ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИСТЕТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ

На правах рукописи

Светуньков Иван Сергеевич

Производственные функции комплексных переменных в экономическом анализе

Специальность 08.00.13 - Математические и инструментальные методы экономики

Научный руководитель:

доктор экономических наук,

профессор Соколов Д.В.

Санкт-Петербург

2007

1. Содержание

Содержание 2

Введение 4

Глава 1. Математические и инструментальные методы в экономическом анализе 9

1.1. Математические методы и модели экономического анализа 9

1.2. Основы теории производственных функций 22

1.3. Основы теории комплексных переменных 40

Глава 2. Степенная производственная функция комплексного аргумента 49

2.1. Линейная производственная функция комплексного аргумента 49

2.2. Степенная производственная функция комплексного аргумента с действительным показателем степени 64

2.3. Метод наименьших квадратов применительно к производственным функциям комплексного аргумента 79

Глава 3. Степенная производственная функция комплексных переменных 85

3.1. Линейная производственная функция комплексных переменных 85

3.2. Степенная производственная функция комплексных переменных с вещественными коэффициентами 94

3.3. Степенная производственная функция комплексных переменных с комплексными коэффициентами 120

3.4. Прогнозирование и анализ производства с помощью производственных функций комплексных переменных на примере Диатомового комбината 135

Заключение 155

Список используемой литературы 159

Приложение 169

Таблица 1 169

Таблица 2 170

Таблица 3 171

Таблица 4 171

Таблица 5 172

Таблица 6 172

Таблица 7 173

Таблица 8 173

Таблица 9 174

Таблица 10 174

Таблица 11 175

Таблица 12 175

Таблица 13 176

График 1 177

График 2 178

График 3 179

График 4 180

2. Введение

Экономический анализ в наше время востребован практически во всех организациях, стремящихся сделать свою работу эффективной. Методическим обеспечением экономического анализа в большинстве случаев выступают экономико-математические методы, которые стали активно развиваться в XX веке. Однако инструментарий экономико-математических методов в последнее время развивается, в основном, в направлении совершенствования существующих моделей или разработки новых на старой инструментальной базе. Принципиально новых моделей, расширяющих арсенал экономико-математического моделирования, появляется мало. Это вызвано не столько отсутствием потребности в новых математических моделях, сколько использованием в экономике привычного математического аппарата. Поэтому успешное применение в экономико-математическом моделировании новых разделов современной математики может значительно расширить инструментальную базу экономики, позволяя решать задачи, которые на современном инструментальном уровне представляются крайне сложными. Одним из таких аппаратов выступает теория функций комплексных переменных, применение которой в экономико-математическом моделировании открывает новые возможности перед экономистами, поскольку существенно расширяет не только совокупность экономико-математических моделей, но и вводит в научный оборот новые экономико-математические методы. Поэтому задача разработки концептуальных подходов, методов и методик, позволяющих использовать элементы теории функции комплексных переменных в экономико-математическом моделировании, представляется важной и актуальной.

Из многочисленных разделов экономико-математического моделирования в диссертации исследован вопрос использования комплексных переменных в экономике применительно к теории производственных функций. В качестве основы диссертации выступают основные положения экономической теории, теорий экономического анализа, производственных функций и комплексных переменных, в том числе работы ведущих зарубежных и отечественных ученых в исследуемой области.

Объектом исследования диссертации являются производственные системы разных уровней иерархии – от экономики отдельного предприятия до экономики России.

Предметом диссертационного исследования выступают математические методы и подходы моделирования производственных процессов с помощью элементов теории функции комплексных переменных.

Целью диссертационной работы является разработка концептуальных положений использования элементов теории функций комплексных переменных в экономико-математическом моделировании на примере производственных функций.

Для достижения поставленной цели в диссертации решены следующие основные задачи:

1. изучены положения экономико-математического моделирования производственных процессов в экономическом анализе;

2. предложены концептуальные положения о применении теории функций комплексных переменных в экономико-математическом моделировании;

3. разработаны линейные и степенные производственные функции комплексного аргумента и комплексных переменных, изучены их свойства;

4. обоснованы методы оценки коэффициентов всех производственных функций комплексного аргумента и комплексных переменных и выведены расчётные формулы.

Основной научной новизной диссертацией является обоснование возможности использования комплексных переменных в экономико-математическом моделировании на примере теории производственных функций. К числу наиболее важных новых научных результатов можно отнести следующие:

1. Доказана принципиальная возможность использования теории функции комплексных переменных в экономико-математическом моделировании на примере производственных функций;

2. Предложен способ представления пары экономических показателей в форме комплексной переменной, что позволяет применить элементы теории функции комплексных переменных в экономико-математическом моделировании;

3. Введены в научный оборот степенные производственные функции комплексного аргумента, в том числе:

   1. предложена и исследована линейная производственная функция комплексного аргумента: ;

   2. обоснована и исследована степенная производственная функция комплексного аргумента с действительными коэффициентами ;

   3. Исследована производственная функция комплексного аргумента с комплексными коэффициентами ;

4. Введены в научный оборот степенные производственные функции комплексных переменных, в том числе:

   1. предложена и исследована линейная производственная функция комплексных переменных: ;

   2. обоснована и исследована степенная производственная функция комплексных переменных с действительными коэффициентами ;

   3. предложена и исследована производственная функция комплексных переменных с комплексными коэффициентами ;

5. Дана экономическая интерпретация отдельных параметров степенных производственных функций комплексного аргумента и комплексных переменных. Выведены формулы для нахождения коэффициентов производственных функций комплексного аргумента и комплексных переменных на каждом наблюдении. Обоснована расчётная процедура оценки коэффициентов производственных функций комплексного аргумента и комплексных переменных с помощью метода наименьших квадратов;

6. С помощью обратных производственных функций комплексных переменных предложен подход по экономическому анализу и планированию рационального использования производственных ресурсов;

7. Предложен подход по решению задачи оптимизации использования производственных ресурсов с помощью моделей производственных функций комплексных аргументов и переменных;

8. Разработан метод использования предложенных производственных функций комплексных переменных в практике экономического анализа, в результате которого выявлен ряд их преимуществ по сравнению с существующими производственными функциями действительных переменных;

9. Введён ряд новых терминов, расчётных коэффициентов и дано уточнение ряда определений, расширяющих теорию производственных функций.

Изученные производственные функции доведены до стадии, позволяющей использовать их не только для многовариантных прогнозов развития предприятий, но и для анализа протекающих на производстве процессов.

По теме диссертации опубликовано 11 научных работ, из них: 2 научных монографии (в соавторстве), 3 статьи, 2 препринта и 4 – материалов научных конференций.

Материалы диссертации докладывались на 4 конференциях.

Научные исследования, изложенные в диссертации, использовались при выполнении гранта РФФИ №05-06-80020 «Исследование запредельных случаев метода Брауна в экономическом прогнозировании», а также поддержаны в продолжающемся научном исследовании «Разработка основ экономико-математического моделирования с использованием комплексных переменных» при поддержке РФФИ (грант №07-06-00151).

Основные материалы диссертации использованы в научной монографии «Производственные функции комплексных переменных», издание которой осуществлено при финансовой поддержке РФФИ (грант №07-06-07030).