Матфизика Мурга Е.В
.pdf1 x x p x,0 ,
1 x x pt x,0 .
Згідно правилу 2, слід шукати рішення задачі (5.9) у вигляді
|
|
|
|
v x,t v1 x,t v2 |
x,t . |
|
|
|
|
||||||||||||||||
Тут функція v1 x,t |
|
це |
|
рішення |
|
задачі з |
неоднорідністю |
||||||||||||||||||
тільки в початкових умовах: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2v |
1 |
a2 |
2 v |
1 |
, |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
v1 0,t |
|
|
|
|
|
v1 ,t |
|
|
(5.10) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
v1 x,0 1 x , |
v1 |
x,0 |
t |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|||||
Задача (5.10) співпадає із задачею (5.1), рішення якої отримано |
|||||||||||||||||||||||||
методом Фур’є у вигляді ряду (5.4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Другий доданок |
v2 x,t є рішення задачі з неоднорідністю |
||||||||||||||||||||||||
тільки в рівнянні: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2v2 |
a2 |
2 v2 |
|
g x,t , |
|
|
(5.11) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
t2 |
|
x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
v2 0,t |
|
v2 |
l,t |
|
|
|
|
|
|
v2 |
x,0 0, |
|
v2 |
x,0 |
||||||||||
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
0. |
||||||||||
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
81
Відповідно до правила 3 рішення задачі (5.11) слід шукати у вигляді ряду по власних функціях задачі (5.1):
|
|
k |
|
|
v2 x,t Tk t cos |
x . |
|||
|
||||
k 0 |
|
|
||
Функції Tk t визначаються |
як рішення задачі Коші для |
звичайного диференціального рівняння 2-го порядку.
3. Коливання струни із заданим режимом на одному кінці і заданою силою на іншому кінці.
Дана задача має вигляд
|
2u |
a2 |
2u |
f x,t , |
|
|
|
t2 |
x2 |
|
|||
|
|
|
|
|||
u 0,t 1 t , |
|
ux ,t g2 t , |
(5.12) |
|||
u x,0 x , |
ut x,0 t . |
|
Спочатку необхідно позбутися неоднорідності в граничних
умовах за допомогою правила 1. Як і в розд. 4, p x,t рекомендується
шукати у вигляді лінійної по х функції:
p x,t ax b 1 t cx d g2 t
з невизначеними коефіцієнтами а, b, с, d. Задовольняючи граничним умовам задачі (5.12):
82
p 0,t b 1 t dg2 t 1 t ,
px ,t a 1 t сg2 t g2 t
і прирівнюючи коефіцієнти при 1 t |
і при g2 t , можна отримати: |
||
a 0, |
b 1, |
с 1, |
d 0. |
Таким чином, функція
p x,t 1 t xg2 t
задовольняє граничним умовам задачі (5.12).
В результаті застосування правила 2 намічається підхід до двох
задач:
2 v |
a2 |
2v |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
v1 |
,t |
|
|
|
||||||
|
|
0,t 0, |
|
|
|
||||||||
v1 |
|
|
|
|
0, |
|
|
(5.13) |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||
|
|
x,0 1 |
x , |
|
v1 x,0 |
|
x . |
||||||
v1 |
|
|
|
|
1 |
||||||||
|
|
t |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
83
2 v |
|
|
2v |
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
a2 |
|
2 |
|
g x,t |
|
|
||||
|
|
2 |
x |
2 |
|
|
||||||||
t |
|
|
|
v2 ,t |
|
|
|
|||||||
|
0,t 0, |
|
|
|
||||||||||
v2 |
|
|
|
|
|
0, |
(5.14) |
|||||||
|
|
x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x,0 0, |
|
v2 x,0 |
|
||||||||||
v2 |
|
|
|
|
|
|
0. |
|
||||||
|
|
|
t |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рішення задачі (5.13) знаходиться методом Фур’є. Власні |
||||||||||||||
функції задачі (5.13) мають вигляд |
|
|
|
|||||||||||
Xk x sin |
2k |
1 |
x, |
k 0,1,2,... |
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2l |
|
|
|
Далі слід поступати відповідно до правила 3, тобто, рішення задачі (5.14) шукати у вигляді ряду
v2 |
x,t Tk t sin 2k 1 |
x. |
||
|
|
|
|
|
|
k |
0 |
2 |
|
Остаточне рішення представляється у вигляді суми
u x,t p x,t v1 x,t v2 x,t .
4. Коливання струни, один кінець якої закріплений пружно, а на
іншому задана сила.
Розглядається задача
84
2u |
2 2u |
|
x,t , |
|
||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
f |
|
|
|
2 |
|
x |
2 |
|
|
||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0,t g1 t , |
ux ,t hu ,t g2 t , |
(5.15) |
|||||||
ux |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ut x,0 x |
|
|
u x,0 x , |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Згідно правилу 1, |
спочатку будується лінійна по x |
функція |
p x,t
p x,t ax b g1 t сx d g2 t .
