Матфизика Мурга Е.В

u

d 3x y

1

d x y

y

d 3x y

d x y

при y 0 дає

uy x,0

d 3x

d x

0,

d 3x

dx

або

1

d 3x

d x

0,

3

dx

dx

що після інтегрування приводить до

1

3x x C.

3

З системи рівнянь

3x x 3x2 ,

1

3x x C

3

необхідно знайти функції і :

x

1

3x2 3С ,

3x

3

3x2 С .

4

4

Покладемо

3x t

тоді

t

3

t

2

Підставимо

C .

4

3

знайдені функції і в загальне рішення:

31

u x,y	3		3x y	2			1	3 x y 2 3C ,
					С
			3				4
4

тобто u x,y 3x2 y2. Легко переконатися, що ця функція дійсно

задовольняє і рівнянню, і початковим умовам.

Задачі для самостійного розв’язування

1. Зайти загальний розв’язок рівняння:

1. uxx + 4uxy + 3uyy = 0,		2. uxx - 2uxy - 3uyy = 0,
3. uxx + 6uxy + 5uyy = 0,		4. uxx - 4uxy - 12uyy = 0,
5. uxx + 4uxy - 21uyy = 0,		6. uxx - 6uxy + 8uyy = 0,
7. uxx – 2uxy - 24uyy = 0,		8. uxx - 4uxy - 32uyy = 0,
9. uxx - 8uxy + 16uyy - ux + 4uy = 0,		10. uxx – 4uxy+ 4uyy+ ux+ 2uy = 0,
11. uxx + 2uxy+ uyy+ 5ux - 5uy = 0,		12. uxx + 6uxy + 9uyy + 2ux – 6uy = 0,
13. uxx - 2uxy + uyy - 3ux + 3uy = 0,		14. uxx – 6uxy+ 9uyy+ 2uх– 6uy = 0,
15. uxx – 4uxy+ 4uyy+ 2ux - 4uy = 0,		16. uxx + 22uxy + uyy - ux + 2uy = 0,
17. uxx + 4uxy + 4uyy +ux – 2uy = 0,		18. uxx + 8uxy+ 16uyy+ 3ux- 12uy = 0,
19. uxx + 4uxy + 5uyy = 0,		20. uxx – 4uxy + 8uyy = 0,
21. uxx + 6uxy + 13uyy	= 0,	22. uxx – 6uxy + 18uyy = 0,
23. uxx + 4uxy + 20uyy	= 0,	24. uxx – 4uxy + 40uyy = 0.
Відповідь:
1. u = C1(y - 3x) + C2(y - x),		2. u = C1(y - x) + C2(y + 3x),
3. u = C1(y - 5x) + C2(y - x),		4. u = C1(y - 2x) + C2(y + 6x),
5. u = C1(y - 7x) + C2(y + 3x),		6. u = C1(y + 2x) + C2(y + 4x),

32

7. u = C1(y - 4x) + C2(y + 6x),		8. u = C1(y - 4x) + C2(y + 8x).
9. u = C1(y + 4x) + C2(y + 4x) e-y/4,		10. u = C1(y – 2x)	+ C2(y – 2x) e-y2,
11.u = C1(y – x) + C2(y – 2x) e-5y,		12. u = C1(y – 3x)	+ C2(y – 3x) e-2y/3,
13. u = C1(y + x) + C2(y + x) e3y,		14. u = C1(y +3x) + C2(y – 3x) e2y/3,
15. u = C1(y + 2x) + C2(y + 2x) e-y,		16. u = C1(y – x) + C2(y – x) ey,
17.u = C1(y – 2x) + C2(y – 2x) e-y/2,		18. u = C1(y – 4x)	+ C2(y – 4x) e-3y/4,
19. u = Ref(y – 2x	+ xi),	20. u = Ref(y + 2x + 2xi),
21. u = Ref(y – 3x	+ 2xi),	22. u = Ref(y + 3x + 3xi),
23. u = Ref(y – 2x	+ 4xi),	24. u = Ref(y + 2x + 6xi).

2. Користуючись формулою Даламбера, розв’язати задачі:

а)

2u

2u

;

u

x

2

,

u

t 0

0.

t2

x2

t

0

t

Відповідь:

u x,t x2 t2.

2

2

u

б)

u

4

u

;

u

x2

,

t 0

x.

t2

x2

t

0

t

Відповідь: u x,t x2 4t2 xt.

2

2

u

в)

u

u

;

u

sin x,

t 0

0.

t2

x2

t

0

t

Відповідь: u(x,t) = sinx cosat.

33

2

2

u

г)

u

9

u

;

u

1,

t 0

1.

t2

x2

t

0

t

Відповідь:

u(x,t) = 1+t.

