- •Учебная программа дисциплины
- •2. Данные о дисциплине:
- •1.7 Список литературы
- •1.8 Оценка знаний согласно шкале рейтинга
- •1.9 Политика и процедура
- •Учебно-методические материалы по дисциплине
- •2.1 Тематический план курса
- •2.2 Тезисы лекционных занятий
- •2.3 Планы практических занятий
- •Оценка участия в семинарах
- •Содержание домашних заданий
- •Оценка домашних заданий
- •Содержание заданий для срсп
- •Оценка заданий для срсп
- •Матрицы и операции над ними.
- •Определители и их свойства.
- •Системы линейных алгебраических уравнений.
- •Векторы. Линейные операции над векторами.
- •Нелиейные операции над векторами. Метод координат
- •Прямая на плоскости.
- •Кривые 2-го порядка.
- •Уравнение плоскости.
- •Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •Функция. Действительные числа. Предел функции. Односторонние пределы функции.
- •Элементарные функции
- •Предел функции. Основные теоремы о пределах
- •Замечательные пределы. Сравнение бесконечно малых функций. Широко используются следующие два предела
- •Непрерывность функции. Классификация точек разрыва функции.
- •Производная. Правила и формулы дифференцирования.
- •Производные высших порядков. Дифференциалы первого и высших порядков и их приложения.
- •Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши). Правило Лопиталя. Приложения производной и исследование функции.
- •Исследование поведения функции и построение их графиков.
- •Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •Асимтоты.
- •Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства.
- •Интегрирование рациональных функций.
- •Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций.
- •Определенный интеграл. Условия существования определенного интеграла. Свойства определенного интеграла.
- •Проведя в точках деления a,b прямые, параллельные оси ординат, разобьем криволинейную трапецию на n частичных трапеций. В каждом частичном интервале возьмем точки 1,2,…,т, так что
- •Оценка интеграла. Теорема о среднем. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •Приложения определенного интеграла.
- •Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных.
- •Частные производные высших порядков
- •Лекции 29. Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения I порядка.
- •Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Числовые ряды.
- •Признаки сходимости рядов
- •Степенные ряды. Интервал сходимости степенного ряда. Разложение функций в степенные ряды.
- •Свойства степенных рядов.
- •Двойные и тройные интегралы.
- •Векторные и скалярные поля
- •Криволинейные интегралы
- •Случайные события. Определение вероятности.
- •Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •Формула Бернулли. Предельные теоремы.
- •Случайные величины и их числовые характеристики.
- •Задачи математической статистики. Выборочный метод. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.
- •Параметры распределения.
- •Точечные и интервальные оценки.
- •Элементы теории корреляции.
- •Статистическая проверка статистических гипотез.
Прямая на плоскости.
Важнейшим понятием аналитической геометрии является уравнение линии.
Определение. Уравнение F(x, y)=0 называется уравнением линии L (в заданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.
Любая прямая на плоскости задается уравнением первой степени относительно переменных х и у.
Прямую можно задать одним из следующих уравнений:
Уравнение прямой с угловым коэффициентом k (k – тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси Ox)
у=kх+b (1)
Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через данную точку
)
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
Уравнение прямой в «отрезках»
здесь a и b –отрезки, которые отсекает прямая на осях Ох и Оу соответственно.
Нормальное уравнение прямой
здесь р – длина перпендикулярна, опущенного из начала координат на прямую, a -угол образованный этим перпендикуляром с положительным направлением осиОх.
Уравнение прямой проходящей через точку , в данном направлении
Общее уравнение прямой
Ax=By+С=0. (7)
Здесь A, B и C постоянные коэффициенты, причем Если какой-то коэффициент равен 0, то получаем неполные уравнения прямой.
А) Если А=0, тогда By+C=0 это уравнение определяет прямую, параллельную оси Ох.
б) Если В=0, то уравнение Ax+C=0 определяет прямую, параллельную оси Оу.
в) Если С=0, то уравнение Ax+By=0 задает прямую, проходящую через начало координат.
Г) Если А=С=0, то уравнение By=0 определяет прямую совпадающую с осью Ох.
Д) При В=С=0 прямая Ах=0 совпадает с осью Оу.
Прямые на плоскости могут пересекаться, быть параллельными или перпендикулярными.
Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом
y=k1x+b1 и y=k2x+b2 , (8)
то острый угол между прямыми определяется по формулам
. (9)
Если же прямые заданы общими уравнениями
А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2=0, (10)
то угол между ними можно найти по формулам
(11)
Пусть прямые заданы уравнениями (8). Прямые параллельны, если tg a=0, тогда
k2=k1 (12)
условие параллельности двух прямых. Условие перпендикулярности определяет равенство
(13)
Если прямые заданы уравнениями (10), то условия параллельности и перпендикулярности примут вид:
, (14)
А1А2+В1В2=0. (15)
Лекция 5
Кривые 2-го порядка.
К кривым 2-го порядка относятся окружность, эллипс, гипербола и парабола.
Определение 1. Окружность – это геометрическое место точек плоскости равноудаленных от данной точки (центра), расстояние на которое удалены точки окружности от центра называется радиусом.
Каноническое уравнение окружности радиуса R с центром в точке O (a; b) имеет вид
Определение 2. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (обозначают 2а), большая, чем расстояние между фокусами (2а>2с).
Каноническое уравнение эллипса имеет вид
где . Числоc – половина расстояния между фокусами, числа a и b называют большой и малой полуосями эллипса. В случае a=b эллипс представляет из себя окружность радиуса a с центром в начале координат. Форма эллипса характеризуется эксцентриситетом
Расстояние от некоторой точки М эллипса до его фокусов называются фокальными радиусами этой точки. Они вычисляются по следующим формулам
,
здесь знак «+» берется для левого фокального радиус-вектора, а знак «-» – для правого фокального радиус вектора.
Определение 3. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусам, есть величина постоянная (обозначают 2а), меньшая, чем расстояние между фокусами (2а<2с).
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид
где . Числоc – половина расстояния между фокусами, числа a и b называют действительной и мнимой полуосями гиперболы. Форма гиперболы характеризуется эксцентриситетом
Расстояние от некоторой точки М эллипса до его фокусов называются фокальными радиусами этой точки. Они вычисляются по следующим формулам
,
здесь знак «+» берется для левого фокального радиус-вектора, а знак «-» – для правого фокального радиус вектора.
Если a=b, то уравнение
или
определяет равнобочную гиперболу.
Две гиперболы, определяемые уравнениями
называются сопряженными.
Определение 4. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
Если директрисой параболы является прямая , а фокусом – точкаF(p/2;0), то уравнение параболы имеет вид
Эта парабола расположена симметрично относительно оси абсцисс. Длина фокального радиуса – вектора определяется по формуле
Уравнение
является уравнением параболы, симметричной относительно оси ординат.
Лекция 6