Матфизика Мурга Е.В

В даному випадку:

Xk x sin	k	x,	k 1,2,...	(4.15)

(слід помітити, що в інших задачах власні функції можуть бути іншими). Підставивши V2 x,t з (4.14) в неоднорідне рівняння, легко отримати

	k a			2	k x
(Tk t				Tk t ) sin		g x,t
k 1

або

k a 2

Tk t Tk t gk t , (4.16)

де gk t	– коефіцієнти Фур’є функції g x,t					:
		2		k
	gk t		g x,t sin		xdx,	(4.17)
			0

З нульових початкових умов задачі (4.12) через уявлення

(4.14) виходить, що

Tk 0 0,

Tk 0 0,

(4.18)

61

отже рівняння (4.16) потрібно вирішувати за граничних умов (4.18).

Рішення неоднорідного рівняння (4.16) прийнято шукати у вигляді

Tk t Ak		cos	k a	t Bk		sin	k a	t.
Тут Ak Ak t	і Bk Bk t				– невідомі функції. Відповідно

до методу варіації постійних слід вирішити систему

A

cos

k a

t B

sin

k a

t 0,

k

k

k a

k a

A

sin

t B

cos

t

k

k

g t . k a k

Звідси

Ak t

gk t sin

k a

,

Bk t

gk t cos

k a

.

k a

k a

t

t

Отже

t

k a

Ak t

gk sin

d A*k ,

k a

0

t

t

k a

*

Bk t

0 gk cos

d Bk

k a

t

де A*k , B*k – постійні.

62

Значить, загальне рішення рівняння (4.16) має вигляд:

k a

t

k a

Tk t

cos

t gk sin

d

k a

0

t

k a

t

k a

sin

t gk cos

d

k a

0

t

A*k cos k a t B*k sin k a t.

З умов (4.18)	виходить, що			A*k 0, тоді		рішенню задачі
(4.16)-(4.18) після елементарних перетворень можна додати вигляд:
			t	k a
Tk t			gk sin		t d .	(4.19)
		k a
			0	t

(Це рішення можна було швидше отримати, застосувавши перетворення Лапласа). Підставляючи знайдені функції (4.19) і власні функції (4.15) в уявлення (4.14), можна отримати:

				1		k	t	k a
	V2 x,t				sin		x gk sin		t d .	(4.20)
				k
		a k 1					0	t

Сума функцій (4.9), (4.13) і (4.20) дасть остаточне рішення задачі (4.8):

u x,t p x,t V1 x,t V2 x,t .

(4.21)

63

Приклад 1. Однорідна струна завдовжки l, закріплена на кінцях x 0 і x , коливається під дією зовнішньої гармонійної сили F x,t f x sin t, розрахованої на одиницю довжини. Знайти

відхилення u x,t струни за довільних початкових умов.

Досліджувати можливість резонансу і знайти рішення у разі резонансу.

Потрібно вирішити задачу:

2u a2 2u F x,t ,

t2 x2

u x 0 u x 0,

	u		t 0 0	x ,	u		t 0 1 x .
					t
Рішення			слідує	шукати				у	вигляді	суми

u x,t V x,t W x,t . Тут V(x,t)- рішення задачі, розглянутої в розд. 3:

	2V	a2	2V	;
	t2		x2

V x 0 V x l 0;

64

V		t 0 0 x ,	V		t 0 1 x ,
			t

а W(x,t)- рішення задачі з неоднорідністю тільки в рівнянні:

	2W	a2	2 W	f x sin t,
	t2		x2

W x 0 W x 0,

W		t 0	0,	W		t 0	0.
				t

Рішення задачі для V(x,t) дається формулою (4.13), а функцію

W(x,t) можна представити у вигляді:

W x,t Tk t sin k x.
k 1

Невідомі функції Tk(t) задовольняють рівнянь (4.16), де gk(t)

коефіцієнти Фур’є правої частини f x sin t, тобто

		2		k
	gk t		f x sin tsin		xdx.
			0

Якщо позначити

65

Fk0 t 2 f x sin k xdx, то gk t Fk sin t.

