2.3 Планы практических занятий

ПЗ №1. Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии.

1. Разбор домашнего задания №1.

2. 1) Найти произведение двух квадратных матриц одного порядка: С=АВ, где

2) Умножить матрицу А на В: С=АВ:

3) Привести матрицу А к ступенчатому виду и определить ее ранг:

4) Методом Гаусса найти матрицу, обратную матрице

5) Вычислить матрицу А^-1, обратную матрице

6) Найти общее или единственное решение однородых систем:

7) Вычислить определители заданных матриц:

ПЗ №2. Элементы векторной алгебры и матричного анализа. Элементы аналитической геометрии.

1. Разбор домашнего задания №2

2. 1) Даны векторы и. Найти косинус угла между векторамии.

2) При каком значении векторыиортогональны (угол между ними равен)? Векторы и.

3) Вычислить угол между векторами и, если,.

4) Составить уравнения всех сторон треугольника АВС, где А(3,2), В(5,-2) и С(5,2). Найти их длины.

5) Через точки А(1,-2) и В(5,4) проведена прямая. Составить уравнения прямых, проходящих через точку С(-2,0) перпендикулярно и параллельно прямой АВ. Вычислить растояние от точки С до прямой АВ.

6) Привести к каноническому виду уравнение кривой . Определить ее тип, вычислить основные параметры.

7) Написать уравнение прямой, проходящей через точку М₀(-1,2,1) и

а) имеющий направляющий вектор ;

b) перпендикулярной плоскости 3x-y-2z+1=0;

с) проходящей через точку М₀ и М₁(3,2,4).

ПЗ № 3. Введение в анализ. Пределы и непрерывность.

1. Разбор домашнего задания №3

2. Найти пределы: 1) ; 2)

3) ; 4); 5)

6) ; 7)

ПЗ №4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Производная. Дифференциал функции.

1. Разбор домашнего задания №4

2. Пользуясь определением производной, найти производный функций: 1) y=C, где C=const; 2) ; 3) y=sinx

Найти производные функций и вычислить их значения при x=2 и x=0:

1) ; 2); 3)

Найти производные следующих функций: 1) y=sin⁵x; 2) y=cos5x; 3) y=ln(x²+1); 4) y=7^8x-3; 5) y=(1-2x)⁵⁰

ПЗ №5. Приложение производной. Функции нескольких переменных.

1. Разбор домашнего задания №5

2. 1) Найти интервалы монотонности и точки эксремума функции . Вычислить наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке.

2) Найти интервалы монотонности и точки эксремума функции . Вычислить наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке.

3) Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой.

4) Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой.

ПЗ №6. Интегральное исчисление.

1. Разбор домашнего задания №6

2. Найти неопределенные интегралы:

; 2) ; 3); 4)

5) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y²=9x и y=3x.

6) Найти площадь фигуры, ограниченной равнобочной гиперболой xy=4 и прямой x+y=5.

7) Определить длину половины окружности x²+y²=9.

ПЗ №7. Дифференциальные уравнения.

1. Разбор домашнего задания №7

2. Найти общее решение: 1) ; 2) ; 3)

Решите задачу Коши: 1) ;

2)

ПЗ №8. Ряды. Числовые ряды.

1. Разбор домашнего задания №8

2. 1) Найти общий член ряда: ;

2) Найти сумму ряда: ;

3) Исследовать сходимость ряда: ;

4) Исследовать сходимость ряда: ;

5) Исследовать сходимость ряда: .

ПЗ №9. Введение в теорию вероятностей.

1. Разбор домашнего задания №9

2. 1) Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна семи.

2) В ящике содержится 10 одинаковых деталей, помеченных номерами 1, 2, ..., 10. Наудачу извлечены 6 деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей окажется деталь №1.

3) В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 3 человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.

4) Вероятность успешной попытки выполнить упражнение для каждого из двух спортсменов равна 0,5. Спортсмены выполняют упражнение по очереди. Причем каждый делает по две попытки. Выполнивший упражнение первым получает приз. Найти вероятность получения приза спортсменами.

5) Отрезок АВ длиною 15 см разделен точкой С в отношении 2:1. На этот отрезок наудачу брошены 4 точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки С и две-правее. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависист от его расположения.

6) Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

а) Х 2 4 5 6

Р 0,3 0,1 0,2 0,4

б) Х 10 15 20

Р 0,1 0,7 0,2.

