20. Неклассические логики

20.1. Современные модальные логики

Рассмотренная выше логика называется классической. С начала ХХ века развиваются неклассические логики. Таковы, например, модальные логики. В модальных логиках связь между субъектом и предикатом или ослабляется, или усиливается.

Алетическая модальность – модальность возможности – выделяет необходимость, возможность. Еще у Аристотеля встречается выражение: «Завтра необходимо будет морское сражение».

Применяются, например, обозначения:

F – необходимо F;

–возможно F;

–необходимо F – не возможно не F;

= – возможно – не необходимо не F.

Деонтическая модальность – обязательность, разрешение или запрещение (О, З, Р).

На этой модальности основана логика норм. Норма, соответствующая объективной необходимости общественного развития, считается нормативно истинной [5].

Связь между О, З, Р выглядит так [5]:

Например, разрешено употребление пива лицам старше 18 лет (не в общественных местах). Запрещено употребление наркотических веществ. Обязательно соблюдение законов.

Эпистемическая логика рассматривает доказуемые, опровержимые, проблематичные суждения.

Логика знания и веры использует выражения типа: Верит (α) А – истинно, если индивид α верит в формулу А.

Многозначные логики [32].

Используют изученный нами ранее математический аппарат многозначных переключательных функций.

Впервые многозначность предложил польский математик Ян Лукасевич (1878-1956 гг.). Но еще в 1910 г. русский логик Н.А. Васильев [36] разработал «воображаемую логику», в которой суждения могут быть не только утвердительными и отрицательными, но и акцидентальными. Если акцидентальное суждение истинно, то и утвердительное и отрицательное суждения являются ложными. Введем следующие обозначения:

1) необходимость («истинно») – обозначим 2 или ;

2) невозможность («ложно») – обозначим 0;

3) возможность («нейтрально») – обозначим 1 или .

Рассмотрим отрицание в системе Лукасевича (табл. 90).

Таблица 90

Отрицание в системе Лукасевича

F	_ F
0	2
1	1
2	0

Конъюнкция и дизъюнкция вычисляются так, как мы рассматривали в дискретной математике:

АВ=max(A,B); А&В=min(A,B).

Ясно, что закон исключенного третьего не выполняется: 112 (табл. 91).

Таблица 91

Таблица истинности F и

F	F
0	0	0
1	0	2
2	2	2

Логика более чем с двумя значениями истинности может быть интерпретирована в современных информационных системах таким образом:

• истинно R – подтверждено в базе данных;

• ложно – R явно отрицается в базе данных;

• не определено – ничего не сказано об R в базе данных.

Иногда в базе данных может быть и противоречивая информация об R. Но чаще всего это запрещено [32]. Однако имеется паранепротиворечивая логика, которая допускает противоречивую информацию.

Имеется немонотонная логика, в которой новые данные могут отменить предыдущие выводы.

Логика умолчаний формализует выполнимые, а не общезначимые рассуждения. То есть, при неполной информации получаем правдоподобное заключение.

Логика с ограничениями учитывает ограниченность ресурсов системы по принципу: «Попробуй доказать Х, пока не исчерпаешь ресурсов, а потом, если доказать не удалось, заключи, что Х ложно».

Логика вопросов и ответов [38].

С суждениями тесно связана такая форма мышления, как вопрос. Вопросы – особая логическая реальность. По утверждению английского философа Р. Коллингвуда, логика, обращающая внимание только на ответы и пренебрегающая вопросами, – ложная логика. Искусство задавать вопросы, вести мысль к правильному ответу – необходимый элемент логической культуры. И. Кант писал: «Умение ставить разумные вопросы есть уже важный и необходимый признак ума и проницательности…».

Раздел логики, изучающий вопросы, называется эротетическая или интеррогативная логика. В ней «единицей мысли» выступает комплекс вопроса и ответа. Взаимодействие вопроса и ответа – типичная форма диалога в общении между людьми. Поэтому одной из важнейших функций вопроса нужно признать коммуникативную функцию. Исключительно велика роль вопроса и как средства информационного поиска. Без вопроса нет и не может быть познания. Великая познавательная роль вопроса состоит в том, что он является звеном, связывающим познанное с непознанным, мостиком, перекинутым от старого знания к новому. Вопрос – могучий стимулятор развития знания. Отношения человека с окружающим миром могут быть представлены как своего рода диалог, в котором вопросы и ответы постоянно сменяют друг друга.

Во второй половине ХХ в. актуализировались исследования природы вопроса в связи с использованием ЭВМ в так называемом диалоговом режиме. Вопрос – это форма мысли, в которой выражено требование уточнить или получить новую информацию на основе уже имеющейся.

Логическая структура вопроса такова: 1) исходное знание; 2) требование дополнить или уточнить эту информацию, перейти от исходного к искомому знанию. Первая часть вопроса называется его предпосылкой, или базисом, а вторая – оператором вопроса.

Корректный вопрос – это вопрос, предпосылкой которого является истинное и непротиворечивое знание. Корректный вопрос соответствует всем требованиям логики (определенность, точность, непротиворечивость, обоснованность).

