- •Математическая логика и теория алгоритмов
- •11. Понятие об алгоритмах. Схемы алгоритмов
- •11.1. Понятие об алгоритме и теории алгоритмов
- •11.2. Схемы алгоритмов
- •11.3. Рекурсивные функции
- •11.4. Машина Тьюринга
- •11.5. Машина Поста
- •11.6. Нормальные алгорифмы а.А. Маркова
- •11.7. Универсальная абстрактная машина
- •11.8. Разрешимость в теории алгоритмов. Проблема самоприменимости
- •11.9. Сложность алгоритма
- •11.10. Представление схемы алгоритма эквивалентным автоматом
- •11.11. Представление схемы алгоритма микропрограммой с двумя типами микрокоманд
- •12. Элементы формальной логики
- •12.1. Предмет формальной логики
- •12.2. Понятие и его виды
- •12.3. Отношения между понятиями
- •12.4. Операции над понятиями
- •12.5. Суждение и его характеристика
- •Модальные и категорические суждения.
- •Простые категорические суждения.
- •Виды простых категорических суждений.
- •Распределение терминов в простом категорическом суждении.
- •Логический квадрат.
- •13. Умозаключение
- •13.1. Виды умозаключений
- •13.2. Непосредственное умозаключение
- •Умозаключения путем противопоставления предикату.
- •13.3. Опосредованное дедуктивное умозаключение. Фигуры силлогизма
- •Фигуры пкс.
- •Модусы пкс.
- •13.4. Дополнительные виды силлогизмов
- •13.5. Индуктивные умозаключения. Математическая индукция
- •14. Логика высказываний
- •14.1. Семантика логики высказываний
- •I закон – тождества.
- •14.3. Формализация высказываний
- •14.4. Интерпретации, разрешимость, выполнимость, общезначимость
- •14. 5. Логическая равносильность. Законы логики
- •14.6. Формы представления формул логики высказываний
- •14.7. Проблема дедукции в логике высказываний
- •15. Проверка правильности логических выводов. Метод резолюций
- •15.1. Закон контрапозиции
- •15.2. Логическое следование. Проверка правильности логических выводов
- •15.3. Силлогизмы в логике высказываний
- •Разделительно-категоричные силлогизмы.
- •16. Синтаксис и семантика языка логики предикатов
- •16.1. Понятие предиката
- •16.2. Кванторы и связанные переменные
- •16.3. Синтаксис языка логики предикатов. Формулы логики предикатов и формализация суждений
- •16.4. Семантика формул логики предикатов
- •Общезначимость, выполнимость, невыполнимость.
- •17. Тождественные преобразования формул логики предикатов
- •17.1. Операции над предикатами
- •17.2. Основные равносильности логики предикатов
- •Отрицание предложений с кванторами.
- •17.3. Тождественные преобразования формул
- •17.4. Универсум Эрбрана
- •18. Использование метода резолюций в логике предикатов
- •18.1. Подстановка и унификация
- •18.2. Резольвенция и факторизация
- •18.3. Метод резолюций в логике предикатов
- •18.4. Принцип логического программирования
- •19. Логические исчисления
- •19.1. Понятие о формальных теориях
- •19.2. Исчисление высказываний
- •19.3. Исчисление предикатов
- •19.4. Система натурного вывода
- •19.5. Понятие о математической лингвистике
- •19.6. Формальный язык
- •19.7. Формальные грамматики и их свойства
- •19.8. Теоремы Гёделя
- •20. Неклассические логики
- •20.1. Современные модальные логики
- •20.2. Понятие о теории неопределенности
- •20.3. Элементы теории нечетких множеств и нечеткая логика
- •20.4. Нечеткие алгоритмы
- •Литература
- •Приложение 1 Варианты контрольных заданий по дисциплине «Дискретная математика»
- •Приложение 2 Варианты контрольных заданий по дисциплине «Математическая логика»
12.4. Операции над понятиями
Ограничение и обобщение понятий.
Ограничение – уменьшение объёма понятия путём введения дополнительных признаков и свойств. Предел ограничения – единичное понятие.
Обобщение – операция расширения объёма понятия путем исключения некоторых свойств.
Определение понятия (дефиниция) – операция раскрытия содержания понятия или значения терминов.
Наиболее характерным определением понятия является указание ближайшего более широкого понятия родового понятия и видообразующих признаков.
Деление понятий.
В ходе деления понятия раскрывается его объём.
Виды деления:
по изменению видообразующего признака (например, деление людей на возрастные группы);
дихотомическое деление (рис. 110) – бинарное деление на два класса, находящихся в отношении противоречия;
Рис. 110. Деление понятия «Живые существа»
классификация – последовательное деление на виды, виды на подвиды и т.д. Вершины соответствующего графа называются таксонами. Таксон (таксонометрическая единица) – обозначает соподчинённые группы объектов.
Правила деления.
Деление должно быть соразмерным. Возможные ошибки: неполное деление; деление с лишними членами.
Деление должно быть только по одному основанию.
Использование понятий в информатике.
Семантическая сеть.
Семантическая сеть – это модель, используемая для представления знаний в интеллектуальных системах. Семантическая сеть состоит из вершин и дуг, которые соединяют эти вершины. Вершины соответствуют понятиям, фактам, событиям, процессам, сущностям и другим элементам описания предметной области. А дуги определяют отношения между этими элементами.
Фрейм.
Этот термин введен в научно-техническую литературу М. Минским для обозначения минимальной структуры, описывающей некоторое понятие или объект. Фреймы используются в системах искусственного интеллекта (например, в экспертных системах) как одна из распространенных форм представления знаний.
Фрейм имеет имя (название) и состоит из частей, обычно называемых слотами; изображается фрейм в виде цепочки:
Фрейм = <слот 1> <слот 2> ... <слот N>.
Иногда в качестве слота может выступать отдельный фрейм.
Рассмотрим в качестве примера фрейм «Сделка».
Цепочка этого фрейма выглядит так:
Сделка = <кто?> <с кем?> <когда?> <где?> <результат>.
Представленный фрейм называется фреймом-прототипом. Во фреймах такого вида слоты имеют переменные значения.
Например:
Сделка = <Герой> <Антигерой> <утром> <в чистом поле> <взял в долг>.
В этом случае, по крайней мере, слоты «Герой» и «Антигерой» – переменные, их значения могут уточняться. В результате такого уточнения получается фрейм-экземпляр:
Сделка = <Иван дурак> <Дядя Сэм> <утром> <в чистом поле> <продал Жар-птицу>.
Исключение из фрейма любого слота делает его принципиально неполным, иногда бессмысленным и не соответствующим названию фрейма.
12.5. Суждение и его характеристика
Суждение – форма мысли, в которой фиксируется наличие или отсутствие связи между понятиями [8].
Каждое суждение фиксируется в языке повествовательным предложением (высказыванием). Главной особенностью суждений является то, что они могут быть либо истинными, либо ложными. Связь между материальными понятиями может быть проверена опытным путём или моделированием. Связь между абстрактными понятиями проверяется с помощью аксиом, теорем, правил.
Суждение называется простым, если нельзя выделить правильную часть, являющуюся суждением.