ПОСОБИЕ ПО ЛАБАМ СФУ

Существенным достоинством ОБП по сравнению с БМ является вдвое меньшая полоса, занимаемая спектром сигнала, а общим недостатком БМ и ОБМ являются трудности при детектировании этих сигналов, вызванные отсутствием несущей.

Приложение 7

К лабораторной работе №11

Детектирование АМ сигналов

При рассмотрении принципа детектирования АМ сигналов в нелинейной цепи будем исходить из того, что нелинейный элемент обладает квадратичной ВАХ. Такая аппроксимация используется для любого нелинейного элемента при малых амплитудах входных сигналов. Пользуясь выводами, полученными при рассмотрении метода кратных дуг для бигармонического воздействия на нелинейный элемент, оценим спектральный состав тока при воздействии тонального АМ сигнала, спектр

напряжения	которого состоит	из трех гармонических сигналов -
ω 0 − Ω,ω 0 ,ω 0	+ Ω. Очевидно, что	спектр тока (рис. 5.1) будет состоять из

первых и вторых гармоник всех трех сигналов, а также комбинационных колебаний второго порядка между парами этих сигналов:

(ω 0 + Ω) ± ω 0 ; ω 0 ± (ω 0 + Ω) ;

(ω 0 − Ω) ± (ω 0 + Ω) .

Рисунок 5.1 Спектральный состав тока и выходного напряжения детектора АМ при нормальных сигналах.

(Произвести точный расчет такого спектра можно, например, для схемы коллекторного детектора). Из приведенного спектра видно, что

полезная составляющая тока детектора с частотой Ω является комбинационной разностной частотой между несущей и одной из боковых:

ω 0 - (ω 0 - W) = W ;

(ω 0 + W) - ω 0 = W ;

Разностная частота между боковыми дает вторую гармонику полезного сигнала,

(ω 0 + W) - (ω 0 - W) = 2W ;

которая является помехой, создающей нелинейные искажения полученного сигнала.

Для выделения из всего спектра тока низкочастотных сигналов, в качестве нагрузки нелинейного элемента применяют ФНЧ, а в простейшем случае - параллельное соединение Rн и Cн, сопротивление которых zн(ω) велико на низких частотах и очень мало на частотах вблизи несущей ω0. Избавиться от второй гармоники 2Ω с помощью фильтра невозможно (кроме частных случаев), т.к. спектр модулирующего сигнала достаточно широк и

рассматриваемый сигнал с частотой Ω и его гармоники могут оказаться в пределах полосы пропускания ФНЧ. Появление второй гармоники при

детектировании связано с работой на квадратичном участке ВАХ и практически всегда существует при малых амплитудах входных сигналов.

Для больших сигналов на входе детектора ВАХ нелинейного элемента может быть аппроксимирована кусочно-линейной функцией, причем напряжение отсечки u0(1) для диода обычно считают нулевым.

ìsu		при	u ³ 0
i = í	0		u < 0
î
В практических схемах детекторов с этой целью часто вводят
смещение, компенсирующее напряжение отсечки.
Пусть на входе действует			АМ сигнал uΒΧ = Um (t)cosω 0t .

Напомним, что Um (t) является медленно меняющейся функцией времени (по

	сравнению с быстрым изменением			текущей фазы	ω 0t ). За	один период
	высокочастотного колебания Твч =	2π		амплитуда (огибающая) АМ сигнала не
		ω 0
	успевает заметно измениться (при			выполнении	условия	W << ω 0 ). Это

позволяет считать форму АМ сигнала за один период Твч - гармонической (точнее - квазигармонической) и при выводе расчетных соотношений пользоваться методом угла отсечки. Напряжение на выходе цепи:

u вых =UΗD + u≈ состоит из медленно меняющегося слагаемого U Η 0 (будем считать его постоянным за время Твч) и быстро меняющегося второго сигнала u≈ , которое описывает переходной процесс перезаряда конденсатора Сн. При правильно выбранной емкости Сн u≈ << UΗ0 , поэтому величиной u≈ для количественных расчетов можно пренебречь, т.е. u вых =UΗ0 (t) .