а)

б)

в)

г)

д)

3. Знайти загальне рішення наступних рівнянь:

2u

2sinx

2u

cos2 x

2u

cosx

u

0;

x2

x y

y2

y

x2

2u

y2

2u

2y

u

0;

x2

y2

y

2

2u

2u

2 2u

u

u

x

2xy

y

x

y

0;

x2

x y

y2

y

x

2u

2u

2 u

2

5

3

0;

x2

y2

x y

2u

2u

2u

u

u

2

6

4

0.

x

2

y2

x

x y

y

Відповідь:

а) u x,y x y cosx x y cosx ;

y

б)

u x,y

x

xy

;

y

x

в)

u x,y xy ln y xy ;

г)

u x,t 3x 2y x y ;

д)

u x,t x y e

x y

y 2x .

2

34

4. Знайти рішення рівняння:

4y

2 2u

2 1 y

2

2u

2u

2y

2

u

u

0,

x

2

x y

y

2

1 y

2

x

y

що задовольняє початковим умовам:

u		y 0 0 x ,	u				y 0 1 x .
			y
											x 2y
			2					3		1
Відповідь:		u x,y 0 (x				y			)		2				1 x dx.
				3						2				3
											x		y
											3

5. Знайти рішення рівняння:

2u		2u		2		2u		u
	2cosx		sin		x		sinx		0,
x2						y2
		x y						y

що задовольняє початковим умовам:

u

y sin x 0 x ,

u

y sin x 1 x .

y

Відповідь:

u

x,y

1

x sinx y

x sinx y

1 x sin x y

z

dz .

0

0

2

1

2 x sin x y

35

6. Знайти рішення рівняння:

2u		2u		2u		u		u
	4		5						0,
x2				y2
		x y				x		y

що задовольняє початковим умовам:

u		y 0 f x ,	u		y 0 F x .
			y

Відповідь:

				x		y
5			x y		5			z
u x,y f x,y		e 6			e6f z dz
6				x y

7. Необмежена струна збуджена локальним початко-

вим відхиленням, що має форму квадратичної параболи. Знайти:

а) формули, що представляють профіль струни при t > 0, і

б) формули, що представляють закон руху точок струни з різними абсцисами при t > 0.

8. Знайти закон коливання нескінченної струни, якщо початкове відхилення задається рівністю:

	x	y
	5			z
			e6 F z dz
						.
	x y

36

					0		при		x		,
					x
	u x,t	t 0	x				при 0 x ,
					100
			x при					x 0,
					100

де – заданий відрізок. Початкова швидкість і зовнішня сила що вимушує дорівнює нулю. Побудувати на кресленні профіль струни в різні моменти часу. Графік функції приведений на рисунку.

37

3. МЕТОД ВІДОКРЕМЛЕННЯ ЗМІННИХ ДЛЯ ЗАДАЧІ ПРО

ВІЛЬНІ КОЛИВАННЯ СТРУНИ, ЗАКРІПЛЕНОЇ НА КІНЦЯХ

Задача про вільні коливання струни, закріпленої на кінцях,

зводиться до рішення однорідного рівняння

	2u	a2	2u	(3.1)
	t2		x2

за початкових умов

u		t 0 x ,	u		t 0	x	(3.2)
			t

і крайових умовах

u 0, t u , t 0.

(3.3)

Метод відокремлення змінних (метод Фур’є) полягає в тому, що спочатку розшукуються нетривіальні рішення рівняння (3.1), що задовольняють крайовим умовам (3.3), у вигляді добутку двох функцій, одна з яких залежить тільки від х, а інша тільки від t

u x,t X x T t ,

(3.4)

а потім задовольняються початкові умови (3.2).

Диференціюючи двічі функцію (3.4) по x і по t, отримаємо

38

	2u	X x T t ;	2u	X x T t
	x2		t2

і підставимо ці похідні в рівняння (3.1):

X x T t a2X x T t .

Розділимо змінні

T t		X x
			.	(3.5)
a2T t		X x

Щоб функція (3.4) була рішенням рівняння (3.1), рівність (3.5)

повинна дотримуватися при всіх значеннях x і t. Значить, обидві частини рівності (3.5) не повинні залежати ні від x, ні від t, тобто

1		T t		X x		2
							.	(3.6)
a2
		T t		X x

Важливо помітити, що якщо в співвідношеннях (3.6) узяти

ненегативну постійну, то виходять тільки тривіальні рішення.

Звідси витікає, що функції T(t) і Х(x) повинні задовольняти

звичайним диференціальним рівнянням:

X x 2X x 0 и T t 2a2T t 0.

Оскільки розшукуються рішення, що задовольняють крайовим

39

умовам (3.3), то при будь-якому значенні t повинна дотримуватися

рівність:

u

x 0 X 0 ,

T t 0,

u

x l X T t 0.

Оскільки розшукуються нетривіальні рішення, то T t 0

значить, необхідно покласти X 0 0

і X 0 .

В результаті для відшукання функції X x необхідно вирішити

наступну задачу: знайти рішення лінійного диференціального рівняння

2-го порядку

X x 2X x 0

(3.7)

з крайовими умовами

X 0 X 0

(3.8)

Виявляється, при деяких значеннях постійної задача (3.7)- (3.8) має нетривіальні рішення. Загальне рішення рівняння (3.7) має вигляд

X x С1 cos x С2 sin x,

де С1 і С2 – довільні постійні, які можна визначити використовуючи крайові умови.

При х = 0 повинно бути

40