Теоретичні відомості

Основне рівняння динаміки обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі можна записати у вигляді:

, (1)

де - кутове прискорення,- результуючий момент сил відносно осі обертанняz,J_z– момент інерції тіла відносно цієї осі.

З цього рівняння видно, що кутове прискорення , набуте твердим тілом, яке обертається навколо нерухомої осі, прямо пропорційне результуючому моменту всіх зовнішніх сил відносно осі обертання та обернено пропорційне моменту інерції тіла відносно цієї осі.

Моментом сили відносно осіzназивається скалярна фізична величина, яка чисельно дорівнює проекції вектора моменту сили відносно полюса (нерухомої точки), що лежить на осі на цю вісь. Можна довести, що величина моменту сили відносно осі завжди буде дорівнювати добутку модуля складової сили, перпендикулярної осі, на найменшу відстань між віссю і лінією дії сили(плече сили):

.

Момент інерції тіла відносно осі z – це фізична величина, яка чисельно дорівнює сумі добутків мас всіх часток твердого тіла на квадрат їх відстаней до осі обертання:

J_z = . (4)

З рівняння (1) випливає, що

J_z = . (4а)

У даній лабораторній роботі момент сил, що діє на систему, можна визначити з наступних міркувань: момент сил утворюється силою натягу нитки l, навитої на шків (рис. 1). Так як момент сили тертя, прикладеної до шківа, значно менший за момент сили натягу нитки, то у подальших розрахунках їм можна знехтувати.

Позначимо силу натягу нитки через , а плече цієї сили черезD/2, де D – діаметр шківа. Тоді

М= ·. (5)

Силу натягу нитки можна знайти з рівняння руху вантажу:

. (6)

Перейдемо від векторної форми запису рівняння руху вантажу до скалярної. Спроектуємо всі вектори на напрямок х (рис.1):

. (7)

Звідси сила натягу нитки: = m(g-a). (8)

Прискорення a вантажу m, що спускається зі стану спокою на відстань h, може бути легко знайденим за формулою:

, (9)

де t – час спуску вантажу.

Лінійне прискорення вантажу m дорівнює лінійному прискоренню точок поверхні шківу, з якого змотується нитка при спуску вантажу. Тому кутове прискорення обертової частини приладу може бути знайденим з співвідношення:

. (10)

Підставляючи в рівняння (4а) вираз для F та ε з формул (8) і (10), одержимо розрахункову формулу для J в такому вигляді:

J = . (11)

В умовах цієї роботи >> 1, тому остаточно маємо:

. (12)