Построить многоугольник распределения.

7) Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

Х -4 6 10

р 0,2 0,3 0,5.

ПЗ №10. Теория вероятностей.

1. Разбор домашнего задания №10

2. 1) Двумерная случайная величина (X,Y) имеет плотность вероятности: . Найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник, ограниченный прямыми х=0, х=1, у=0, у=1.

2) Система двух случайных величин (X,Y) равномерно распределена в треугольнике, ограниченном прямыми у=х, у=5, х=5. Найти: а) МX, МY, DX, DY; б) коэффициент корреляции .

3) Определить плотность вероятности ситемы двух положительных случайных величин X,Y по заданной функции распределения: .

4) Случайные величины X и Y независимы и нормально распределены с MX=MY=0, DX=DY=25. Найти вероятность того, что случайная точка (X,Y) попадет в кольцо: .

5) В механическом цехе работают К токарей. Вероятность того, что токарю потребуется резец данного типа, равна p. Сколько резцов данного типа должна иметь инструментальная кладовая, чтобы потребность в них была обеспечена с вероятностью 0,95?

6) Нарисуйте граф состояний для марковской цепи, вероятности перехода которой заданы матрицей .

ПЗ №11. Математическая статистика.

1. Разбор домашнего задания №11

2. 1) Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

x_i 1 4 6

n_i 10 15 25.

2) Построить полигон частот по данному распределению выборки:

x_i 1 4 5 7

n_i 20 10 14 6.

3) Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=60:

варианта x_i 1 3 6 26

частота n_i 8 40 10 2.

Найти несмещенную оценку генеральной совокупности.

4) Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания а нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если даны генеральное среднее квадратичное отклонение σ=5, выборочная средняя и объем выборкиn=25.

5) Найти коэффициент линейной корреляции между признаками Х и Y и написать уравнения прямых регрессии для корреляционной таблицы признаков:

X/Y	11	16	21	26	31	36	Ni*
25	2	4					6
35		6	3				9
45			6	45	4		55
55			2	8	6		16
65				4	7	3	14
Nj*	2	10	11	57	17	3	100

ПЗ №12. Временные ряды.

1. Разбор домашнего задания №12

2. 1) В таблице представлен ряд данных по личным потребительским расходам на косметику (млрд. долл.) с 1966 по 1975 гг. (США)

Годы	1966	1967	1968	1969	1970	1971	1972	1973	1974	1975
Расходы	5,9	6,3	6,6	6,8	7,0	7,1	7,4	7,9	7,8	7,4

Рассчитать выборочное среднее.

2) В таблице представлены данные по расходам на табак (млрд. фунтов ст.) с 1972 по 1981 гг. (Великобритания)

Годы	1972	1973	1974	1975	1976	1977	1978	1979	1980	1981
Расходы	2,75	2,92	2,89	2,75	2,65	2,52	2,75	2,73	2,69	2,49

Рассчитать выборочную дисперсию.

3) В таблице представлен ряд данных по личным потребительским расходам на косметику (млрд. долл.) с 1966 по 1975 гг. (США)

Годы	1966	1967	1968	1969	1970	1971	1972	1973	1974	1975
Расходы	5,9	6,3	6,6	6,8	7,0	7,1	7,4	7,9	7,8	7,4

Рассчитать выборочную ковариацию =0,1,2.

4) В таблице представлены дефляторы цен для личных потребительских расходов на услуги стоматологов (млрд. долл.) с 1974 по 1983 гг. (США)

Годы	1974	1975	1976	1977	1978	1979	1980	1981	1982	1983
Расходы	110,9	122,3	130,2	139,9	149,7	162,3	181,6	198,9	214,3	228,7

Найти оценку автокорреляции для =1,2..

5) В таблице представлены данные по личным потребительским расходам на газ (млн. долл.) с 1969 по 1983 гг. (США)

Годы	Расходы	Годы	Расходы
1969	6200	1980	6600
1970	6300	1981	6300
1971	6400	1982	6400
1972	6600	1983	6000
1973	6400
1974	6500
1975	6600
1976	6700
1977	6500
1978	6700
1979	6600

С помощью критерия, основанного на медиане, проверить гипотезу о неизменности среднего значения временного ряда.

ПЗ №13. Классическая линейная модель множественной линейной регрессии.

