Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Важную роль в теории вероятностей играют следующие две теоремы.

Теорема 1. Вероятность суммы двух событий равна суме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления, т.е.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-P(AB).

В случае если события А и В несовместны, то данная формула принимает следующий вид

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Определение. Вероятность события А при условии, что произошло событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается так:

Р(А/В)=Р_в(А).

Определение. Два события А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или не появления другого, т.е.

и .

В противном случае события называются зависимыми.

Теорема 2. Вероятность произведения (совмещения) двух событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что первое имеет место, т.е.

Р(АВ)=Р(А)Р_А(В).

В случае если события А и В независимы, то данная формула записывается в следующем виде

Р(АВ)=Р(А) Р(В).

Предположим, что событие B может осуществиться с одним и только одним из n несовместимых событий A₁, A₂, …, A_n. Иными словами, положим, что

(1)

где события ис разными индексамиi и j несовместимы. По теореме сложения вероятностей имеем

Использовав теорему умножения, находим, что

Это равенство носит название формулы полной вероятности и играет основную роль во всей дальнейшей теории.

Выведем теперь важные формулы Байеса или, как иногда говорят, вероятности гипотез. Пусть по прежнему имеет место равенство (1). Требуется найти вероятность события A_i, если известно, что событиеBпроизошло. Согласно теореме умножения имеем

Отсюда

используя формулу полной вероятности, находим, что

Формула Бернулли. Предельные теоремы.

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А. Здесь нами рассматриваются независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события одинакова.

Формула Бернулли. Вероятность того, что п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0<p<1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), равна

или

где

Вероятность того, что событие наступит: а) менее k раз; б) более k раз; в) не менее k раз; г) не более k раз – находят соответственно по формулам:

а)

б)

в)

г)

Для достаточно больших значений n вычисления по выше указанным формулам практически невозможны. В этом случае можно воспользоваться так называемыми предельными теоремами.

Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0<p<1), событие наступит ровно k раз, приближенно равна

где

Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0<p<1), событие наступит не менее k₁ раз и не более k₂ , приближенно равна

где

- функция Лапласа.