Матфизика Мурга Е.В

(-π≤φ<0) – температура Т. Вирахувати температуру в точці

													, r					.
								2								2
Відповідь:
	4T	r						r					3			sin3			r 5			sin5
u(r, )				sin																			... .
																3						5
Зокрема, в точці							, r									отримуємо
						2							2
						1
				u			,						0,59T.

2 2

6.Всередині нескінченного колового циліндра радіусу l

відбувається рух нестискаємої рідини. Вважаючи рух установленим,

потенційним і плоскопаралельним, знайти закон руху, якщо проекція швидкості на зовнішню нормаль циліндра в кожній точці на поверхні циліндра задається формулою:

проекція		0	при	0 ,
	на n		при	0.
		0

Відповідь:

	4				2
		0		r
(r, ) gradu			sin

sin3	r 4 sin5
					... er
3				5

121

	r 2			cos3	r 4			cos5
cos									... e .
				3				5

7. Знайти закон охолодження нескінченного циліндра радіусу l, якщо в початковий момент температура всіх його внутрішніх точок дорівнює А , а на його поверхні підтримується постійна температура

0°. Знайти перший член розкладу в ряд.

Відповідь:

															a2 k(0) 2t					(0)
									2A											r
																2
																l				k
			u(r, ,t)					(0)		(0)		)		e				J0			.
					k 1 k1Jk					( k
	Зокрема, перший член ряду
			2A			a2 1(0) 2 t										(0)r						5,89a2t				2,4r
									2														2
u	(r, ,t)				e					J	0					1		1,60Ae				l		J	0			.
		(0)	(0)
1				)
		1	J1( 1

8. Знайти функцію , гармонічну всередині кола радіусу R з

центром на початку координат і таку , що:

1)

u

Acos ;

2)

u

Acos2 ;

3)

u

sin3 .

r

r R

r

r R

r

r R

Відповідь:

A

2

1

r

3

1) Ar cos + C; 2)

r

cos2 C ; 3)

3rsin

sin3

C.

2

2R

4

3R

122

9.Знайти стаціонарне розподілення температури u(r, )

всередині нескінченного циліндра радіусу R, якщо на його поверхні підтримується температура u(r, )r R Asin .

Відповідь: Arsin . R

10.Знайти функцію, гармонічну в колі 1<r<2 і таку, що

u		r 1 f1( ),	u		r 2 f2( ),

1)f1( ) u1 const,

2)f1( ) 1 cos2 ,

Відповідь:

lnr

1) u1 (u2 u1)ln2 ; 2)

f2( ) u2 const;

f2( ) sin2 .

3		lnr		2	1			2
							r		cos2 .
2		ln2
			3r2		6

11. Дослідити радіальний розподіл теплоти в нескінченному круговому циліндрі радіуса R, бічна поверхня якого підтримується при сталій температурі U0 . Початкова температура всередині циліндра дорівнює нулю.

Відповідь :

J0

k

z

*e

k2a2

t

U r;t U0

1 2

R

R2

.

'

k 1

kJ0 k

123

12. Початкова температура тонкого однорідного стрижня довжиною дорівнює нулю. На кінці x 0 температура підвищується з часом U 0;t At A cost . На кінці x підтримується нульова температура. Знайти розподіл температури вздовж стрижня t 0 .

Відповідь :

x

l

2A x 3

x 2

x

U x;t At 1

3

2

6a

	2			n a 2
			1					n
2	A			*e	l		*sin		x
	3 2		3
	a	n 1	n

13. Знайти розподілення температури в стрижні,

підтримуються при заданих температурах, :

U		x 0 1 t ,	U		x l 2 t ,	U x,t .

~

Початкова температура U0 x .

Відповідь :

U x;t 1 2 t 1 t Cn *e 2na2 sin n x;

n 0

	2			n x
		~	x sin
Cn		U0			dx
		0

кінці якого

.

