4. 3.3. Степенная производственная функция комплексных переменных с комплексными коэффициентами

Модель (3.2.6), обладающая, как было показано выше, удивительными качествами, моделирующими свойства реальных производств, является одной из самых простых в классе степенных производственных функций комплексных переменных. Наиболее же общей, в классе возможных степенных производственных функций комплексных переменных, является функция следующего вида:

. (3.3.1)

Это степенная производственная функция комплексных переменных с комплексным коэффициентом пропорциональности

. (3.3.2)

и комплексным показателем степени.

. (3.3.3)

Из этой общей функции можно выделить следующие разновидности:

1) Коэффициент пропорциональности, и показатель степени являются действительными числами, то есть, мнимые части коэффициентов равны нулю:

, (3.3.4)

а она – изученная ранее в данной главе функция (3.2.6).

2) Коэффициент пропорциональности и показатель степени являются мнимыми числами, то есть, действительные части коэффициентов равны нулю:

. (3.3.5)

3) Показатель степени является действительным числом, а коэффициент пропорциональности – комплексным:

. (3.3.6)

Частный случай этой функции при b=1был изучен в параграфе 3.1 диссертации, поскольку в этом случае функция (3.3.6) становится той самой простой линейной производственной функцией с комплексными переменными, которая рассматривалась там.

4) Показатель степени является комплексным числом, а коэффициент пропорциональности действительным числом:

. (3.3.7)

5) Показатель степени является мнимым числом, а коэффициент пропорциональности комплексным числом:

. (3.3.8)

6) Показатель степени является комплексным числом, а коэффициент пропорциональности – мнимым числом

. (3.3.9)

Изучение всех шести видов степенной функции комплексных переменных не входит в задачу нашего исследования, поскольку по каждой из моделей мы получим результаты, которые необходимо будет описать для каждой из моделей в отдельной главе. Это задача будущих научных исследований в этом направлении.

Моделируемые производственные процессы многообразны, можно предполагать, что в разных случаях наилучшим способом аппроксимировать эти процессы может одна из приведённых выше семи функций (мы пока не рассматриваем другие модели производственных функций, придерживаясь, по возможности, аналогии с производственными функциями вещественных переменных). В этой связи возникает вопрос: как в каждом конкретном случае выбрать из указанного многообразия производственных функций одну, наилучшую? Для этого мы рекомендуем следующую процедуру оценки коэффициентов модели.

С помощью МНК находятся параметры общей степенной функции с комплексным коэффициентом пропорциональности и комплексным показателем степени (3.3.1). Исходя из того, чему равны найденные с помощью МНК коэффициенты a₀,a₁,b₀иb₁, исследователь может выбирать, какую производственную функцию ему использовать при моделировании. Например, еслии, то стоит использовать рассмотренную в предыдущем параграфе степенную производственную функцию комплексного переменного с вещественными коэффициентами:

.

Если значения коэффициентов степени близки к нулю, стоит использовать простую линейную функцию комплексных переменных, свойства которой были исследованы в первом параграфе третьей главы:

.

Если данных о второй составляющей комплексного результата нет, то предполагается, что и с помощью того же МНК могут быть найдены коэффициенты рассмотренных ранее производственных функций комплексного аргумента. В этой процедуре принципиально важно использовать метод оценки параметров производственной функции комплексных переменных с комплексными коэффициентами для того, чтобы по найденным значениям коэффициентов принять решение о том, какая из функций является наиболее приемлемой. Таким методом выступает метод наименьших квадратов (МНК), который мы уже использовали в предыдущей главе для оценки параметров различных моделей производственных функций. В частности, были выведены формулы для нахождения коэффициентов производственной функции комплексного аргумента (2.2.9), которая, напомним, выглядит практически так же, как и функция (3.3.1), а именно:

Для облегчения процедуры вывода формул оценивания параметров модели (2.2.9), мы вводили упрощения (2.3.4), благодаря которым функция (2.2.9) принимала вид:

(3.3.10)

Введём подобное упрощение и для функции (3.3.1):

, ,,.

Тогда функция (3.3.1) будет преобразована в следующую:

(3.3.11)

Как видно, функция (3.3.11) внешне практически не отличается от функции (3.3.10), а значит и процедура вывода формул для нахождения её параметров будет такой же, как и для нахождения параметров модели (3.3.10). Этот алгоритм подробно рассмотрен в третьем параграфе второй главы. Таким образом, можно сразу привести конечные формулы для нахождения коэффициентов модели (3.3.1).

Комплексный показатель степени следует вычислять по такой формуле:

. (3.3.12)

Для того чтобы найти значение комплексного коэффициента пропорциональности производственной функции (3.3.1), надо подставить значение показателя степени (b₀+ib₁) в следующее выражение:

. (3.3.13)

Итак, для оценки параметров модели (3.3.1) стоит пользоваться формулами (3.3.12) и (3.3.13).

