Матфизика Мурга Е.В
.pdfі підбираємо коефіцієнти ак так, щоб задовольнити умові u(R, ) = А :
u(R, ) akRk sin k A .
k 1
Залишилосярозкластифункцію А врядФур’є посинусахна [0, ].
Так
2A |
|
k |
|
2( 1)k 1 |
|
|
|
2A |
R |
k |
|
|
sin |
d |
A , |
то ak |
( 1)k 1 |
. |
|||||||
|
|
k |
|
|||||||||
0 |
|
|
|
|
k |
|
|
Відповідь:
|
2A |
|
( 1)k 1 r |
k |
|
k |
||||
|
|
|
||||||||
u(r, ) |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
. |
|
|
k |
|
|
|||||||
|
k 1 |
R |
|
|
||||||
Приклад 4. Знайти стаціонарний розподіл тепла в |
||||||||||
паралелепіпеді 0 х с, |
0 b, |
0 z с. Температура на межі |
x c рівна 3sin ysin z , на решті граней температура рівна нулю. b c
Рішення u(x, у, z) рівняння Лапласа
2u |
|
2u |
|
2u |
0 |
(1) |
|
x2 |
2 |
z2 |
|||||
|
|
|
|
з крайовими умовами
u(0, у, z) = u(x, 0, z) = u(x, у, 0)= 0
141
u(x, b, z) = u(x, у, з) = 0 |
(2) |
u(с, у, z) = 3sin ysin z b c
шукатимемо у вигляді
u(x, у z)=X(x) V(у, z) |
(3) |
Це рішення підказують крайові умови.
Підставимо функцію u(x, у, z) в рівняння (1):
X (x)V(y,z) X(x) |
2V |
X(x) |
2V |
0. |
|
y2 |
z2 |
||||
|
|
|
Змінні розділяються:
|
V(y,z) |
|
|
X (x) |
|
(4) |
|
|
V(y,z) |
||
X(x) |
|
Тут
2V 2V
V(y,z) y2 z2
Крайові умови по х дають
u(0, у, z) = X(0)V(у, z)= 0 = X(0) = 0;
142
u(с, u, z) = X(c)V(у, z) = 3sin ysin z. b c
Значить, можемо прийняти х(с)= 3, а
V(y,z) sin |
|
ysin |
|
z. |
(5) |
b |
|
||||
|
|
c |
|
Функція (5) задовольняє нульовим крайовим умовам, тобто
V(0,z)= V(b,z)= V(у,0)= V(у, с)= 0. Зверніть увагу на те, що для функції Х(х) ми не отримали задачу Штурма-Ліувілля ( про власні значення і власні функції).
В співвідношенні (4) ліва частина залежить тільки від х, а
права тільки від у, z. Рівність цих частин можливо лише при умові
Х |
|
V const 2 |
(6) |
|
ХV
Розглянемо рівняння
V 2V 0 |
(7) |
рішення якого V(у,z) нам відомо, воно визначається формулою (5).
Помітимо, що тільки при позитивних значеннях константи, що фігурує в співвідношенні (6), рівняння (7) може мати рішення вигляду (5).
Знайдемо значення , при яких рівняння (7) задовольняється функцією (5).
143
Обчислимо похідні;
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
cos |
|
|
|
y sin |
|
z; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2V |
|
|
2 |
sin |
|
y sin |
|
|
z; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y2 |
|
|
b2 |
b |
c |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
sin |
|
y cos |
|
z; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2V |
|
|
2 |
sin |
|
y sin |
|
|
z; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z2 |
|
|
c2 |
b |
c |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
і підставимо їх в рівняння (7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin |
|
y sin |
|
|
|
z |
|
|
|
|
sin |
|
|
|
y |
|||||||||||||||||||
b2 |
|
|
c |
|
c2 |
|
|
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
sin |
|
z 2 sin |
|
ysin |
|
z 0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Звідси одержуємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
або |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
b2 |
c2 |
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
c2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Залишилося знайти функцію Х(х), яка задовольняє рівнянню
Х"(х) - 2Х(х)= 0 |
(8) |
і крайовим умовам.
