- •Институт социальных и гуманитарных знаний
- •Isbn удк ббк
- •Раздел 1
- •Раздел 2
- •Тема 8 Вариационные ряды
- •Раздел 3
- •Тема 9
- •Тема 10
- •Тема 11
- •Тема 12
- •Тема 13
- •3Адание:
- •Раздел 4
- •Тема 14
- •Тема 15
- •Тема 16
- •Раздел 5
- •Тема 17
- •3Адание:
- •Тема 18
- •Тема 19
- •3 А д а н и е
- •Раздел 6
- •Тема 22
- •Тема 23
- •Раздел 7
- •Раздел 7 пособия ознакомит вас с некоторыми положениями регрессионно - корреляционного анализа взаимосвязей процессов и явлений, составляющего важную познавательную задачу статистики.
- •Тема 24
- •Тема 25
- •Тема 26
- •3 А д а н и е
- •3 А д а н и е
- •Тема 27
- •Раздел 8
- •Тема 28
- •Тема 29
- •Тема 30
- •Значения t-критерия Стьюдента (двухсторонний критерий)
- •Литература.
Тема 10
Виды средних величин.
После изучения этой темы вы сможете:
обосновать выбор формулы средней величины;
раскрыть содержание и особенности расчета средних величин разных видов;
объяснить свойства средней арифметической как наиболее распространенной в статистике.
В предыдущем теме говорилось о средних как о едином статистическом показателе, поскольку мы касались общей методологии средних. В действительности же, в зависимости от поставленных задач, существуют различные их виды, но наиболее часто применяются четыре: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая и средняя геометрическая. Каждая из них имеет свои особенности и формулу расчета, свою область применения.
Общий вид степенной средней ():
- простая;
- взвешенная,
где x - варианта
z - показатель степени, определяющий вид средней.
f – частота или вес
Если показатель z=1, то средняя называется арифметической и имеет формулы:
- простая;
- взвешенная.
Средняя гармоническая получается при подстановке в формулу степенной средней значения z = -1:
- простая;
- взвешенная.
Средняя гармоническая используется в том случае, если неизвестны частоты признаков, а данные представлены объемом признака (x*f) и вариантами признака.
Если показатель z = 0, то получим при логарифмировании, а затем потенцировании формулы (1) среднюю геометрическую:
- простая;
- взвешенная,
где П - произведение вариантов в степени m: .
Сама форма средних в абстрактном виде подробно рассматривается в математической статистике. Общая теория статистики дает им смысловую, социально-экономическую интерпретацию.
Выбор формулы средней в статистике обусловлен материальным содержанием изучаемых явлений, характером имеющейся информации и самой целью расчета средней величины.
В частности, природа общественных явлений такова, что количественные признаки их в подавляющем большинстве случаев осредняются по средней арифметической, когда на промежуточном этапе обобщения происходит суммирование значений осредняемого признака в первой степени, и затем эта сумма делится на число единиц взятой совокупности. Недаром средняя арифметическая считается основной формой средних, применяемых в статистике. И практически нет ни одной области явлений, где бы эта форма средней не использовалась. Она в полной мере отвечает и общему правилу исчисления средних величин, а именно: все промежуточные операции, связанные с расчетом средних, должны давать значимые результаты.
Признак, по которому находится средняя, т. е. осредняемый признак, обычно обозначается х.
Величину признака каждой единицы совокупности назовем вариантом изу-чаемого признака, и отдельные варианты обозначим через х,, х1, х2,…….Xn; п - число единиц изучаемой совокупности. Саму среднюю обозначим той же буквой, что и осредняемый признак, лишь с чертой наверху. Тогда формула средней арифметической будет
Расчет средней значительно упростится, если в числителе осуществим приведение подобных членов и выделим группы, объединяющие одинаковые варианты. Приняв частоту повторения соответствующих вариантов за f (или m как в формуле выше) получим
Различают средние простые и взвешенные. Первая средняя называется простой, а вторая называется взвешенной. В ней варианты взвешиваются на частотах f что лишь упрощает расчет простой средней. В средних взвешенных варианты взвешиваются по значениям других признаков, но связанных с осредняемым.
Скажем, при определении средней выработки продукции на одного рабочего по выделенным группам в качестве веса для групповых средних выступит численность рабочих в этих группах.
Статистическим весом и называются числа, учитывающие значение величины признака (варианта) у отдельной единицы совокупности. Обычно их обозначают буквой f (или реже m). Статистический вес может быть представлен и относительными величинами структуры (частостями), т.е. долей каждой частоты в общей сумме всех частот .
Применяя эти веса, получим еще одну формулу средней арифметической взвешенной: . Если частоты подсчитываются в долях (коэффициентах), то , и тогда формула средней упрощается:.
Вопрос о выборе простой и взвешенной средней решается в зависимости от осредняемого признака. Если он первичный, то используется простая средняя, если этот признак вторичный, то осреднение производится по взвешенной средней.
В частности, по средней взвешенной осредняются ранее подсчитанные средние и относительные показатели, как вторичные признаки. И здесь в качестве весов берутся знаменатели отношений, в результате которых получены осредняемые признаки.
Остальные формы средней величины имеют более узкое, частное применение, и прежде всего в тех случаях, когда использование средней арифметической может привести к грубым ошибкам или вообще невозможно. Средняя гармоническая представляет собой величину, обратную средней арифметической, исчисленной из обратных значений признака.
Формула средней гармонической следующая:
простая ; взвешенная
где f - частота, вес признака;
х – величина или варианта, для которой вычисляется средняя.
Практически она исчисляется в тех случаях, когда необходимые веса в исходных данных прямо отсутствуют, а входят сомножителем в один из имеющихся показателей.
В частности, так определяется средняя цена товара по сети магазинов при наличии данных о стоимости (в формуле —f) и цене (х) его продаж в отдельных магазинах, или средняя заработная плата работников фирмы при имеющихся данных о фонде заработной платы и средней заработной плате в отдельных ее подразделениях.
Средняя квадратическая применяется в тех случаях, когда приходится осреднять величины, входящие в исходную информацию в виде квадратных функций.
Как будет показано в дальнейшем, они широко используются для расчета показателей вариации. Формула средней квадратической величины следующая:
простая ; взвешенная
Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда мы имеем дело не с суммой вариант, а их произведением, и, в частности, с коэффициентами роста в динамических рядах.
Более подробно об этом будет сказано в дальнейшем. Саму формулу этой средней можно записать
где П - символ произведения;
п - число вариантов (в частности, коэффициентов роста).
Число вариантов будет всегда на единицу меньше, чем число членов ряда.
По правилу мажорантности средних, x (квадратическое) > х (арифметическое) >х(гармоническое) > x(геометрическое).
Задание:
Приведите примеры использования статистических средних в экономических расчетах, желательно связанных с вашей деятельностью, и прокомментируйте их. Рекомендуется использовать и материалы выполняемого вами контрольного задания из темы 5.