Матфизика Мурга Е.В

або згідно (8.3)

ux(0,t) – hu(0,t)=q1(t)

ux( ,t) - hu ( ,t) = q2(t)

де	h		,	q (t)		(t),	q		(t)		(t) .
								2
		k		1	k					k

г) кінці стрижня теплоізольовані. Це означає, що на кінцях відсутній тепловий потік. Тому крайові умови матимуть вигляд

ux(0,t)=0, ux( ,t)=0.

2. Метод Фур’є для однорідної задачі. Розглянемо розповсюдження тепла в стрижні кінцевої довжини, коли на його кінцях підтримується нульова температура. Джерела тепла в стрижні відсутні, початкова температура в кожній точці стрижня задана.

Температура u(x,t) стрижня є рішення задачі.

u			2 2u
		a
				x	2
	t
							(8.4)
u(0,t) 0,u( ,t) 0

u(x,0) (x)

101

Шукаємо спочатку нетривіальні рішення рівняння, що задовольняють крайовим умовам, у вигляді

U(x,t)=X(x)T(t).

Слідуючи знайомій схемі, отримаємо

	T (t)					x (x)		2
	a2T(t)					x(x)
Власні значення k		k			,	власні функції Xk (x) Ck			sin	k x	.
Кожному власному значенню к відповідає функція Тk(t), що
задовольняє рівнянню першого порядку:
			ak 2
Tk (t)							T(t) 0

Загальне рішення цього рівняння має вигляд

		k a 2
T (t) A					t
	k	e
k

Значить, приватні рішення однорідного рівняння теплопровідності, що задовольняють однорідним граничним умовам,

представляються у вигляді:

102

k a 2

uk (x,t) ake t sin k x

де введена нова постійна ak=СkAk. Залишилося підсумовувати рішення uk(x,t):

		k a		2 t
	u(x,t) ake (		)	sin	k	x	(8.5)
	k 1

і визначити постійні ак так, щоб функція u(x,t) задовольняла заданій початковій умові

			k
	u(x,0) = ak	sin		xdx	(8.6)
	k 1

Формула (8.6) показує, що ак є коефіцієнт розкладання функції (х) в ряд Фур’є по синусах на (0, ), тобто

			2		k
	ak			(x)sin		x dx
				0

Рішення неоднорідних задач теплопровідності

Розглянемо застосування етапів 1-3 (див. розділ 4) для різних неоднорідних задач про розповсюдження тепла в стрижні на конкретних прикладах. При цьому звернемо увагу на деякі спрощення в окремому випадку джерел стаціонарної потужності згідно етапу 4 (див. розділ 6).

103

Приклад 1. ( Із заданим режимом на кінцях)

Даний тонкий однорідний стрижень завдовжки , початкова температура якого рівна нулю. На кінці х = температура підтримується рівній нулю, а на кінці х = 0 вона росте лінійно з часом,

так що u(0,t)= At, де А – постійна. Знайти розподіл температури уздовж стрижня при t > 0.

Рішення. Функція u(x, t) є рішення задачі

u			2 2u
		a
				x	2
	t
						u( ,t) 0
u(0,t) At,

u(x,0) 0

Згідно етапу 1 будуємо допоміжну функцію m(x,t), що задовольняє крайовим умовам. Це лінійна функція, що проходить через точки (0, А t) і ( ,0):

m(x,t) At x

Шукаємо рішення у вигляді

U(x,t)= m(x,t)+ v (x,t)

Де для нової невідомої функції v (x,t) одержуємо задачу

104

v		a	2 2v			mt
	t			x	2
v(0,t) 0,v( ,t) 0
v(x,0)			0

Тут

A

mt (x,t) ( x)

Рішення цієї задачі із стаціонарною неоднорідністю в рівнянні згідно етапу 4 шукаємо у вигляді

v (x,t) = v 1(x,t)+ v 2(x)

