Матфизика Мурга Е.В

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ДОНБАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

О. В. Мурга

РІВНЯННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ

Навчальний посібник

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України

Алчевськ

2009

УДК 53:51

ББК В 311

М 91

Мурга Олена Владиславівна – ст. викл. кафедри радіофізики Донбаського державного технічного університету ( м. Алчевськ).

Рецензенти:

І. В. Жихарєв – канд. фіз.- мат. наук, зав. кафедри фізики Луганського національного педагогічного університету ім. Тараса Шевченка (м. Луганськ);

В. І. Різун – канд. фіз.-мат. наук, проф. кафедри математичного аналізу Східноукраїнського національного університету ім. В. Даля (м. Луганськ).

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів

(Лист № 14/18.2-1145 від 01.06.2004)

М 91 Мурга О. В.

Рівняння математичної фізики: Навч. посіб. / О. В. Мурга – Алчевськ: ДонДТУ, 2009 – 154 с.

ISBN 978-966-310-222-1

Навчальний посібник містить короткі відомості про теорію диференціальних рівнянь з частинними похідними, методику приведення таких рівнянь до канонічного вигляду. Дані уявлення про постановку задач для рівнянь в частинних похідних, що описує фізичні процеси, висловлені методи рішення цих задач. Включені задачі для самостійної роботи.

Призначені для студентів спеціальності радіофізика і електроніка.

	УДК 53:51
	ББК В 311
	© О. В. Мурга, 2009
	© ДонДТУ, 2009
ISBN 978-966-310-222-1	© дизайн обкладинки
	О. М. Дика, 2009
	2

Рівняння математичної фізики виникли з розгляду найважливіших завдань, таких, як розповсюдження звуку в газах,

хвиль в рідинах, тепло у фізичних тілах. У наш час активно вивчаються такі явища, як перенесення нейтронів в атомних реакторах,

гравітація і електромагнітні ефекти, походження і розвиток Всесвіту.

Всі ці розділи фізики створюють математичні моделі, які приводять до рівнянь з приватними похідними. Отже, рівняння математичної фізики

– це розділ математики, який безпосередньо пов'язаний з вивченням складних явищ природи. Методи математичної фізики складають частину більш загальної теорії рівнянь з приватними похідними.

Багато завдань теорії і практики приводять до таких рівнянь. Число рівнянь обмежене, але кожне з них описує широкий круг явищ природи. Ця універсальність методів математичної фізики підкреслюється багатьма ученими.

Даний посібник містить великий матеріал для проведення практичних занять і повністю відповідає програмі курсу «Методи математичної фізики», що читається в ДонДТУ для спеціальності

«Радіофізика і електроніка». Його основна мета – допомогти студентам набути необхідних практичних навичок застосування теоретичних знань, отриманих на лекціях. Для цього в кожному розділі приведені приклади рішення задач, що ілюструють теоретичний матеріал, потім завдання і вправи з відповідями для самостійного розв’язання. Велика увага приділена методу розділення змінних.

Посібник написано на основі десятирічного досвіду викладання даного курсу для студентів-радіофізиків. Воно може бути корисним всім студентам технічних спеціальностей, а також всім особам, що цікавляться математичною фізикою і прикладною математикою.

3

1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ

Диференціальні рівняння математичної фізики – це рівняння з частинними похідними, що зустрічаються при розв’язанні фізичних задач механіки, електрики, магнетизму, тощо. Будь-яку задачу математичної фізики можна розглядати як задачу розв’язання деякого диференціального рівняння з частинними похідними при певних додаткових умовах. Важливе значення при розгляданні фізичних процесів займає коректна постановка задач.

Поставити задачу означає:

1)вибрати вдало функцію (величину), яка характеризувала б даний фізичний процес (при цьому реальний фізичний процес замінюють деяким ідеальним процесом, але так, щоб зберігались основні властивості реального процесу), вибрати систему координат в залежності від умов задачі, але так, щоб шукана функція залежала від мінімальної кількості змінних;

2)використовуючи фізичні закони і співвідношення, скласти диференціальне рівняння для функції, що характеризує даний процес;

3)вставити початкові умови для шуканої функції, тобто записати значення фізичних характеристик, що описують даний процес в початковий момент;

4)сформулювати крайові умови, тобто записати умови процесу на межі тіла, якщо розглядаємо нескінченний об’єм, то записуємо умови поведінки процесу на нескінченості.

Для ілюстрації основних методів математичної фізики

розглянемо диференціальні рівняння з частинними похідними другого

порядку і однією невідомою функцією.

4

Рівнянням в приватних похідних називають співвідношення

	Ф(x,y,u,	u	,	u	,	2u	,	2u	,...) 0	(1.1)
		x		y		x2		x2

що зв’язує незалежні змінні х, у, іскому функцію u = u(x,y) і її частинні похідні. Порядок, що відповідає старшій похідній рівняння називають порядком рівняння.