Х(0)= 0, Х (с) = 3 |
(9) |
144
Загальне рішення рівняння (8) має вигляд |
|
||||||||||||||||||
|
Х(х)= С1е х + С2е – х |
|
|
|
|||||||||||||||
крайові умови дають |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х(0)= С1 + С2 = 0 |
|
= |
|
С1 = - С2 |
|
||||||||||||||
Х(с)= С1 е х + С2е – х = 3. |
|
||||||||||||||||||
Значить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
3 |
|
|
|
; |
|
С |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||
e c e c |
|
e e e c |
|
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||
і рішення задачі (8) – (9) має вигляд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
X(x) |
|
|
|
3e x |
|
|
|
|
3e x |
|
||||||||
|
|
e c e c |
e c e c |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
або |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X(x) 3 |
sh x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
||||||
sh c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Залишилося підставити знайдену функцію X(x) (10) і функцію |
|||||||||||||||||||
V(у,z)(5) в рівняння (3): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x,y,z) 3 |
sh x |
sin |
|
y sin |
|
z |
(11) |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
sh c |
|
|
|
b |
|
|
|
|
c |
|
|
|
145
тут
|
2 |
|
2 |
. |
|
b2 |
c2 |
||||
|
|
|
Легко перевірити, що функція (11) дійсно задовольняє і рівнянню (1) і крайовим умовам (2).
Задачі для самостійного розв’язування
1. Знайти рішення рівняння Лапласа в напівсмузі 0 х а
, задовольняюче крайовим умовам
|
х |
|
|
|
u x;0 А 1 |
|
|
; |
u(x, )=0. |
|
||||
|
а |
|
|
Відповідь:
u(x,y) 2A 1 e nya
n 1 n
u(0,y)=0; u(а, у)=0;
sin n x. a
2. Знайти, рішення рівняння Лапласа |
в прямокутнику D: |
||||||||||||||||||||
0 x а; 0 у b, задовольняюче крайовим умовам |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
u(0,y) A, |
u(a,y) Ay, |
u |
| |
|
0, |
u |
| |
|
0. |
||||||||||||
|
y 0 |
|
y b |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
||||||
Відповідь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
A(b 2) |
|
4Ab |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
u(x,y) A |
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
(2k 1) |
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2A |
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
||||
|
sh |
(2k 1) x |
|
|
(2k 1) y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
b |
|
|
|
cos |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
sh |
(2k 1) y |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b
146
3. Написати рішення другої крайової задачі для рівняння u = 0
u
усередині круга, якщо | Acos .
r r a
Відповідь: u(r, ) = A0+Arcos , де А0 – довільна постійна.
4. Написати рішення другої крайової задачі для рівняння u =
u
0 зовні круга, якщо | Asin3 .
r r a
Відповідь: |
u |
Aa4 |
sin3 . |
||
3r |
3 |
||||
|
|
|
5. Знайти рішення: а) внутрішньої і б) зовнішньої крайових задач для рівняння Лапласа, якщо на межі круга задані умови:
1)u|p=a = Asin ;
2)u|p=a=Asin3 + B;
Asin , |
0 |
; |
|||
3) u| =a= |
1 |
Asin |
3 |
, |
2 . |
|
|
|
|||
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
Відповідь:
а) рішення внутрішніх задач мають вигляд:
1) u , A sin ;
a
2) |
u , B |
3A |
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||
|
|
sin 4A |
|
|
|
|
sin3 ; |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
8A |
|
2k cos2k |
|||||||||
3) |
u , A |
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a |
|
|
|
|
4k |
2 |
9 |
|||||||||
|
|
|
|
k 1 |
a |
|
|
147
б) рішення зовнішніх крайових задач даються виразами:
1) u( , ) A a sin ;
2)u( , ) B 3Aa sin 4A(a)3 sin3 ;
3)u( , ) A a sin 8A (a)2k cos2k .
k 1 2 94k
6.На межі тонкої пластинки у формі кругового сектора а;
задана температура
|
|
|
|
, |
|
|
u1 |
||
u | 0 0, |
u | 0, |
|
|
|
u | a |
|
|
||
|
|
|
2 |
, |
|
|
u |
||
|
|
|
|
|
0 ;
2
.