де функцію v 2 (x) підбираємо так, щоб

a2 2v2 (x) A ( x),

x2

v2 (0) v2 ( ) 0

Знаходимо загальне рішення

v2		A		x	2		x	3
	(x)								c1x c2
		2		2			6
		a

105

і з крайових умов визначаємо с1=-					1		, c2			0		. Значить
				3
v2 (x)	A 2		x 3					3	x 2			2	x
	6a	2

Для функції v1(x,t) одержуємо задачу

v1 a2 2v1 ,t x2

v1(0,t) v1( ,t) 0,v1(x,0) v2 (x)

Ця задача вирішена методом Фур’є в попередньому параграфі.

Запишемо їх рішення:

				k a 2
							t
v1(x,t) ak								sin		k	x ,
		k 1
де
		2						k
ak				v2 (x)sin					x dx
				0

Обчислимо інтеграл по частинах, вважаючи

106

x 3

x 2

x

dv sin

k

u

3

2

,

xdx

l

Отримаємо:

ak=

2 2A

.

a2 3k3

Значить, функція v 1(x,t) має вигляд

2 2A

1

(

k a

)2 t

k

v1(x,t)

e

sin

x.

a

2

3

k

3

k 1

Щоб отримати відповідь, треба скласти знайдені функції m(x,t), v 1(x,t), v 2(x,t)

Відповідь:

3

2

k a 2

At

2A x

x

x

2 2A

1

t

k x

u(x,t)

( x)

3

2

e

sin

.

6a

2

a

2

3

k

3

l

k 1

Приклад 2. (Із заданим режимом на одному кінці стрижня і тепла на іншому)

Даний тонкий однорідний стрижень завдовжки , бічна поверхня якого теплоізольована. Початкова температура стрижня відома. Кінець стрижня х=0 підтримується при температурі, рівній

107

нулю, а на кінці х = відбувається теплообмін з навколишнім

середовищем, температура якого вважається рівною нулю. Визначити температуру стрижня при t > 0.

Рішення. Треба вирішити задачу.

u			2 2u
		a
				x	2
	t					u
u(0,t) 0,								hu	0
							x
								x

u(x,0) (x)

Слідуючи методу Фур’є, шукаємо рішення у вигляді

U(x,t)= X(x) T(t)

Для функції X(x) приходимо до задачі

X (x) 2X(x) 0

X(0) 0, X ( ) hx( ) 0

Загальне рішення рівняння має вигляд

X(x) = С1cos x +С2sin x

Перша умова дає С1=0, друга умова приводить до трансцендентному відносно власних значень рівнянню

108

cos +hsin =0, звідки	tg l				. Позначимо		= ,	h = p, і
				h
вирішимо рівняння tg			графічно:
		p

Хай 1 2... к.- позитивні корені цього рівняння (негативні корені можна розглядати, відносячи знак «-» до довільної постійної).

Тоді Xk x Ck	sin	k	x - власні функції задачі
Для функцій Тk (t) маємо рівняння
			Tk (t)	a2 2
				k	Tk (t) 0.
				2

	a2 k2
Звідки Tk t Ake		t .
	2

109

Будуємо ряд

	a2 k2		t	k
u(x,t) ake		2	sin		x
k 1

Тут ak = СkAk доберемо таку, щоб задовольнити початковій

умові

					k
	u(x,0) ak		sin				x (x)
	k 1
	Зауважимо, що функції	sin		k		x	не є - періодичними, тому

останнє рівняння не можна розглядати, як розкладання початкової функції

(х) в ряд Фур‘е по синусах на (0, ). Помножимо обидві частини цього

співвідношення на sin

n x

і проінтегруємов межах від 0до .

x

x

x

(x)sin

n

dx ak sin

n

k

sin

dx

0

k 1

0

Оскільки власні функції ортогональні, то справа зберігається

тільки складове, відповідне значенню k = n:

		kx		k x
	(x)sin		dx ak sin2		dx .
	0		0

110