Матфизика Мурга Е.В

7. Знайти закон коливання струни завдовжки l, якщо в

початковий момент всі точки струни повідомлена швидкість, рівна a 10

(де а – постійна, фігуруюча в рівнянні струни). Початкове відхилення відсутнє. Кінці струни закріплені. Зовнішні сили відсутні

Відповідь:

	2			1					at				x
								2n 1				2n 1
u x,t						sin				sin				.
	5	2		2n 1	2
			n 0

8. Однорідна струна завдовжки l, закріплена на обох кінцях,

знаходиться в прямолінійному положенні рівноваги. В деякий момент часу, що приймається за початковий, вона одержує в точці х = с удар від молоточка, який повідомляє цій точці постійну швидкість v 0.

Знайти відхилення u x,t струні для будь-якого моменту часу.

Розглянути два випадки.

а) Струна збуджується початковою швидкістю

u x,0	v ,		если		x c					,
		0						2h
t
	0,		если	x c					.
								2h

Цей випадок відповідає плоскому жорсткому молоточку, що

має ширину і ударяє в точці х = с. h

б) Струна збуджується початковою швидкістю

51

u x,0		cosh x c ,	если		x c
	v0
t
	0,		если		x c

2h,

2h.

Цей випадок відповідає жорсткому опуклому молоточку

вширшки . Такий молоточок в центрі інтервалу порушує найбільшу h

швидкість.

Відповідь:

4v

1

n c

n 2

n at

n x

а)

u x,t

0

sin

sin

sin

sin

;

2

n

2

a

n 1

2hl

4hv

1

n

2

б)

u x,t

0

sin

n c

cos

sin

n at

sin

n

x

.

a

n 1

2

n2 2

2h

2

9.Вирішити першу змішану задачу для однорідного хвильового рівняння на відрізкуn h

а). utt = xxx,	x (0,2), t (0, )
u(x,0) = 0,	ut(x,0) = x(2 – x),	u(0,t) = u(2,t) = 0
б). utt = 2uxx,	x (0,1), t (0, )
u(x,0) = 0,	ut(x,0) = x(1 – x),	u(0,t) = u(1,t) = 0
в). utt = 3uxx,	x (0,3), t (0, ),
u(x,0) = 0,	ut(x,0) = x(3 – x),	u(0,t) = u(3,t) = 0,

52

г). utt = 4uxx,

x (0,2),

t (0, )

u(x,0) = 0,

ut(x,0) = x(2 – x),

u(0,t) = u(2,t) = 0,

д). utt = uxx,

x (0,2),

t (0, )

u(x,0) = 0,

ut(x,0) = x(1 – x),

u(0,t) = u(1,t) = 0,

е). u

1

u

, x (0,4),

t (0, )

tt

xx

4

u(x,0) = 0,

ut(x,0) = x(4 – x),

u(0,t) = u(4,t) = 0,

ж). u

1

u

,

x (0,3),

t (0, )

tt

9

xx

u(x,0) = 0,

ut(x,0) = x(3 – x),

u(0,t) = u(3,t) = 0,

з). utt =9 uxx,

x (0,2),

t (0, )

u(x,0) = 0,

ut(x,0) = x(2 – x),

u(0,t) = u(2,t) = 0,

и). utt = 16uxx,

x (0,2),

t (0, )

u(x,0) = 0,

ut(x,0) = x(2 – x),

u(0,t) = u(2,t) = 0,

к). utt = uxx,

x (0,3),

t (0, )

u(x,0) = 0,

ut(x,0) = x(3 – x),

u(0,t) = u(3,t) = 0,

Відповідь:

16

2k 1

2k 1

а). u(x,t)

sin

tsin

x .

4

(2k 1)

4

2

k 1

2

53

б). u(x,t)

k 1

в). u(x,t)

k 1

г). u(x,t)

k 1

д). u(x,t)

k 1

е). u(x,t)

k 1

ж). u(x,t)

k 1

з). u(x,t)

k 1

и). u(x,t)

k 1

к). u(x,t)

k 1

4

4 (2k 1)4

sin(2k 1) 2 tsin(2k 1) x

	36	sin	2k 1			tsin	2k 1	x
					3
	4 (2k 1)4
		3			3

16

sin(2k 1) tsin

2k 1

x

4 (2k 1)4

2

4

sin(2k 1) tsin(2k 1) x

4 (2k 1)4

54

sin

2k 1

tsin

2k 1

x

4 (2k 1)4

8

4

36

sin

2k 1

tsin

2k 1

x

4 (2k 1)4

9

3

16

sin

6k 3

tsin

2k 1

x

4 (2k 1)4

2

2

16

sin(4k 2) tsin

2k 1

x

4 (2k 1)4

2

36

sin

2k 1

tsin

2k 1

x

4 (2k 1)4

3

3

54

4. РІШЕННЯ НЕОДНОРІДНИХ ЗАДАЧ ДЛЯ РІВНЯННЯ

КОЛИВАНЬ

Метод відокремлення змінних дозволяє також знайти рішення неоднорідного рівняння коливань. Малі поперечні коливання пружної струни описуються рівнянням

	2u		a2	2u	G x,t .	(4.1)
	t2			x2
Функція u x,t		визначає відхилення u точки струни у момент
часу t. Графік функції		u x,t		при кожному фіксованому значенні t

представляє форму струни, що коливається, у цей момент часу.

