) реализуется проще т.к. не требует нахождения бесконечной суммы, но требуется информация о временной функции. Поскольку в полосу пропускания идеального фильтра попадают лишь m первых гармоник сигнала, то мощность сигнала ограниченного в частотной области полосой пропускания фильтра ωс=mΩ , равна:

			1	m
	Rs (mW) = C02	4 +		å Ck2 .	(12)
			2
				k=1

Рис. 9. Фрагмент спектра АИМ-сигнала

Рис. 10. Спектр реального сигнала и его

ограничение идеальным фильтром

Относительная среднеквадратичная погрешность восстановления дискретизированного периодического сигнала в этом случае будет равна:

					æ		ö
δ	2		2δ	2	ç	Rs (mW ) ÷
		=			= 2 ç1-		÷ .
				0		Rs
					è		ø

К лабораторным работам №5, 6

Краткие сведения о расчете спектра при нелинейных преобразованиях сигналов

(13)

Приложение 3

Из основных положений теории спектрального анализа известно, что аналоговый сигнал s(t) и его амплитудный спектр связаны преобразованием Фурье. Периодические сигналы s(t) описываются рядом Фурье, из которого можно найти и построить спектр амплитуд и спектр фаз. Спектр амплитуд периодического сигнала состоит из гармоник (кратных частот), первая из которых соответствует частоте повторения сигнала. Спектр фаз дает

информацию о сдвигах фаз для каждой из гармонических составляющих, входящих в состав сложного сигнала s(t). При этом следует иметь в виду, что

гармонические составляющие сложного периодического сигнала определены на интервале [−∞,∞]. При увеличении периода повторения Т сигнала частота первой гармоники (и интервал между соседними гармониками) в спектре сигнала уменьшается, а при Т→ ∞ этот интервал стремится к нулю и спектр становится сплошным. А так как энергия одиночного (непериодического) сигнала ограничена, то при бесконечно большом числе спектральных линий их амплитуды также стремятся к нулю. Поэтому для характеристики непериодических сигналов s(t) используется понятие спектральной плотности амплитуд S(jω). Эти две функции связаны прямым и обратным преобразованиями Фурье [2]:

S( jω) = ∞òs(t)e− jωt dt ,

−∞

s(t) = 1 ∞òS( jω)e jωt dω .

2π −∞

Следует также отметить, что все вещественные сигналы s(t) имеют четную функцию S(ω), т. е. S(-ω)=S(ω). Это же относится и к спектрам периодических сигналов. Поэтому спектр амплитуд (или спектральную плотность амплитуд) вещественного сигнала принято изображать в виде графика, симметричного относительно нулевой частоты (так называемый математический спектр) либо в виде графика, расположенного только в области положительных частот (так называемый физический спектр). При переходе от математического спектра к физическому, амплитуды (спектральные плотности) всех составляющих, кроме нулевой, следует удвоить.

Существует класс комплексных сигналов, у которых и математический спектр расположен только в области положительных частот. Это так называемые аналитические сигналы [2], вещественная и мнимая части которых связаны преобразованием Гилберта. Такое представление сигналов часто используется для описания модулированных колебаний.

В первой части курса РТЦиС в качестве s(t) рассматриваются чаще всего моногармонические сигналы. В связи с этим необходимо иметь в виду,

что линейная цепь не изменяет форму моногармонического сигнала (изменяется лишь амплитуда и фаза выходного сигнала). Однако при

полигармоническом сигнале на входе форма выходного сигнала может существенно отличаться от входного, т. к. в соответствии с АЧХ и ФЧХ

конкретной цепи изменится соотношение амплитуд и фаз составляющих спектра сигнала, а, следовательно, и форма сигнала (так называемые линейные искажения). Даже и в этом случае в спектре выходного сигнала

будут те же частоты, что и в спектре входного сигнала, то есть линейная цепь не приводит к появлению новых частот в спектре сигнала.

