Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Уравнение вида:

,

где - заданные непрерывные функции отх, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка, а соответствующее ему уравнение:

- линейным однородным.

Если и- какие-нибудь два линейно независимых частных решения однородного дифференциального уравнения второго порядка, то его общим решением служит функция:

_.

Функции иназываютсялинейно независимыми, если при постоянных итождествовыполняется тогда и только тогда, когдаЕсли же хотя бы одна из них отлична от нуля, а тождествовозможно, то эти решенияиназываютсялинейно зависимыми.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка есть сумма его частного решения и общего решения соответствующего ему линейного однородного дифференциального уравнения:

,

где - частное решение неоднородного, а- общее решение однородного уравнения.

Пусть требуется решить линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка:

,

в котором и- постоянные величины.

Найдём частные решения дифференциального уравнения в виде . Тогда,. Подставив выражения,ив исходное уравнение, получим:

.

Так как , то получим уравнение

,

которое называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.

Таким образом, является частным решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если- корень характеристического уравнения.

В зависимости от дискриминанта корни характеристического уравнения могут быть:

1) действительными и различными , тогда частные решенияи, а общее решение:

,

2) действительными и равными , тогда частные решенияи, а общее решение:

,

4. комплексными ,, тогда частные решения и _, а общее решение:

_.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка:

,

в котором и- постоянные величины, находится как:

,

где - частное решение неоднородного, а- общее решение однородного уравнения.

,

Общее решение однородного уравнения, как известно, находится с помощью характеристического уравнения, а частное решение неоднородного уравнения находится в зависимости от вида функции .

5. Если есть многочлен-ой степени:

,

в частности, многочлен второй степени (), то частное решение неоднородного уравнения ищется в виде:

а) при и;

б) при и;

в) при инеоднородное дифференциальное уравнение принимает вид: , решение которого находится непосредственным двукратным интегрированием, т.е., затем,.

2. Если - показательная функция, т.е. (), точастное решение неоднородного уравнения ищется в виде:

а) , если коэффициентне является корнем характеристического уравнения, т.е.;

б) , если коэффициентявляется однократным корнем характеристического уравнения, т.е.;

в) , если коэффициентявляется двукратным корнем характеристического уравнения, т.е..

3. Если - тригонометрическая функция, т.е. , то частное решениенеоднородного уравнения ищется в виде:

а) , если;

б) если, а.