Ответ – это суждение, дающее информацию, запрашиваемую в вопросе. Основными функциями ответа являются: 1) снятие (уменьшение) неопределенности, заключенной в вопросе или 2) указание на неправильную постановку вопроса. Ответ является правильным в том случае, если выраженное в нем суждение истинно и логически связано с поставленным вопросом.

Многозначная логика возможных миров [32].

В этом случае используется 4 градации истинности: необходимо истинно (3), нейтрально истинно (2), нейтрально ложно (1), необходимо ложно (0). Получается четырехзначная логика (табл. 92).

Таблица 92

Семантика возможных миров

Истинно		Ложно
Не нейтрально	Нейтрально		Не нейтрально
3	2	1	0
Случайно истинно			Необходимо ложно
Необходимо истинно	Случайно ложно

И – необходимо истинно – то, что подтверждается в нашем мире и во всех возможных мирах;

Л – необходимо ложно – то, что не подтверждается ни в одном из возможных миров.

Пусть существуют мир Х («наш») и возможный мир У. Тогда:

• ложно и в Х и в У – необходимо ложно;

• ложно в Х и истинно в У – случайно, но не необходимо ложно;

• истинно в Х и ложно в У – случайно, но не необходимо истинно;

• истинно и в Х и в У – необходимо истинно.

Тогда соответствующая таблица истинности имеет вид табл. 93.

Таблица 93

Таблица истинности для двух миров

X	Y
Л	Л	0	Л
Л	И	1	Л
И	Л	2	И
И	И	3	И

Здесь 0 – необходимо истинно, 1 – случайно ложно, 2 – случайно истинно, 3 – необходимо истинно. Отрицание в четырехзначной логике имеет вид табл. 94.

Таблица 94

Отрицание в четырехзначной логике

F
0	3
1	2
2	1
3	0

Соотношение F и представлено в табл. 95.

Таблица 95

Таблица истинности F и

F	F
0	0	0
1	0	3
2	0	3
3	3	3

Дальнейшим развитием многозначности является n-значная логика Эмиля Поста (1897-1954 гг.), в которой n значений истинности. Рассмотрим отрицание в этой логике (табл. 96).

Таблица 96

Отрицание в n-значной логике Поста (n – четное)

x	N^1(x)	N^2(x)	N^1 – первое отрицание – циклическое; N^2 – второе отрицание – симметричное.
1	2	n
2	3	n-1
.	.	.
n-1	n	2
n	1	1

Наконец, в бесконечнозначных логиках – бесконечное число градаций т.е. n=.

Между двумя крайними значениями 0, 1 лежат промежуточные значения. Абсолютная истина складывается из бесконечного количества относительных истин. Эта логика была предложена в 1930 г. Я. Лукасевичем и Альфредом Тарским (1902-1983 гг.)

Временные логики (темпоральные) учитывают время.

Используют выражения: иногда (F), всегда (G) (в будущем или в прошлом), часто (R) и никогда (H). Например:

(иногда А – не всегда А);

(часто А – не никогда А);

(всегда А – никогда не А);

(никогда А – всегда не А).

Временные логики могут использовать выражения вида:

P_A – «было А»;

F_A – «будет А»;

А  В – «если А, то после этого В».

Алгоритмическая логика.

Академик В.М. Глушков разработал основы теории синтеза дискретных устройств (ДУ). Интересно, что после окончания аспирантуры в Москве, он был назначен на преподавательскую должность в Пермский государственный университет, но там оказался не востребован по своему научному направлению.

Он предложил алгоритмические алгебры (60-е гг. ХХ века) для доказательства правильности программ.

Понятие об алгоритмической логике Ч. Хоара.

Язык алгоритмических логик сочетает язык описания программ и логический язык, что дает возможность выражать разнообразные свойства программ. Это программная или динамическая логика.

Применяется для описания свойств частичной корректности программ. Использует выражения:

(исходное состояние памяти) (программа заканчивает работу) (заключительное состояние памяти)

где P, Q – логические формулы, а A – программа.

Такая формула имеет следующий смысл: Если исходное состояние памяти (исходное значение переменных удовлетворяет условиюP и программа A завершает работу над , то заключительное значение переменных удовлетворяет условиюQ.

Верификация – доказательство правильности программ. Алгоритмическая логика позволяет доказать правильность (неправильность) программ без перебора всевозможных вариантов их реализации на различных сочетаниях переменных.

В [1] приводятся примеры языков алгоритмических логик, использующих высказывания вида:

{U}S{В} – «Если до исполнения оператора S будет выполнено U, то после него будет В». Здесь U – предусловие, а В – постусловие. При анализе условных операторов программы, если ни при каких вариантах не реализуется один из его выходов – фиксируется ошибка. При описании циклов, что является наиболее трудным, анализируются возможности выходов из них. Каждое состояние памяти, возникающее в ходе исполнения программы, – «возможный мир». Пути исполнения программы – переходы между «мирами». В случае тотальной корректности программа обязательно завершается: B. Частичная корректность:

Автоматическое доказательство правильности программ – задача до сих пор нерешенная.