Нелинейные цепи должны содержать хотя бы один нелинейный элемент (диод, транзистор и др.). Нелинейный элемент можно определить разными способами. Чаще всего нелинейный элемент определяют как двухполюсник или четырехполюсник, один из параметров которого (R, L, C, S и т. д.) зависит от режима электрической цепи – напряжения или тока.

Другое определение нелинейной цепи – наличие нелинейной вольтамперной характеристики (ВАХ). Как правило, ВАХ нелинейной цепи снимается экспериментально, и по полученной таблице значений i=f(u) строится график ВАХ. Для анализа такой цепи (расчет спектра, расчет выходного сигнала и др.) необходимо графическую функцию ВАХ аппроксимировать одной из простых математических функций. В качестве таковых наиболее часто используются:

∙степенной полином i = a0 + a1u + a2u2 +...+ anun ;

∙отрезки функций – например, отрезки прямых (кусочно-линейная аппроксимация), прямая и парабола и т. д.;

∙экспонента или сумма экспонент.

Для большинства изучаемых процессов и схем достаточно использовать полиномы второй и реже – третьей степени.

При выборе аппроксимирующей функции следует учитывать:

∙интервал аппроксимации, т. е. область значений аргумента,

соответствующую входному сигналу (uмин, uмах), которые зависят от амплитуды сигнала и напряжения смещения;

∙форму ВАХ в интервале аппроксимации, которая предопределяет метод спектрального анализа;

∙степень аппроксимирующего полинома.

Высокая степень усложняет расчеты, но повышает их точность. Кроме того, от степени аппроксимирующего полинома зависит максимальный номер рассчитываемой гармоники или порядок комбинационного колебания.

Наиболее часто используются следующие методы спектрального анализа

∙метод кратных дуг;

∙методы угла отсечки;

∙методы трех и пяти ординат.

Метод кратных дуг (или метод тригонометрических формул) состоит в том, что в степенной полином, которым аппроксимирована ВАХ исследуемой цепи, подставляют один или несколько гармонических сигналов

и после несложных преобразований получают выражение для выходного тока, в котором амплитуды спектральных составляющих выражены через параметры аппроксимации и входных сигналов. Этот метод может быть использован тогда, когда напряжение отсечки ВАХ не входит в интервал аппроксимации.

Пусть аппроксимирующая ВАХ функция имеет вид:

i = a0 + a1u + a2u2 +...+ anun ,	(1)
а входной сигнал
uвх= u = Eсм + Umcosω0t.	(2)

Подставляя (2) в (1), получим:

i= a0 +a1(ECM +Um cosω0t) +a2 (ECM +Um cosω0t)2 +a3(ECM +Um cosω0t)3 = a0 +a1ECM +a2ECM2 +

+12 a2Um2 +a3ECM3 + 32a3ECMUm2 +(a1Um +2a2ECMUm +3a3ECM2 Um + 34a3ECM2 Um )cosω0t +(12 a2Um2 +

+32 a3ECMUm2 )cos2ω0t + 14 a3Um3 cos3ω0t = I0 + Im1 cosω0t + Im2 cos2ω0t + Im3 cos3ω0t,

где

I0 = a0 + a1ECM + a2 ECM2 + 1 a2Um2				+ a3 ECM3	+	3 a3ECM Um2		;
	2					2
Im1 = a1Um + 2a2 ECM Um + 3a3ECM2 Um					+	3	a3U 3m ;
						4
Im 2 = 1 a2Um2	+	3	a3 ECM Um2	; Im3 =	1 a3 Um3 .
2	2				4

Здесь представлены окончательные формулы, позволяющие рассчитать амплитуды первых трех гармоник тока и постоянную составляющую I0. Как и следовало ожидать, спектр тока в нелинейной цепи при моногармоническом воздействии состоит только из гармоник входного сигнала (I0 – нулевая гармоника или постоянная составляющая), причем высший номер гармоники (в данном случае – третья) соответствует степени аппроксимирующего полинома.