Рис. 5.2. Схема диодного детектора.

К диоду детектора (рис. 5.2) приложена разность напряжений между входом и выходом:

u = Um (t)cosω 0 t - UΗ 0 (t) ;

(5.1)

При ω 0t = θ : 0 = Um (t)cosθ - UΗ0 (t) ,

cosθ = UΗ0 (t) .

(5.2)

При ω0t = 0 :

Um (t)

umax = Um (t) - UΗ0 (t) = Um (t)[1- cosθ].

(5.3)

Вычислим постоянную составляющую тока:

I0 = α 0 (θ)imax = α0 (θ) umax = Um (t)[1- cosθ]

α 0 (θ)

;

R

R

i

i

Выходное напряжение детектора:

UΗ0 (t) = I0 RΗ = U m (t)[1- cosθ ]α0

(θ )

RΗ

;

Ri

Разделим обе части уравнения на Um (t) ,

cosθ = (1- cosθ)α0

(θ)

RΗ

; или

RΗ

=

cosθ

;

α0

(θ)(1- cosθ)

Ri

Ri

θ является

Из

последнего

выражения

следует, что

угол отсечки

æ

ö

сложной

функцией

отношения

сопротивлений

θ = f ç

RΗ

÷

,

причем нет

è Ri ø

никакой зависимости угла отсечки от амплитуды сигнала Um (t) . Следовательно, при выбранных параметрах схемы детектора RΗ и Ri = S1 угол отсечки θ = const , следовательно и cosθ = const . Из выражения (5.2) имеем:

UΗ0 (t) = Um (t)cosθ

(5.4)

Из последнего выражения следует, что выходное напряжение детектора с точностью до постоянного коэффициента (cosθ=const) повторяет огибающую входного сигнала Um (t) . Следовательно, в рассмотренном случае (больших сигналов) детектирование происходит без искажений.

Чтобы ответить на вопрос, где находится граница слабых и сильных сигналов, следует снять (или рассчитать) так называемую характеристику детектирования I0 = ϕ(Um ) при m=0 (рис.5.3).

Рисунок 5.3 Характеристика детектирования Работа АМ детектора в режиме малых (1) и больших (2) сигналов

Эта характеристика по смыслу обратна статистической модуляционной характеристике амплитудного модулятора: она показывает, как меняется ток I0 (а следовательно и UΗ0 (t) = I0 RΗ ) при изменении амплитуды входного сигнала. Напомним, что полезная информация в АМ сигнале заключена в его огибающей. Если последняя приходится на линейный участок характеристики детектирования, то искажения при детектировании отсутствуют. При малых сигналах (участок левее точки А на рис. 5.3) нет пропорциональности I0 амплитуде входного сигнала, следовательно

выходное напряжение детектора не соответствует огибающей входного сигнала, т.е. при малых сигналах детектирование сопровождается искажениями. Граница линейного участка (точка А) характеристики детектирования соответствует границе слабых и сильных сигналов.

Рассмотренная характеристика детектирования позволяет определять условия, при которых искажения отсутствуют - выбрать амплитуду несущей на входе детектора и максимально допустимую глубину модуляции mmax .

Переходные процессы при работе амплитудного детектора.

Как было показано выше, ток, протекающий через диод, для случая больших сигналов имеет вид косинусоидальных импульсов с углом отсечки θ, зависящем от отношения RΗ / Ri и не зависящем от амплитуды (огибающей сигнала). При отсутствии ёмкости Сн весь этот ток протекает через нагрузочный резистор Rн и, в соответствии с законом Ома форма тока и выходного напряжения совпадают (верхний график рисунка рис.5.4). При наличии ёмкости Сн ток i заряжает конденсатор с малой постоянной времени

τзар= RiСн (напомним, что Ri должно быть << Rн ). В паузах между импульсами тока i происходит разряд Сн через Rн (в это время диод заперт Ri

= ∞). Выходное напряжение uвых=uc убывает по экспоненциальному закону с постоянной времени разряда τразр= RнСн. Рассмотрим три случая формирования выходного напряжения при разных τраз.