1. Разбор домашнего задания №13

2. 1) Постройте модель линейной регресии, описывающей предполагаемую зависимость среднедушевого потребления рыбы (ряд 2) от потребления мяса (ряд 1). Среднее выборочные для ряда 1 – 58,7, для ряда 2 – 10,9 соответственно. Ковариация двух рядов составляет 16,2, а вариация ряда 1 составляет 52,2.

2) Определить остаток в наблюдении в третьей точке, если ряды наблюдений имеют следующий вид:

Ряд х 57 54,7 52,2 48,9 43,3 39,7 35,1

Ряд у 1,49 1,38 1,29 1,1 0,99 0,9 0,88

Уравнение регресии определено как у=0,03х-0,21.

3) Для приведенных значений трех динамических рядов по производству, импорту и личному потреблению мяса рассчитать ковариационную матрицу.

х1	х2	х3
Пр-во	Имп.	Потребл.
10,1	1,6	11,1
9,4	1,5	10,3
8,3	1,4	8,9
7,5	1,4	8,7
6,8	1,7	8,4
5,8	2,3	8,1
5,3	2,1	7,5
4,9	3	7,4
4,7	2,3	7,1

4) Определить коэффициенты при объясняющих переменных для линейной регрессии, описывающей зависимость потребления мяса от уровня его производства и импорта (см. Данные и результаты решения задания 3)).

5) Рассчитайте коэффициент а для регрессии, описывающей зависимость потребления мяса от его производства и импорта (см. задания 3) и 5)). Используйте решения задач 3) и 4).

ПЗ №14. Коэффициент детерминации. Спецификация переменных. Мультиколлинеарность. Автокорреляция. Гетероскедастичность.

1. Разбор домашнего задания №14

2. 1) Рассчитайте коэффициент детерминации, если определенные ранее общая сумма квадратов отклонений составляет 0,35, объясненная сумма квадратов отклонений составляет 0,33.

2)Вычислить коэффициент детерминации по регрессии для мяса, полученной на предыдущих этапах, используя суммы квадратов отклонений. (данные из ПЗ№13).

3)Определите коэффициент корреляции между производством и импортом мяса. Используйте результаты решения задания 3) из ПЗ№13.

4) Рассчитайте оценку для модели потребления мяса.

ПЗ №15. Нелинейные эконометрические модели. Система одновременных уравнений.

1. Разбор домашнего задания №15

2. 1) Определить степень линейной связи между рядами, рассчитав коэфффициент корреляции, если предварительно рассчитанные ковариация, вариация 1 и вариация 2 ряда составляют соответственно 1,63; 59,86 и 0,05.

2) Оценить корреляцию между величинами, если ковариация между двумя рядами наблюдений за этими величинами составляет 11,17, вариация первого ряда 59,86, а второго ряда 2,32.

3) Для двух рядов наблюдений рассчитана cov(x,y)=16,24, var(x)=52,20, var(y)=6,41. Рассчитайте выборочную корреляцию между двумя рядами наблюдений.

Основная литература:

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов. Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко и др. 2-ое издание.М.: ЮНИТИ, 2004г. – 471с.

2. Практикум по высшей математике для экономистов. Учебное пособие для вузов. Н.Ш. Кремер и др. М. : ЮНИТИ–ДАНА, 2003-423с.

3. Высшая математика для экономических специальностей: Учебюник, -4-ое издание., М.С. Красс М. Дело, 2003-704с

4. Высшая математика для студентов экономических, технических специальностей. Учебник, –Ростов на Дону: Феникс, 2002-416с.

Дополнительная:

1. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии: Учебник. М.: Наука, 1975. 272 с.

2. Пискунов Н.С. Курс дифференциального и интегрального исчисления: Учебник. М.: Наука, 1978. Т. I. 435 с.; Т.П. 575 с.

3. Шипачев В.С. Сборник задач по высшей математике. М.: Высшая школа, 1994. 292 с.

4. Лихолетов И.И.. Мацкевич И.П. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике. Минск: Выэйшая школа, 1969. 454 с.

5. Самойленко А.М. и др. Дифференциальные уравнения. Примеры и задачи. М.: Высшая школа, 1989. 383 с.

6. Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. М.: Наука, 1976. 168 с.

7. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Сборник задач по теории вероятностей. М.: Наука, 1973. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1977. 477 с.