Матфизика Мурга Е.В

Приклад 1. Вирішити рівняння

	2u	a2	2u	bshx.
	t2		x2

за нульових початкових і крайових

умов

u 0,t 0,

u ,t 0.

Рішення розшукується у вигляді суми

u x,t W x,t y x . Потім

слід цю суму підставити в рівняння

2W

a

2 2 W

a

2

d2 y

bshx

t2

x2

dx2

і підібрати

функцію

y x

так, щоб a2

d2 y

bshx 0 і

dx2

y 0 y 0.

Рівняння

d2 y

b

shx

інтегрується двічі:

a2

dx2

y x

b

shx C

x C

.

a2

1

2

З крайових умов

y 0 0,

y 0

визначаються C2 0,

b

C1 a2 sh .

91

Значит,

y x bx sh b shx. a2 a2

Функція W(x,t)- є рішення наступної задачі:

2W

a2

2W

, W 0,t W ,t 0,

t2

x2

W

t 0

y x

b

shx

bx

sh ,

W

t 0

0.

a2

a2

t

Подібні задачі розглядалися в розд. 3, тому можна відразу записати рішення:

ak

ak

k

W x,t (ak cos

t bk

sin

t)sin

x,

k 1

де

2

k

ak

y x sin

xdx,

bk

0.

0

Залишається обчислити

2

b

k

2b

k

ak

shxsin

xdx

sh xsin

xdx

2

2 2

0

a

a

0

92

2b

sh cosk

2b

sh cosk

2

2

a2k

a

1

k

2b

sh

1

k

1

k

a2

k

k 2 l2

2b

k

2

k

2b 2

sh 1

1

sh .

a2

k k2 2 2

a2k k2 2 2

Відповідь:

b x

2b 2sh

1 k

ak

k

u x,t

sh shx

cos

sin

x.

a

2

a

2

k k

2

2

2

k 1

Задачі для самостійного розв’язування

1.Застосуйте правило 4 до рішення задачі 5 розд. 4.

2.Сформулюйте правило 4 для випадку гармонійних зовнішніх сил (задачі 1, 2 і 4 розд. 4).

93

7. ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ ФУРЬЕ ДЛЯ ДВУМЕНРНОЙ

ЗАДАЧІ ПРО КОЛИВАННЯ МЕМБРАНИ

Метод Фур’є з успіхом застосовується при дослідженні коливань прямокутної мембрани.

Приклад. Однорідна квадратна мембрана, що має в початковий момент часу t = 0 форму A y x y , де А – постійна, почала коливатися без початкової швидкості. Дослідити вільні коливання мембрани, закріпленої по контуру х = 0, х = , у = 0,

у = .

Рівняння вільних коливань мембрани має вигляд

d2u		a	2	d2u				d2u			(7.1)
dt	2					2		dy	2
				dx

Тут u = u (x, у, t) – відхилення точок мембрани від площини ХОY у момент t. Умова закріплення мембрани по краях запишеться таким чином:

u|x=0 = u|x= = u| y=0 = u |y=					(7.2)
Початкові умови
U|t=0 = Aху( – x) ( – у);	du	|		0	(7.3)
			t 0
	dt

Шукаємо рішення даної задачі у вигляді

94

u(x, у, t)= T(t) X(x) У(у).

Підставимо функцію u(x, у, t ) в рівняння і розділимо змінні

	T		x			y
	a2T		x			y

Хай

x			y
		2 ,			2 .
x			y

Для задачі

х"+ 2х = 0, х(0)= 0, х( ) = 0,

отримаємо власні значення

k		k	,	(7.4)

власні функції

xk sin k x , k=1,2,... (7.5)

Для задачі

y" 2y 0 y 0 0 y 0

	отримаємо n		n	,	yn	sin	n	у,	n 1,2...

95

Переходимо до відшукання функції Т(t): рівняння

Т + а2( 2 2 Т=0

маємо рішення

Tkn Akn sin a n2 k2 t Bkn cos a n2 k2 t

du

З умови | 0 виходить, що Т'(0)=0. Обчислюємо dn t 0

a

a

a

a

2

2

2

2

2

2

2

2

Akn

n

k

cos n

k

– Bkn

n

k

sin n

k

t

Tkn

Підставляючи t = 0, отримаємо Аkn=0. Отже

Tkn Bkn cos a n2 k2 t .