Рисунок 5.4 Форма тока диода и выходное напряжение детектора при различных τраз. Пунктиром показана огибающая сигнала

Напомним, что полезная информация в АМ сигнале заключена в форме огибающей. При нормальной работе детектора его выходное напряжение должно соответствовать огибающей входного сигнала (пунктирная линия на рис.5.4).

При малой постоянной времени разряда τразр выходное напряжение имеет значительные "зубцы", вызванные присутствием высокочастотных продуктов нелинейного преобразования АМ сигнала (см. рис.5.4, кривая 1).

При увеличении τразр получим ослабление высокочастотных "зубцов" и форма uвых приближается к форме огибающей (кривая 2 на рис.5.4).

При слишком большой τразр конденсатор Сн разряжается достаточно медленно и не успевает "следить" за огибающей, в результате чего диод оказывается запертым до тех пор, пока напряжение на выходе детектора не станет меньше огибающей на входе. Таким образом, в течение нескольких

периодов Твч нижние участки огибающей преобразуются в детекторе в отрезки экспонент, то есть возникают искажения формы сигнала (случай 3 на рис.5.4).

Для того, чтобы избежать искажений, подобных случаю 1 на рис. 5.4 (большие "зубцы" на выходном сигнале) следует выбрать τ разряда так,

чтобы за время, равное периоду ВЧ сигнала (Твч =	2π	) выходное напряжение
не должно заметно измениться, то есть	ω 0
τразр >> Твч	(5.5)

Для того, чтобы избежать искажений вида 3 на рис.5.4 , надо

поставить условие τразр << Тнч , где Тнч = 2Ωπ - период модулирующего (низкочастотного)

сигнала.

Это означает, что конденсатор Сн должен успевать разряжаться за период огибающей. Очевидно, что наиболее важно выполнить это условие на максимальной частоте модуляции Ωmax , когда огибающая меняется наиболее быстро. Поэтому :

		τразр <<		2π				(5.6)
				Ωmax
Оптимальное значение τразр найдем из совмещения условий (5.5) и (5.6):
		2π	<< RнСн <<			2π		(5.7)
						Ωmax
		ω 0
Учитывая, что ω 0	>> Ωmax ,		удовлетворить этому двойному неравенству
несложно. Так, например, для			радиовещательного сигнала					Fmax = 4,5кГц;
Ωmax = 2πFmax ; ω 0 = 2πf0 ;	f0 = fΠΡ = 465кГц.

1

1

;

<<

RΗ CΗ <<

465 103

4,5 103

2,15 10−6 << R C

Η

<< 2,22 10−4

Η

Выберем R

C

= 2 10−5 c ;

обычно R

= 10 кОм (потенциометр регулятора

Η Η

τ

2 10

−5

Η

громкости). Тогда C

Η

=

ΡΑ3Ρ =

= 2 10−9 = 2 нФ.

10

RΗ

4

Число "зубцов" на выходной осциллограмме за один период

модулирующего сигнала определится соотношением частот:

ω 0

=

f0

=

465 103

≈ 103.

Fmax

Ωmax

4,5 103

Иначе говоря, огибающая выходного сигнала "строится", как минимум, по 103 точкам за один период (Тнч). Для более низких частот модуляции число этих точек соответственно возрастает. Поэтому размеры "зубцов" на выходной осциллограмме детектора оказываются весьма малыми (менее 1%).

В лабораторной работе соотношение частот Ff0 выбрано достаточно малым

(около 15) для того, чтобы сделать переходные процессы более заметными. (На рассмотренном выше рисунке это соотношение равно 7).