При бигармоническом воздействии:

			uΒΧ = u = ECM +U1m cosω1t +U2m cosω2t.			(3)
	Ограничившись на этот раз полиномом второй степени:
					i = a0 + a1u + a2u2
и, подставляя (3), после преобразований получим:
i = a0	+a1ECM +a2ECM2 +	1	a2U12m +	1	a2U22m +(a1U1m +2a2 ECMU1m )cosω1t +
	2			2

+(a1U2m +2a2 ECMU2m )cosω2t + 12a2U12m cos2ω1t + 12 a2U22m cos2ω2t +a2U1mU2m cos(ω1 +ω2 )t +

+a2U1mU2m cos(ω1 −ω2 )t = I0 +I1m1 cosω1t + I2m1 cosω2t + I1m2 cos2ω1t + I2m2 cos2ω2t + Im+ cos(ω1 +ω2 )t +

+Im− cos(ω1 −ω2 )t.

Здесь двойные индексы токов означают: первая цифра - номер сигнала, вторая - номер гармоники; знаки "плюс" и "минус" в индексах означают амплитуды суммарной и разностной частот.

Запишем окончательные формулы для расчета спектра тока:

I0 = a0 + a1ECM + a2 ECM2 + 12 a2U12m + 12 a2U22m – постоянная составляющая;

I1m1 = a1U1m + 2a2 ECMU1m – первая гармоника первого сигнала; I2m1 = a1U2m + 2a2 ECMU2m – первая гармоника второго сигнала;

I1m2 = 12 a2U12m – вторая гармоника первого сигнала;

I2m2 = 21 a2U22m – вторая гармоника второго сигнала;

Im+ = Im− = a2U1mU2m – комбинационные колебания.

Последняя строчка описывает амплитуды комбинационных составляющих с частотами w1 ± w2. Вообще комбинационными частотами называются частоты вида: wк = nw1±mw2, где m и n – целые числа, не равные нулю.

Порядком N комбинационного колебания называется сумма N=|n|+|m|.

В рассматриваемом случае мы получили комбинационные колебания второго порядка: 1×w1 ± 1×w2 и N=2.

Итак, спектр тока нелинейной цепи при бигармоническом воздействии

состоит из гармоник каждого из входных сигналов и комбинационных колебаний, причем высшие номера гармоник и высшие порядки

комбинационных колебаний соответствуют степени аппроксимирующего полинома (в нашем случае – вторая степень).

Для полинома третьей степени и бигармонического воздействия в спектре тока будут существовать 6 комбинационных колебаний: два из них – второго порядка w1 ± w2 и четыре – третьего порядка 2w1 ± w2 и w1 ± 2w2.

Методы угла отсечки

В тех случаях, когда внутри интервала аппроксимации находится напряжение отсечки тока, можно использовать методы угла отсечки. В этом

случае ВАХ нелинейной цепи должна быть аппроксимирована отрезками функций:

i ìS(u - u0 ),

= í î 0

ìS (u - u)2 , i = í

î 0

u ³u0 – кусочно-линейная аппроксимация, u <u0

u ³u0

u <u0 – кусочно-параболическая аппроксимация.

(4)

(5)

Рассмотрим подробно первый метод угла отсечки, когда используется кусочно-линейная аппроксимация (4). На вход нелинейной цепи подается моногармонический сигнал (2), при этом ток в цепи нелинейного элемента имеет вид косинусоидальных импульсов с углом отсечки θ (рис. 1).

Подставив моногармонический сигнал (2) в выражение (1.4), получим:

i = S (ECM +Um cosω0t −u0 ), при ωοt< θ.

