Числовые ряды.

Пусть дана числовая последовательность .

Выражение вида называется числовым рядом или просто рядом.

При этом числа называются членами ряда, а член с произвольным номером —общим членом ряда.

Суммы конечного числа членов ряда:

называются частичными суммами ряда. Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность частичных сумм .

Если все члены ряда положительны, то ряд называется знакоположительным.

Ряд называется сходящимся, если предел -частичной суммы существует и конечен, т.е., в противном случае говорят, что рядрасходится. При этом называется суммой ряда.

Ряд: ,

где - знаменатель геометрической прогрессии, называется рядом геометрической прогрессии.

-частичная сумма ряда геометрической прогрессии равна:

=.

Ряд геометрической прогрессии является сходящимся при (его сумма )и расходящимся при .

Свойства сходящихся рядов:

6. Если сходится ряд:

то сходится и ряд

и обратно, если сходится второй ряд, то сходится и первый.

Другими словами, на сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа его первых членов.

2. Если ряд сходится и его сумма равна , то и ряд ,где с — некоторое число, также сходится, и его сумма равна .

7. Если ряды и сходятся и их суммы соответственно равны и, то и ряд cходится и его сумма равна .

Таким образом, установлено, что сходящиеся ряды можно умножать на число, почленно складывать и вычитать так же, как и конечные суммы.

Необходимое и достаточные условия сходимости ряда.

При рассмотрении рядов возникают две задачи: 1) исследовать ряд на сходимость и 2) зная, что ряд сходится, найти его сумму. Будем решать в основном первую задачу, имеющую теоретический характер. Приведем необходимое условие сходимости рядов.

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е. =0.

Числовой ряд:

называется гармоническим рядом.

Только невыполнение необходимого условия сходимости позволяет делать определённый вывод, а его выполненине, как в данном случае , не позволяет судить о сходимости.

Лекция 42

Признаки сходимости рядов

Перейдем теперь к рассмотрению некоторых достаточных условий сходимости рядов с неотрицательными членами.

Для того чтобы, ряд снеотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена.

Это значит, что последовательность его частичных сумм имеет предел. Всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.

Установим ряд признаков, позволяющих сделать вывод о сходимости (расходимости) рассматриваемого ряда.

Признак сравнения.

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами и и для всех n выполняется неравенство . Тогда: из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Признак Даламбера (Даламбер Жан Лерон (1717-1783)-французский математик, механик и философ-просветитель).

Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел .Тогда: а) при ряд сходится; б) при ряд расходится.

Интегральный признак.

Пусть дан ряд ,члены которого являются значениями некоторой функции , положительной, непрерывной и убывающей на полуинтервале .

Тогда, если сходится, то сходится и ряд ;

если же расходится, то ряд также расходится.

Гармонический ряд:

расходится, так как .

До сих пор мы рассматривали ряды с неотрицательными членами. Ряды с неположительными членами отличаются от соответствующих рядов с неотрицательными членами только множителем (-1), поэтому вопрос об их сходимости решается аналогично.

Перейдем теперь к рассмотрению знакочередующихся рядов, члены которых имеют чередующиеся знаки. Для удобства будем считать, что первый член такого ряда положителен. Тогда знакочередующийся ряд можно записать в виде:

, где .

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий очень простой достаточный признак сходимости.

ПризнакЛейбница.

Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда монотонно убывают: и общий член ряда стремится к нулю , то ряд сходится.

Рассмотрим теперь ряды с членами произвольных знаков. Такие ряды называются знакопеременными рядами.

Возьмем какой-нибудь знакопеременный ряд

,

где числа могут быть как положительными, так и отрицательными, причем расположение положительных и отрицательных членов в ряде произвольно.

Абсолютная и условная сходимость рядов.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей его слагаемых:

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится, но ряд из модулей его слагаемых расходится.