Синхронный детектор

Для детектирования сигналов без несущей (БМ, ОБП) используют так называемый синхронный детектор, упрощенная

функциональная схема которого состоит из аналогового перемножителя сигналов и ФНЧ (рис. 5.5). Блок опорного напряжения uоп (здесь подробно не рассматривается) содержит ряд сложных узлов, которые позволяют выделить из принимаемого сигнала остаток несущего колебания (так называемый "пилот-тон"), усилить его и использовать для синхронизации местного генератора несущей. В результате действия блока фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) опорное напряжение имеет частоту и начальную фазу такие же, как у подавленной несущей.

Рис. 5.5. Синхронный детектор.

Рассмотрим работу синхронного детектора в предположении, что частота несущего колебания восстановлена точно, а начальная фаза отличается на ϕ0:

uΟΠ = Um cos(ω 0 t + ϕ 0 ) 1. Сигнал с балансной модуляцией :

u БМ = Um0 cos(ω 0t )cosΩt = 21Um0 cos(ω 0 + Ω)t + 12 Um0 cos(ω 0 − Ω)t .

На выходе перемножителя имеем:

uΧ = kuΒΧ uΟΠ = k2 Um0Um cosΩt[cos(2ω 0 + ϕ 0 ) + cos(−ϕ 0 )] = k2 Um0Um cosΩt cos(2ω 0 t + ϕ 0 ) + + k2 Um0Um cosΩt cosϕ 0 .

ФНЧ пропустит только низкочастотный сигнал (второе слагаемое):

	u ВЫХ =	k	Um0Um cosΩt cosϕ 0 .
		2

Частные случаи:

а) ϕ 0 = 0 ; u ВЫХ = k2 Um0Um cosΩt. Детектирование проходит нормально. б) ϕ 0 = 900 ; u ВЫХ = 0. Сигнал на выходе отсутствует.

в) ϕ 0 = 1800 ; u ВЫХ =− k2 Um0Um cosΩt.Сигнал на выходе инвертируется.

Из этих частных случаев ясно, что допустим только небольшой фазовый сдвиг ϕ 0 в пределах, где cosϕ 0 ≈ 1. При сдвиге частоты опорного колебания всего на 1Гц, рассмотренные частные случаи будут сменяться каждые четверть секунды, и прием сигналов станет невозможен.

2. Сигнал с ОБП:			uΒΧ = u ОБП =Um1 cos(ω 0 + Ω)t.После перемножителя
получим:
uX = kuΒΧuΟΠ = kUm1 cos(ω0 + Ω)t[Um cos(ω0t + ϕ0 )]=
	k			k
=		Um1Um cos[(ω0 + Ω + ω0 )t + ϕ0 ]+			Um1Um cos[(ω0	+ Ω − ω0 )t − ϕ0 ].
	2			2

После ФНЧ останется только второе слагаемое (низкочастотный сигнал):

u ВЫХ = k2 Um1Um cos(Ωt −ϕ0 ) .

Отсюда видно, что начальная фаза опорного колебания входит в выражение низкочастотного сигнала также в виде начальной фазы. Для передачи вещательных сигналов (речь, музыка) начальная фаза (если она не изменяется быстро) существенной роли не играет. Небольшие сдвиги

частоты опорного колебания также допустимы для передачи речевых сигналов (при этом может измениться тембр голоса). Для передачи

музыкальных программ даже небольшой сдвиг частоты опорного колебания

вызовет заметные искажения (так как гармоники музыкального звучания после сдвига частоты уже не будут в кратных соотношениях).

Кроме БМ и ОБП, синхронный детектор позволяет детектировать обычные АМ сигналы, в том числе и при m>1, а так же сигналы с фазовой модуляцией.