Функція G x,t	густина зовнішніх сил, розрахованих на одиницю
маси струни, a2	T		позитивна постійна (Т – натягнення струни -

густина її). В початковий момент часу t=0 передбачаються відомими положення струни і її швидкість:

u x,0 x ,	u				x .		(4.2)
	t			t 0
					0 x ,
Якщо струна має кінцеві розміри							то потрібна
додаткова інформація про поведінку рішення u x,t						на кінцях x 0 ,
x .

Можливі наступні типи крайових умов:

55

а) струна закріплена на кінцях:

u 0,t 0,

u ,t 0;

(4.3)

б) струна не закріплена на кінцях і відомий закон руху кінців:

u 0,t 1 t , u ,t 2 t . (4.4)

У такому разі прийнято говорити, що заданий режим на кінцях;

в) кінці струни не закріплені і відомі сили G1(t), G2(t), діючі на кінцях. Тоді за законом Гука

	u						x 0			1	G1 t g1 t ,
u	x							1		T	2 t g2 t ;
			x						G
x								T

г) кінці струни закріплені пружно:

	u						x 0		h1u 0,t g1 t ,
	x
u				x				h2u ,t g2 t ,
x

(4.5)

(4.6)

де h1, h2 – постоянные h1 0, h2 0;

д) кінці струни вільні (під цим розуміється їх вільне поперечне переміщення):

56

	u			x 0		u		x	0.	(4.7)
	x					x
Необхідно помітити, що умови (4.7) є окремим випадком умов
(4.6), виходячи з них при h1 0,					h2 0 . Умови (4.7) можна пояснити

геометрично: для вільного кінця, наприклад x , дотична до графіка

функція u x,t , паралель осі x у будь-який момент часу t, тобто

u		0.	Якщо зовнішні сили відсутні, то в правій частині рівняння
x	x

(4.1) функція G x,t 0 і замість неоднорідного рівняння виходить однорідне (замість вимушених коливань – вільні).

Крайові умови типу (4.3) і (4.7) називають однорідними, а умови типу (4.4), (4.5) і (4.6) – неоднорідними. Початкові умови (4.2) також в

окремому випадку x x 0 називаються однорідними.

Очевидно, всяка неоднорідність ускладнює рішення задачі. Проте,

будь-яка неоднорідна задача може бути вирішена у декілька етапів.

Для розгляду виберемо задачу про вимушені коливання струни

із заданим режимом на кінцях:
2u				2 2u
			a				G x,t ,
	t	2			x	2
								u ,t 2 t ,			(4.8)
u 0,t 1 t ,
								u
u x,0 x ,										t 0 x .
								t

57

Перший етап. Перш за все слід позбутися неоднорідності в крайових умовах. Для цього необхідно підібрати допоміжну функцію р(x,t), що задовольняє заданим крайовим умовам. Звичайно р(x,t)

беруть у вигляді лінійної по x функції:

p x,t 1 t

x

2

t 1 t .

(4.9)

Можна скористатися рівнянням прямої, що проходить через

точки 0, 1 і

, 2

. Для функції (4.9) граничні умови,

очевидно,

виконуються.

Тепер

вводиться

нова

невідома

функція

V x,t u x,t p x,t ,

інакше

проводиться

заміна

u V p .

Перерахунок других похідних дає:

2u

2V

2p

,

2u

2V

, оскільки

2p

0.

t2

t2

t2

x2

x2

x2

Початкові умови приймають вигляд

u t 0 V t 0 p t 0 x ;

u

t 0

V

t 0

p

t 0 x .

t

t

t

Отже, нова функція V x,t є рішенням наступної задачі

58

2

V

a2

2

V

g x,t ,

2

2

t

x

(4.10)

V 0,t V ,t 0,

1 x ,

V

t 0 1 x .

V

t 0

t

g x,t G x,t 2p,

t2

1 x x p x,0 ,

p

1 x x t t 0 .

Другий етап полягає в розбитті даної задачі на дві більш прості

задачі. Покладемо V x,t V1 x,t V2 x,t , де V1 x,t і V2 x,t

служать рішеннями наступних задач а) однорідне рівняння, однорідні краєві умови, неоднорідні

початкові умови:

	2V			2V
	1	a2		1					,
				x2
	t2
V1 0,t V1 ,t 0,											(4.11)
V1 x,0 1 x ,			V1					t 0		1	x ;
				t

59

б) неоднорідне рівняння, нульові початкові і краєві умови:

	2V		2V			x,t ,
	2	a2	2		g
			x2
	t2
V2 0,t V2 ,t 0,									(4.12)
V2 x,0 0,					V2			t 0	0.
					t

Якщо задачі (4.11) і (4.12) буде вирішений, то, очевидно, сума

V V1 V2 буде рішенням задачі (4.10). Задача (4.11) розв'язується методом Фур’є:

k a

k a

k

V1 x,t (ak cos

t bk sin

t)sin

x,

(4.13)

k

2

k

2

k

де

ak

1 x sin

xdx,

bk

1

x sin

xdx.

k a

0

0

Для вирішення задачі (4.12) доцільно застосувати наступні дії.

Третій етап. Рішення задачі (4.12) шукається у вигляді ряду по

власних функціях Xk x

задачі (4.11):

V2 x,t Tk t Xk x

(4.14)

k1

зневідомими функціями Tk t .

60