Процедура выбора наилучшего вида аппроксимирующей степенной производственной функции комплексных переменных (3.3.1), (3.3.4) – (3.3.9) является легко реализуемой с учётом формул для расчёта комплексных коэффициентов с помощью МНК. Продемонстрируем возможность применения предложенных расчётных формул МНК на конкретных примерах, использовавшихся ранее.

По имеющимся статистическим данным (Таблица 8 приложения) построим степенную производственную функцию с комплексными коэффициентами для Диатомового комбината. Расчёты, выполненные по формулам (3.3.12) и (3.3.13) придают ей следующий вид:

.

Здесь действительной составляющей комплексного коэффициента пропорциональности можно пренебречь и использовать упрощённую модель (3.3.9).

По имеющимся статистическим данным по промышленному производству России (таблица 13 приложения) МНК позволил получить модель такого вида:

Эта модель достаточно хорошо аппроксимирует реальные данные – средняя ошибка аппроксимации производственного результата составила 10,82%.

Таким образом, расчеты по статистическим данным, проведённые в соответствии с предложенными подходами подтверждают возможность использования степенных производственных функций с любыми коэффициентами – комплексными или действительными, - для целей прогнозирования, в том числе и многовариантного.

Особый интерес представляют свойства самой степенной производственной функции комплексных переменных с комплексными переменными. Рассмотрим их.

Степенная производственная функция комплексных переменных с комплексными параметрами (3.3.1) значительно сложнее всех исследованных ранее производственных функций комплексного переменного. Фактически все предыдущие функции – её частные случаи.

Для того чтобы более детально исследовать данную функцию надо в (3.3.1) определить функции:

,

.

Для этого в формуле (3.3.1) комплексную переменную нужно представить в виде:. Теперь, если раскрыть скобки в показателе степени, то формула (3.3.1) примет вид:

(3.3.14)

Сумму произведений в показателе в правой части (3.3.14), можно преобразовать, используя формулу (1.3.8). Тогда получим:

(3.3.15)

Эту же формулу можно представить иначе, если сгруппировать действительную и мнимую части показателя степени:

(3.3.16)

После таких преобразований, мы получили формулу, в правой части которой перемножаются комплексное число , представленное в алгебраической форме записи с комплексным числом, представленным в экспоненциальной форме:

, (3.3.17)

где:

, (3.3.18)

. (3.3.19)

Теперь, если представить в тригонометрической форме записи комплексного числа и раскрыть скобки в (3.3.17), то после группировки действительной и мнимой частей, получим:

. (3.3.20)

В уравнении (3.3.20) левая часть равна правой только при равенстве в нём действительных и мнимых частей, то есть, когда выполняются равенства:

, (3.3.21)

. (3.3.22)

Таким образом, для вычисления прибыли Gи издержек производстваCисследователю достаточно воспользоваться формулами (3.3.21) и (3.3.22), с учётом (3.3.18) и (3.3.19). Однако, если на практике требуется провести расчёты объёмов производства, а не прибыли и издержек, то можно, помня, что, вывести формулу нахождения дохода организации для данной производственной функции. Тогда, складывая (3.3.21) и (3.3.22), получим:

,

или, что то же самое:

, (3.3.23)

где Rиφнаходятся по формулам (3.3.18) и (3.3.19).

Приведённые формулы позволяют не только моделировать процессы производства, но и планировать объёмы выпуска и получаемые затраты при разных сочетаниях ресурсов при определённой технологии производства.

В исследовании производственных процессов и планировании производства иногда стоят более сложные задачи: например, оценить, насколько эффективно производство, выяснить каким образом можно получить тот или иной объём производства, как сократить затраты на производстве и каким образом можно получить наибольшую прибыль. Мы предлагаем подойти к решению этих проблем с двух сторон:

1. Вывод обратной производственной функции, позволяющей моделировать зависимость затрат ресурсов от заданных прибыли и издержек.

2. Исследование свойств коэффициентов функции (3.3.1), по которым можно судить о сути протекающих на производстве процессов.

Для начала попробуем вывести обратную производственную функцию. Вообще, построение обратной функции – это вывод такой зависимости , при которой выполняется равенство. То есть, применительно к производственной функции комплексной переменной, надо вывести такую функцию, чтобы выполнялось равенство (3.3.1).

Для вывода такой обратной функции в формуле (3.3.1) прологарифмируем левую и правую части:

. (3.3.24)

Откуда получим:

. (3.3.25)

Логарифм комплексного числа может быть преобразован по формуле (3.3.12), с помощью которой преобразуем числитель (3.3.25). После этого, умножив числитель и знаменатель дроби в правой части равенства на сопряжённое комплексное число в знаменателе, получим:

. (3.3.26)

Напомним, что аргументы комплексных чисел находятся по формуле (1.3.8). В нашем случае эти формулы преобразуются в:

Раскрыв скобки в числителе правой части равенства, сгруппировав действительную и мнимую части, а затем, проэкспонировав обе части равенства, получим:

(3.3.27)

В этой формуле комплексное число представлено в экспоненциальной форме, где модуль числаPи уголβнаходятся по формулам:

,

.