0

Значить, функція Tk(t) задовольняє рівнянню

ak 2

Tk t Tk t Fk sin t.

із умов W		t 0	0,	W		t 0	0 виходить, що
				t
			Tk 0 0,				Tk 0 0,

(4.22)

(4.23)

Рішення неоднорідного рівняння (4.22) із спеціальною правою частиною традиційно розшукується у вигляді суми

Tk t

k t Tk* t ,

де

k t Ck

cos

ak

t Dk

sin

ak

t – загальне

T

T

рішення однорідного рівняння, а приватне рішення неоднорідного рівняння Tk* t можна знайти по виду правої частини.

Далі розглядаються два випадки:

1) Немає резонансу, тобто частота вимушених коливань не

ak

співпадає ні з однією з частот власних коливань. Приватне

k

рішення неоднорідного рівняння слід шукати у вигляді

Tk* t Mk sin t Nk cos t.

66

Тоді

Tk* t Mk cos t Nk sin t,

Tk* t Mk 2 sin t Nk 2 cos t.

Підставимо в рівняння (4.22)

Mk 2 sin t Nk 2 cos t Mk 2k sin tNk 2k cos t Fk sin t

і прирівняємо коефіцієнти при sin t і при cos( t):

M

k

2

M

k

2

F ;

N

k

2

N

k

2

0,

k

k

k

і отримаємо

M

k

Fk

, N

k

0.

2

2

k

Знайшли приватне рішення

T*

Fk

sin t.

2

2

k

k

Загальне рішення неоднорідного рівняння (4.22) приймає

вигляд:

67

T

k

t C

k

cos

k

t D

k

sin

k

t

Fk

sin t.

2

2

k

Коефіцієнти Ск і Dk визначаються з умов (4.23). Перше з них

дає Ck 0 .

Щоб

задовольнити

другому,

слід

продиференціювати

функцію Tk t :

T t

D

cos

t

Fk

cos t,

2 2

k

k

k

k

k

Fk

що при t 0

приводить до залежності: Dk k

0, звідки

2 2

k

Dk

Fk

.

k

k2

2

Значить, рішення задачі (4.22)-(4.23) за відсутності резонансу має вигляд:

Tk t

Fk

sin t

sin k t .

2

2

k

k

Тоді

F

k

W x,t

k

sin t

sin k t sin

x.

(4.24)

2

2

k

k 1 k

68

2) Резонансний випадок. Тут важливо пам'ятати, що резонанс виникає, коли частота зовнішньої сили що вимушує співпадає з

однією з частот

ak1

власних коливань.

k1

Тоді для всіх k k1

немає резонансу, значить

Tk t

Fk

sin t

sin k t .

2

2

k

k

Для

k k1

функція

Тк1 є

рішення задачі

(4.22)-(4.23),

розшукуване

у

вигляді

Tk1

k1

Tk1* ,

де

як

і раніше

T

k1 Ck1 cos k1t Dk1 sin k1t,

а приватне

рішення

неоднорідного

T

рівняння через резонанс має вигляд:

Tk1* Mk1 cos t Nkt sin t t,

Тоді

Tk1* t Mk1 sin t Nk1 cos t t Mk1 cos t Nk1 sin t ,

Tk1* t 2Mk1 cos t 2Nk1 sin tt M k1 2 sin t Nk1 2 cos t .

Ці похідні слідує підставимо в рівняння (4.22):

69

2Mk1 cos t 2Nk1 sin t t Mk1 2 sin t Nk1 2 cos tt Mk1 k12 sin t Nk1 k12 cos t Fk1 sin t.

Оскільки k1 , після приведення подібних отримаємо

2M k1 cos t 2Nk1 sin t Fk1 sin t

Звідси

Nk1		Fk1	,	M k1 0,
		2

тобто знайшли приватне рішення

	Tk1*	Fk1	t cos t.
		2

Отже, загальне рішення неоднорідного рівняння (4.22)

приймає вигляд:

Tk1 Ck1 cos t Dk1 sin t Fk1t cos t. 2

Перша з початкових умов (4.23) дає Ck1 0 ; після обчислення

похідної

70