Тепер необхідно задовольнити граничним умовам задачі (5.15)
для визначення невідомих коефіцієнтів a, b, с, d.
px 0,t ag1 t cg2 t g1 t .
p |
x |
,t |
|
hm |
|
,t |
|
|
|
al b |
|
1 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
cl d |
|
2 |
t |
|
g |
2 |
t |
|
. |
|||||
|
|
|
|
a h |
|
g |
|
|
c h |
|
g |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Звідси |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 1, |
c 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
al b 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cl d 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
що дає |
|
a 1, |
b |
1 |
|
, |
|
c 0, |
|
|
d |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Отже |
|
|
|
p x,t |
x |
1 |
g |
t |
1 |
g |
|
t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
1 |
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далі доцільно діяти за правилами 2 і 3. Тільки слід вказати, що
85
власні функції в даному випадку мають вигляд
|
|
|
|
|
|
|
Xk |
x cos |
Mk |
x, |
k 1,2,..., |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
де Мk – позитивні корені трансцендентного рівняння |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctgM |
|
1 |
|
|
M. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.16) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Задачі для самостійного розв’язування |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
На відрізку |
0 x l, |
t 0 |
|
для |
|
рівняння |
|
|
utt a2uxx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
вирішити задачі з наступними умовами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1. |
ux 0,t ux ,t 0, u x,0 sin |
5 |
|
x, |
|
|
ut |
x,t cos |
|
x. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||
|
Відповідь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
u x,t |
|
2 |
|
sin |
a |
|
t sin |
|
|
|
x cos |
5a |
|
t sin |
5 |
x. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2. |
u 0,t ux ,t 0, |
u x,0 x, |
ut |
x,0 sin |
|
|
x sin |
3 |
x. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
||||||
|
Відповідь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
u x,t |
2 |
sin |
a |
t sin |
|
|
x |
2 |
sin |
3a |
t sin |
3 |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
2 |
2 |
|
3a |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
8 |
|
1 k |
|
|
|
|
|
|
|
2k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
2k 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
a t sin |
|
|
|
|
|
x. |
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
2k 1 |
2 |
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
86
3. |
ux 0,t ux l,t 0, |
u x,0 x, |
|
|
|
ut x,0 1. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Відповідь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2k 1 |
|
2k 1 |
|||||||||||||
|
u x,t t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
a tcos |
|
|
x. |
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
k 0 2k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4. |
ux 0,t ux |
l,t hu l,t 0, h 0, u x,0 0, |
ut x,0 1. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Відповідь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2h |
|
|
|
|
|
|
h2 |
2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
u x,t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin a k t cos k x, |
|||||||||
|
a |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k 1 k l h |
|
k |
h |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
де k – позитивні корені рівняння tg l h . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
На відрізку |
|
0 x l, |
t 0 для |
|
рівняння |
utt |
a2uxx f x |
|||||||||||||||||||||||||
вирішити задачу з наступними умовами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
u 0,t , |
u l,t , |
|
u x,0 ut x,0 0. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
Відповідь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
u x,t v x,t x,t , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k a |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
v x,t ax |
cos |
tsin |
x, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
ak |
|
x sin |
xdx, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
y |
|
||
x |
|
|
|
f z dz dy |
|
a2 |
|||||
|
|
|
|||
|
|
0 0 |
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
f z dz dy |
|
x . |
a2 |
|
||||
|
|
|
|||
|
0 |
0 |
|
|
|
87
6. Знайти закон вільних коливань струни, розташованої |
на відрізку |
|||||||||
0, , якщо |
в |
початковий момент |
їй |
надали форму кривої |
||||||
u x,0 |
|
|
sin |
x |
. Потім відпустили |
без |
початкової |
швидкості. |
||
100 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Струна закріплена на лівому кінці, а правий може вільно переміщатися так, що дотична в правому кінці весь час залишається горизонтальною.
Відповідь:
u x,t |
|
|
sin |
x |
cos |
a t |
. |
100 |
2 |
|
|||||
|
|
|
2 |
88
6. БІЛЬШ ПРОСТЕ ПРАВИЛО У ВИПАДКУ
СТАЦІОНАРНИХ ЗОВНІШНІХ СИЛ
Необхідно пам'ятати, що універсальний метод, заснований на застосуванні правил 1-3, придатний для вирішення будь-якої неоднорідної задачі. Але в універсальності методу - його недолік. В
деяких випадках для відшукання функції v2 x,t можливо використовувати більш прості прийоми, ніж правило 3, рекомендуюче шукати рішення у вигляді ряду по власних функціях.
Пропонується розглянути задачу про вимушені коливання струни з крайовими умовами загального вигляду, зовнішня сила не залежить від часу (стаціонарна).
|
|
2 |
u |
a2 |
|
2 |
u |
f x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
t |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
0, |
(6.1) |
||
u 0,t ux 0,t 0, |
|
|
|||||||||||||||
|
u |
,t ux ,t 0, |
|
2 |
|
2 |
0, |
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ut x,0 x . |
|
|||||||
u x,0 x , |
|
Четвертий етап. (перенесення неоднорідності з рівняння в початкові умови). Рішення задачі (6.1) слід шукати у вигляді:
u x,t y x W x,t .
Хай у(х) є рішення крайової задачі для звичайного диференціального рівняння:
89
|
|
1 |
|
|
|
y x |
|
|
f x , |
|
|
a |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.2) |
y 0 y 0 0, |
|||||
|
y y 0. |
|
|||
|
|
Тоді для відшукання функції W(x,t) вимагається вирішити
задачу
|
|
2 |
W |
a2 |
|
2 |
W |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||
|
t |
|
x |
0,t 0, |
|
|||||
|
W 0,t W |
(6.3) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||
|
W ,t Wx ,t 0, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wt x,0 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W x,0 x y x ; |
Остання задача вже достатньо знайома і розв'язується методом Фур’є. Залишилося вирішити задачу (6.2). Після інтегрування рівняння
вийде
1 x
y x a2 0 x f d C1x C2.
Постійні С1 і С2 знаходяться з крайових умов.
90