Тоді

			a				k		n
	u(x,y,t) Bkn	cos			n2 k2 tsin			x sin		y
	k 1 n 1

Застосовуючи умову u|t=0 = Axy( –x)∙( –y), отримаємо

			k		n
	Axy l x l y Bkn	sin		x sin		y.
	k 1 n 1

96

Справа отримали подвійний ряд Фур’е. Значить, коефіцієнти

ряду Фур’е для заданого початкового відхилення дорівнюють

4

k

n

Bkn

Axy( x)( y)sin

x sin

ydxdy .

2

0 0

Переходячи від подвійного інтеграла до повторного,

отримаємо

0

при,

k,n

Bkn

64A 4

при,

k,n

6

3

n

3

k

Відповідь:

64A

4

sin

2k 1

xsin

2n 1

у

a t

u(x,y,t)

cos

(2n 1)2 (2k 1)2

.

6

(2n 1)

3

3

k,n 0

(2k 1)

Задачі для самостійного розв’язування

1. Знайти закон вільних коливань квадратної мембрани із стороною , якщо в початковий момент мембрані додана швидкість

ut	(x,y,0)	a	(де а - постійна, що фігурує в рівнянні мембрани).
	50

Початкове відхилення дорівнює нулю. Мембрана закріплена в точках свого контуру.

Відповідь:

0,32

sin

2k 1

x sin

2n 1

y sin

a

(2k 1)

2 (2n 1)2 t

u(x,y,t)

3

(2k 1)(2n 1)

(2n 1)2

(2k

1)2

k

0 n

0

97

2. Знайти закон вільних коливань квадратної мембрани із стороною , якщо в початковий момент відхилення в кожній точці визначалося рівністю

u(x,y,t)

sin

x

sin

y

100

Початкова швидкість дорівнює нулю. Уздовж контуру

мембрана закріплена.

cos

a

t sin

x

sin

y

.

Відповідь:

u(x,y,t)

2

100

98

8. МЕТОД ФУР’Є ДЛЯ ОДНОРІДНОГО РІВНЯННЯ

ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ

1. Початкові і граничні умови. Розподіл температури в стрижні описується наступним рівнянням (рівняння теплопровідності)

du	a2	d2u		1	f(x,t),	(8.1)
		dx2
dt				c

де f(x,t) – потужність внутрішніх джерел в стрижні,

розрахована на одиницю маси, c – коефіцієнт питомої теплоємності.

В початковий момент часу t = 0 розподіл температури вважається відомим

u(x,0)= (x)

(8.2)

При стрижні кінцевих розмірів задаються умови на його кінцях (граничні умови). Можливі наступні типи граничних умов:

a) на кінцях підтримується задана температура (заданий тепловий режим):

u(0,t)= 1(t),

u( ,t) = 2(t)

б) на кінцях стрижня задана величина теплового потоку q

q|x=0 = f1(t), q|x= = f2(t).

99

(Усюди нижче величина q позначає потік, направлений з тіла в

зовнішнє середовище). Оскільки потік пропорційний

u

і на кінцях

x

направлений в різні боки, то

q

k

u

|

,

q |

k

u

(8.3)

x 0

x

x 0

x

x

x l

Тому граничні умови мають вигляд

ux(0,t)= q1(t), ux( ,t) = q2(t)

де

q1(t)=k-1f1(t),

q2(t)=k-1f2(t)

в) на кінцях відбувається теплообмін з середовищем. Хай (t)

– температура зовнішнього середовища. Припускаємо, що теплообмін відбувається за законом Ньютона.

Закон Ньютона. Величина теплового потоку через межу тіла пропорційна різниці температур тіла і зовнішнього середовища:

q| через межу = [u (s,t) - (t)]

де u(s,t) – температура тіла на межі, а (t) – температура середовища.

Зокрема, для стрижня

q|x=0= [u (0,t) - (t)], q|x= = [u ( ,t) - (t)]

100