(6)

Рис. 1. К методу угла отсечки

Из рис. 1 видно, что i > 0 тогда, когда фазовый угол ω0t< θ. Если же ω0t= θ, ток в цепи прекращается:

i = 0 = S(ECM +Um cosθ −u0 ), при			ωοt = θ.	(7)
Максимальное значение тока будет наблюдаться при cosω0t=1, т. е. при
ω0t=0			ωοt = 0.
imax = S(ECM +Um − u0 ), при				(8)
Из выражения (7) получим
cosθ = −	ECM −u0	.		(9)
	Um
Далее вычтем из (6) выражение (7)				(10)
i = SUm (cosω0t − cosθ ).
Вычтем также из (8) выражение (7)				(11)
imax = SUm (1− cosθ ).
Поделив выражение (10) на (11) получим

	i	=	cosω0t − cosθ	= ϕ(ω0t,θ ).	(12)
	imax		1− cosθ

График последней функции приведен на рис. 2.

Рис. 2

Функция ϕ(ω0t, θ) – периодическая, разложим её в ряд Фурье:

ϕ(ω0t,θ ) = α0 (θ) +α1 (θ) cosω0t +α2 (θ) cos2ω0t + ...+αn (θ )cos nω0t + ...

Коэффициенты разложения функции αn(θ) могут быть определены как коэффициенты А.И. Берга, характер изменения первых трех приведен на рис. 3, одновременно здесь же приведен график функции γ1=α1 /α0,

фактически характеризующий отношение амплитуд токов первой гармоники

ипостоянной составляющей.

αγ1

0,4	2	α1 α0
0,2	1	α1/ α0
		α2
0		α3
	40	80 120 160 θ°

Рис. 3. Коэффициенты А. И. Берга

Расчетная формула амплитуды любой гармоники имеет вид:

Imn = αn (θ )imax .

Практически расчет амплитуды этим методом при n>5÷7 затруднителен, т. к. коэффициенты αn(θ) становятся малыми и погрешность расчета возрастает. Рассматриваемый метод угла отсечки для кусочно-

линейной аппроксимации дает хорошие результаты только при достаточно

больших амплитудах входного сигнала. При малых амплитудах сигнала кусочно-линейная аппроксимация сильно отличается от реальной ВАХ, особенно вблизи напряжения отсечки u0 . Поэтому для малых сигналов

лучшие результаты дает второй метод угла отсечки – для кусочно- параболической аппроксимации (5). Для этого метода сохраняется формула

(8) для расчета cosθ (c заменой u0 на новое):

cosθ = −	ECM −u0	.
	Um
Изменяется формула (11) для расчета imax:
imax = SUm2 (1− cosθ )2 .			(13)
Амплитуды гармоник находятся по формулам:
Imn = αn (θ )imax ,			(14)

где коэффициенты Берга αn (θ) учитывают режим работы.

Известны другие варианты метода угла отсечки, когда амплитуды гармоник находят не через imax, а через амплитуду входного напряжения Um.

Так третий вариант метода угла отсечки рассчитан на кусочно-

линейную аппроксимацию (4) и коэффициенты Берга с другой нормировкой

– γ (θ). Для третьего метода угла отсечки амплитуды гармоник находятся по формулам:

Imn = γ (θ )S Um .

(15)

Четвертый вариант метода угла отсечки рассчитан на кусочно-

параболическую аппроксимацию (5) и соответствующие коэффициенты Берга с другими параметрами γ (θ) и своей крутизной – S*:

Imn = γ n (θ )S Um2

(16)

Методы трех и пяти ординат. Эти методы вообще не требуют аппроксимации ВАХ. По графикам реальной ВАХ и входного воздействия (моногармонический сигнал с заданной амплитудой и смещением) находят три (или пять) значений тока, по которым путем простейших расчетов находят амплитуды гармоник. Рассмотрим метод трех ординат рис. 4. Запишем усеченный ряд Фурье для первых трех гармоник:

i ≈ I0 + Im1 cosω 0t + Im2 cos2ω 0t.