2
Знайти стаціонарне термічне поле в пластинці.
Відповідь:
2 |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
k |
k |
||||
|
k |
|
|
|
|||||||||
u |
|
|
|
[u1 ( 1) |
|
u2 |
] |
|
|
|
sin |
|
. |
|
k |
|
а |
|
|||||||||
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Вирішити рівняння Лапласа усередині кільцевого сектора,
обмеженого дугами кіл = а, = b і кутами = 0 , якщо задані наступні умови на межах
f при a;
u = 0 при u
F при b.
148
Відповідь:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
u( , ) (An |
|
|
|
|
|
Bn |
|
|
|
|
)sin |
y; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
F a |
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
f |
|
|
|
a |
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
n |
; B |
|
|
|
|
n |
|
a b ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
2 n |
|
a |
|
2 n |
|
|
|
|
|
|
b |
2 n |
a |
2 n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
fn |
f( )sin |
d ; |
|
|
Fn |
|
|
|
F( )sin |
d . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
8. Знайти |
рішення рівняння |
|
|
u A |
|
в |
|
|
колі |
R1 < |
r <R2 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
якщо u |
|
r R1 |
u1, |
u |
|
r R2 |
|
|
u2 (А, |
|
|
u1 , u2 - надані числа). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Відповідь: |
u2 |
|
A |
|
r2 |
|
R |
22 |
u1 u2 A R22 R12 /4 |
|
ln |
R2 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lnR2 lnR1 |
|
|
|
|
|
|
r |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
9. Знайти рішення рівняння Лапласа |
|
|
|
u 0 |
|
у прямокутнику |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0<х<a, 0<y<b, якщо на межі цього багатокутника |
u(x, y) |
приймає |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
наступні значення: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
u |
|
x 0 |
|
Asin |
y |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
x a |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
u |
|
Bsin |
x |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
y b |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh |
a x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
sh |
b y |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Відповідь: |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
sin |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вказівка. Рішення шукати у вигляді |
u v w, де |
v |
|
і w - |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
гармонійні функції такі, |
|
що v |
|
|
|
|
|
Asin |
y |
,, |
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
0, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
y 0 |
|
|
y b |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
149
w |
|
x 0 w |
|
|
w |
|
|
0, w |
|
|
Bsin |
x |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x a |
|
y b |
|
y 0 |
a |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. Знайти стаціонарне розподілення температури u(x, y)в
прямокутній одноріднії пластини 0<х<a, 0<y<b, якщо її сторони x=a і y=b вкриті тепловою ізоляцією, дві інші (x=0, y=0) підтримуються при нульовій температурі, а в пластинці виділяється тепло з постійною щільністю q.
Відповідь:
16qa2 |
|
|
|
ch |
|
2n 1 b y |
2n 1 x |
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2a |
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
sin |
|
, |
k – коефіцієнт |
|
3 |
3 |
|
|
|
2n 1 b |
|
|
|
|||||
k |
|
n 0 |
2n 1 |
|
|
ch |
|
|
2a |
|
||||
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
внутрішньої теплопровідності.
Вказівка. Завдання зводиться до вирішення рівняння u q k
за умови u x 0 u y 0 0 , ux x a uy y b 0.
11. Дано тонку прямокутну пластинку зі сторонами ,m , , які збігаються з осями координат. Для цієї пластини відомим є початковій розподіл температури. Бічні сторони x 0, x під час спостереження підтримуються при нульовій температурі, а обидві основи мають заданий розподіл температури:
U y a 0 x , U y m 1 x , 0 x .
Знайти температуру будь – якої точки в момент часу t 0 .
150