Приложение

К лабораторным работам №17 и 18

КОЛЕБАНИЯ С УГЛОВОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ

Напомним, что для описания модулированных колебаний удобно использовать квазигармоническую форму:

			i(t) = Im (t)cosΦ(t)				(6.1)
где	Φ(t) = ω0t +		ϕ(t) +ϕ0				(6.2)
ω0t - текущая фаза;
ϕ(t) - девиация (отклонение) фазы;
ϕ0 - начальная фаза.				огибающая Im(t) не
При		угловой	модуляции			изменяется:
Im (t) = Im0 = const ,		а изменению подвергается либо			девиация фазы,		либо её
производная.
Фазовая модуляция (ФМ) – вид модуляции, при которой
девиация фазы пропорциональна модулирующему сигналу uC(t):							(6.3)
			ϕ(t) = KФМ uC (t)
где KФМ	- константа, характеризующая работу модулятора.
Для		частного	случая –	тональной	ФМ, когда	в	качестве

модулирующего сигнала используется гармонический сигнал низкой частоты ( Ω << ω0 ):

uC (t) = Umc cosΩt

При этом девиация фазы согласно (6.3):

ϕ(t) = KФМUmc cosΩt = MФМ cosΩt	(6.4)
где MФМ = KФМ U mc = ϕMAX - индекс фазовой модуляции,	имеющий

смысл максимальной девиации фазы. Подставив (6.4) в (6.1), получим выражение для тональной ФМ:

iФМ (t) = Im0 cos[ω0t + MФМ cosΩt]	(6.5)
(в этом выражении и далее будем полагать, что начальная фаза	ϕ0 = 0 ).

Частотная модуляция (ЧМ) – вид модуляции, при котором

девиация частоты пропорциональна модулирующему сигналу

		Dω(t) = KЧМ uC (t)			(6.6)
Здесь KЧМ - константа, характеризующая работу модулятора. Возьмем
производную от полной фазы (6.2)
ω(t) =	d	F(t) = ω0 +	d	[Dϕ(t)]= ω0 + Dω(t)
	dt		dt
Здесь мгновенная частота сигнала			ω(t)		равна сумме несущей частоты

ω0 и девиации частоты ω(t) , управляемой модулирующим сигналом.

Напомним, что в каждый момент времени мгновенная частота сигнала имеет только одно значение, в то время как спектр сигнала может состоять из большого числа частотных составляющих.

Рассмотрим частный случай тональной ЧМ:

uC (t) = Umc cosWt ,		Dω(t) = KЧМU mc cosWt = DωMAX cosWt .
Для этого случая мгновенная частота
	ω(t) = ω0 + Dω(t) = ω0 + DωMAX cosWt .
Интегрируя по τ, перейдем к полной фазе
φ(t) = òt ω(τ )dτ = òt ω0 dτ + òt			DωMAX cosWτdτ =
0	0	0
		= ω0t + DωMAX sin Wt = ω0t + M		ЧМ sin Wt	(6.7)
Здесь MЧМ = DωMAX			W
	- индекс частотной модуляции, имеющий смысл
W
максимальной девиации фазы. Подставляя (6.7) в (6.1), получим
	iЧМ (t) = Im0 cos[ω0t + MЧМ sin Wt].				(6.8)

Спектры ФМ и ЧМ сигналов

Из сопоставления выражений для тональных ФМ и ЧМ следует, что они отличаются только начальной фазой, что дает возможность

рассматривать их как одно общее колебание с угловой модуляцией

iУМ (t) = Im0 cos[ω0t + M sin Wt].	(6.9)
Представим это выражение в комплексной форме (аналитический
сигнал):
I&УМ (t) = Im0e j[ω0t+M sin Ωt ] = Im0e jω0t × e jM sin Ωt ;	(6.10)
Здесь последний сомножитель является периодической функцией
времени; разложим его в ряд Фурье
∞
e jM sin Ωt = åJ K (M )e jKΩt .	(6.11)

K =−∞

Коэффициентами разложения являются функции Бесселя первого рода К-го порядка от индекса модуляции (рис. 6.1).

Подставив (6.11) в (6.10), получим