124

14. Знайти розв язок

одномірного хвильового

рівняння

2U

a2

2U

при 0<x< , t>0,

t2

x2

Який дозволяє крайові

U 0,t 0,

U ,t 0

при t>0

І початкові умови

U x,t

x ,

U x,t

x ,0 x

t 0

t

t 0

Відповідь:

k x

k a

k a

U x,t sin

ak cos

t bk sin

t

k 1

2

k x

x sin

ak

dx;

0

2

k x

x sin

bk

dx.

k a

0

15. Знайти

рішення

U x,t

одномірного

рівняння

теплопровідності

125

2

U a2 U при 0<x< , t>0,t x2

Який задовольняє крайові

U				U			0	при >0
x				x
		x 0					x l

І початкову умови

U x,0 x при 0<x<l.

Відповідь:

U x,t ake a2 kt cos k x.

k 0

a0	1	x dx,ak		2	x cos	k	xdx, k=1,2,…

00

16.Знайти розв язок U x, одномірного рівняння теплопровідності

2

U a2 U при 0<x< , t>0,

t x2

Який задовольняє крайові умови

126

U			h1U		x 0 0,	U			h2U		x l 0 при t>0
x						x
		x 0							x l

І початкову умову

U x,0 x при 0<x<l.

Відповідь:

k

k

k

U x,t ak

cos

x h1 sin

x .

k 1

k

k

k

x

cos

h1 sin

x

dx

ak

0

.

l

k

k

k

2

cos

x h1 sin

x

dx

0

17. Визначити стаціонарний розподіл температури всередині твердого тіла, яке має форму обмеженого циліндра, якщо до нижньої основи z=0 підведено сталий теповий потік q, бічна поверхня a і

верхня основа z підтримуються при нульовій температурі.

n

n

z

2aq

J0

e

a

Відповідь:

U ,z

a

.

k

2J

n

n 1

n 1

127

9. МЕТОД ФУР’Є ДЛЯ РІВНЯННЯ ЛАПЛАСА

Застосування методу Фур’є для рівнянь еліптичного типу розглянемо на конкретних прикладах.

Приклад 1. Знайти рішення рівняння Лапласа

	2u		2u	0
	x2		y2

в прямокутнику D: 0 x а, 0 у b, на контурі приймаючи задані значення:

u		x 0	Ay b y ;			u		x a 0;
u			Bsin	x	;	u				0.
		y 0		a						y b

Шукаємо рішення у вигляді

u(x,y)= u1(x,y)+ u2(x,y),

де функція u1(x,y) є рішення задачі

2

u1

2

u1

0;

2

2

x

y

|x 0

0

u1 |x a 0;

u1

x

u

|

Bsin

;

u

|

0;

1

y 0

1

y b

a

а функція u2(x,y) – рішення задачі

128

2

u2

2

u2

0;

2

2

x

y

|x 0

Ay(b y);

u2 |x a 0;

u2

u

2

|

y 0

0; u

2

|

y b

0.

Звертаємо увагу на те, що для функції u1(x,y) однорідними є крайові умови пох,а дляфункціїu2(x,y) одноріднимиєкрайові умови поу.

Шукаємо функцію u1(x,y) у вигляді

u1(x,y)= X(x) У(y)

Після підставки в рівняння і розділення змінних одержуємо

X (x) Y (y) 2.

X(x) Y(y)

Для функції Х(х) одержуємо задачу Штурма-Ліувілля: знайти нетривіальні рішення крайової задачі

X (x) 2X(x) 0

X(0) X(a) 0

і значення , при яких ці рішення існують. Одержуємо

k

,

X

(x) С

sin

k

x,

k 1,2,...

k

k

k

a

a

129

Для визначення функцій Yk(y), відповідних власним значенням k, маємо рівняння

	k			2
	Yk (y)			Yk (y) 0,
		a

звідки	Y (y) A			k	y	B		k	y
			e a				e a .
	k	k				k

Крайова умова u1|y=b= 0 приводить до співвідношення

Y (b) A			k	b	B		k	b	0,
		e a				e a
k	k				k

звідки знаходимо

2k b

Bk= Ake a

Тоді

Y (y) A			k	b		k	(b y)		k	(b y)	), ,
		e a			(e a			e a
k	k

k

або, якщо ввести нову постійну Ak 2Ake a b , отримаємо

Yk (y) Aksh k (b y) .

a

Значить, функції u1k (x,y) має вигляд

130