Функція u(x,y) безперервна в області D разом з своїми похідними, що входять в рівняння, обертаюча це рівняння в

тотожність, називається його рішенням.

Рівняння другого порядку в частинних похідних має вигляд

2u

2u

2u

u u

(1.2)

А

2B

C

F(x,y,u,

,

) 0.

x2

x y

y2

x y

Це рівняння називають лінійним щодо старших похідних,

якщо коефіцієнти

А, B,

С

залежать тільки від x, у;

квазілінійним,

якщо А, B, С залежать від

x,y,u,

u

,

u

; і лінійним, якщо

А, B, С

x

y

залежать тільки від х, у, а функція F лінійна відносно u, u , u .

x y

Загальний вид лінійного рівняння 2-го порядку:

А	2 u	2B	2u	C	2u	D	u	E	u	Fu g	(1.3)
	x2		x y		y2		x
									y

де А,B,С, D, E, F, g – функції х і у .

5

Якщо g(x,y) 0, то рівняння називається лінійним неоднорідним

і лінійним однорідним, якщо g(x,y) 0.

Від коефіцієнтів рівняння (1.2) суттєво залежать характер і

поведінка його рішень.

Рівняння виду (1.2) в області D належить:

1)гіперболічному типу, якщо в цій області B2-AC>0;

2)параболічному типу, якщо B2- AC=0;

3)еліптичному типу, якщо B2- AC<0.

Рівняння

2u		u		u
	F x, y,u,		,
x y
		x		y

називається канонічним рівнянням гіперболічного типу;

рівняння

2u			u		u
		F x,y,u,		,
y	2
			x		y

- канонічним рівнянням параболічного типу;

рівняння

2u				2u				u		u
							F x,y,u,		,
	2	x			2	y		x
										y

- канонічним рівнянням еліптичного типу.

6

Для	приведення	рівняння (1.2) до					канонічного	вигляду,
потрібно скласти рівняння характеристик
	A dy 2 2Bdxdy C dx 2						0 ,	(1.4)
яке розпадається на два рівняння
	Ady B				dx 0 ,
			B2 AC					(1.5)
	Ady B					dx 0 ,
				B2 AC				(1.6)
і знайти їх загальні інтеграли.
1.	Покладемо	B2-AC>0.					Загальні	інтеграли,
x,y C1, x,y C2		рівнянь (1.5) і (1.6) будуть речовинними і

різними, вони визначають два різні сімейства речовинних характеристик. Відповідно до характеристик вводяться нові незалежні

змінні , : x,y , x,y .

Похідні

по старих змінних

виражаються через похідні по нових змінних формулами:

u

u

u

x

x

x

,

u

u

u

,

y

y

y

7

2 u

2 u

2

2 u

2 u

2

2

x

2

2

x

2

x

x

x

u

2

u

2

,

(1.7)

x 2

x 2

2 u

2 u

2

2 u

2 u 2

2

y

2

2

y

2

y

y

y

u

2

u

2

,

y2

y2

2

2

2

u

u

u

x y

2

y

y

x

x

x

y

2 u

u

2

u

2

2

x

y

x y

x y

Підставляючи в рівняння (1.2) знайдені похідні, можна отримати канонічний вид рівняння гіперболічного типу

2 u

u

u

Ф ( , , u,

,

)

або

2u

2u

u u

Ф

, ,u,

,

2

2

Приклад

1.

Привести

до

канонічного вигляду

диференціальне рівняння:

8

x2 2u y2 2u 0.

x2 y2

В даному разі A x2,B 0,C y2,B2 AC x2y2 0 .

Отже,	дане				рівняння належить до параболічного типу при
x 0,y 0 та		при					x 0,y 0		(до початку координат рівняння
вироджується); до гіперболічного типу при x 0, y 0 .
Складаємо рівняння характеристик:
					x 2 (dy)2 y2 (dx)2 0,
або							xdy ydx xdy ydx 0
Одержуємо два диференціальні рівняння:
				xdy + ydx=0					і xdy - ydx=0;
розділяючи змінні і інтегруючи, маємо
		dy					dx	0,	тобто	lny + lnx = lnC1
							x
		y
		dy					dx	0,	тобто	lny - lnx = lnC2
							x
		y

Після потенціювання знаходимо xy = C1 і у/x = C2 – рівняння двох сімейств дійсних характеристик.

9

Тепер слід ввести нові змінні

xy,

y

(1.8)

,

x

і обчислити похідні

y,

x,

x

y

2

0,

2

0,

2

0,

x 2

y 2

x y

y

1

,

x

x2

y

x

2

2y

2

2

1

,

0,

.

x 2

x

3

y2

x y

x

2

Далі можна скористатися формулами (1.7):

u

u

y

u

y

;

x

x 2

u

u

x

u

1

;

y

x

2 u

2 u

y2 2

2 u

y2

2 u

y2

2

u

y

;

2

x 2

2 x 4

x 3

x 2

10