13.5. Индуктивные умозаключения. Математическая индукция

Научная индукция – основывается на специальном математическом аппарате, например, на теории вероятностей и математической статистике. Эти методы призваны исключить случайность в выводе.

Математическая индукция – позволяет по некоторой обозримой области объектов с помощью индукционных шагов сделать общее заключение.

Пример. Получить методом математической индукции формулу суммы n первых нечетных чисел [5].

Проверим эту закономерность. Сделаем индукционный шаг: допустим, что эта формула соблюдается для n, следовательно, она соблюдается и для n+1. Докажем это:

, что и требовалось доказать, следовательно, формула верна для всех n.

14. Логика высказываний

14.1. Семантика логики высказываний

Если в формальной логике суждения расчленяются на субъект и предикат, то в логике высказываний суждение не расчленяется, а рассматривается как простое, из которого с помощью логических операций строится сложное суждение. С логики высказываний и началась собственно математическая логика.

В логике высказываний используется понятие «Высказывание».

Высказывание – это предложение, которое либо истинно, либо ложно. Высказывание – как правило, повествовательное предложение. Если нет общего мнения об истинности, то это не является высказыванием. Из двух и более высказываний строятся сложные высказывания, с помощью логических операций, рассмотренных ранее (см. «Переключательные функции и способы их задания»):

1. Конъюнкция: (логическое «И», «логическое умножение»). Обозначения: , , &, AND.

2. Дизъюнкция (логическое «ИЛИ», «логическое сложение»). Обозначения: , OR.

3. Импликация («если…, то», «тогда, когда»). Обозначения: , , , IF – THEN.

4. Эквиваленция (логическое «тогда и только тогда, когда»). Обозначения: , , EQV.

5. Разделительное «или» (неравнозначность или «сумма по модулю 2», или «исключающее или»). Обозначение: , XOR.

6. Инверсия (логическое «НЕ», «неверно, что»). Унарная операция. Обозначения:  , , NOT.

Особое внимание в логике уделяется импликации, левый член называется антецедент, а правый – консеквент: XY=XY. В логике высказываний переменные обозначаются прописными буквами.

«Штрих Шеффера» и «Стрелка Пирса» – бинарные операции, с помощью которых могут быть выражены все другие операции.

Штрих Шеффера (логическое «И-НЕ»). Обозначение: |, A|B=.

Стрелка Пирса (логическое «ИЛИ-НЕ»). Обозначение: , АВ=.

Символы логических операций называются пропозициональными знаками, а символы переменных – пропозициональными переменными.

В основании математической логики лежат законы Аристотеля. Они уже нам знакомы.

I закон – тождества.

В процессе определенного рассуждения каждое понятие и суждение должно быть тождественно само себе.

Х≡Х или ХХ.

II закон – противоречия.

Невозможно, что одно и то же, в одно и то же время, было и не было присуще одному и тому же в одном и том же отношении.

(ложно), (истина).

III закон – исключенного третьего.

Равным образом не может быть ничего промежуточного между двумя членами противоречия, а относительно чего-то одного необходимо, чтобы то ни было, либо утверждать, либо отрицать.

(истина).

Часть логиков считают, что в ситуациях относительных к будущему закон исключенного третьего не применим. Но это уже неклассическая логика.

IV закон – достаточного основания.

Всякая истинная мысль должна быть достаточно обоснована.

Напомним другие основные законы:

Закон идемпотентности.

ХХ≡Х;

ХХ≡Х.

Закон Де Моргана.

Закон двойного отрицания.

.

14.2. Синтаксис логики высказываний.

Формулы логики высказываний

Логика тесно связана с языком, поэтому ему уделяется большое внимание.

Искусственные языки, создаваемые для научных целей, например, для науки логики, называются формализованными языками. При этом задается алфавит, где каждая последовательность символов называется словом. Затем вводится синтаксис – правила, позволяющие определять правильные слова, которые называются формулами [29].

Алфавит логики высказываний состоит из:

• высказывательных или пропозициональных переменных (X, Y, Z, …, W);

• логических констант (0 – ложь, 1 – истина);

• символов логических операций (, |, ,  ,,…);

• служебных символов, например, символов скобок ( [, ], {, }, (, )).

Определение формулы:

• всякая высказывательная переменная – формула;

• всякая логическая константа – формула;

• если F₁ и F₂ – формулы, то формулами являются F₁F₂, F₁F₂, F₁F₂, ,…(т.е. при наличии знака операции над формулами).

Для обозначения переменных и формул, в математической логике приняты прописные буквы

Язык, служащий для объяснения другого языка, называется метаязыком. На таком языке (на естественном русском) написан этот подраздел.