Представив в тригонометрической форме, получим:

,

где равенство выполняется только при равенстве соответствующих действительных и мнимых частей:

, (3.3.28)

. (3.3.29)

Формулы (3.3.28) и (3.3.29) позволяют оценить, какими должны быть затраты труда и основных производственных фондов для достижения требуемых прибыли и издержек производства (при сохранении технологии производства). Фактически, функции (3.3.28) и (3.3.29) являются одновременно изоквантами (кривыми, показывающими комбинации использования первого и второго типа ресурсов для выпуска определённого количества товара) и своеобразными изоклиналями (линий на плоскости ресурсов, точки которых характеризуют один и тот же способ производства при разных объёмах производства).

Перейдём теперь к исследованию свойств коэффициентов производственной функции (3.3.1).

Формулу для нахождения комплексного показателя степени можно вывести, прологарифмировав левую и правую части уравнения производственной функции так, как это было сделано ранее в (3.3.24). Тогда этот комплексный коэффициент будет находиться по формуле:

.

Используя формулу логарифма комплексного числа (3.3.12), преобразуем полученное равенство в следующее:

.

После умножения дроби в правой части равенства на сопряжённое знаменателю комплексное число, получим:

Открывая скобки и группируя отдельно действительную и мнимую части полученной комплексной переменной, получим коэффициенты степени b₀иb₁в следующем виде:

(3.3.30)

(3.3.31)

Найдём теперь коэффициенты пропорциональности a₀иa₁. Для этого представим левую и правую части производственной функции (3.3.1) в экспоненциальной форме:

, (3.3.32)

где ,,- модули, а,,- полярные углы комплексных переменных:,и.

Равенство (3.3.32) выполняется только при равенстве модулей и полярных углов в левой и правой его частях. То есть:

(3.3.33)

Решая эту систему уравнений, получим значения коэффициентов a₀иa₁:

, (3.3.34)

. (3.3.35)

Из (3.3.30), (3.3.31), (3.3.34) и (3.3.35) можно составить систему четырёх уравнений с четырьмя неизвестными, решая которую можно найти значения всех параметров производственной функции. Ввиду сложности уравнений, решить систему можно, только применяя численные методы.

Как видно, несмотря на сложность расчётов, коэффициенты производственной функции (3.3.1) могут быть найдены даже при одном наблюдении. Они могут быть найдены также и методом наименьших квадратов с помощью формул (3.3.17) и (3.3.20), но в таком случае требуется как минимум два наблюдения.

Найдём теперь границы допустимых значений коэффициентов производственной функции.

Из формулы (3.3.1) видно, что комплексный коэффициент показателя степени и комплексный коэффициент пропорциональности, не могут быть равны нулю, так как при этом получается, что прибыль и издержки производства не зависят от затрат на него, что абсурдно. Возможны ситуации, при которых коэффициенты производственной функции (3.3.1) принимают отрицательные значения.

Для того чтобы определить допустимые границы изменения коэффициентов функции, надо уточнить, какие значения выходных переменных имеют экономический смысл. Так Cне может принимать отрицательные значения, а прибыльGможет быть отрицательной, однако не должна быть меньше, так как в противном случае доход предприятиябудет отрицательным, что не приемлемо.

Значит, коэффициенты производственной функции должны быть такими, чтобы выполнялось условие:

(3.3.36)

В комплексной области для переменной это означает выполнение условия:

, , (3.3.37)

где - полярный угол комплексной переменной. При этом, в случае, когда, угол.

Таким образом, полярный угол комплексной переменной может изменяться в пределах:

, (3.3.38)

Используя это ограничение, можно составить систему неравенств:

, (3.3.39)

Эта система неравенств позволяет найти границы изменения одного какого-либо коэффициента, в зависимости от значений остальных. Она имеет решение, например, если, подставить в неё значения a₀,a₁,b₁, вычисленные по формулам (3.3.34), (3.3.35) и (3.3.31). В таком случае допустимые границы изменения коэффициентаb₀будут:

, (3.3.40)

Для коэффициента b₁, при заданныхa₀,a₁,b₀, границы изменения будут лежать в пределах:

, (3.3.41)

Как видно из (3.3.40) и (3.3.41), границы изменения коэффициентов b₀иb₁с увеличениемLсужаются. С увеличениемK, границы изменений коэффициентаb₁также сужаются, однако границы изменений коэффициента b₀расширяются.

Границы не меняются, при изменении каких-либо других параметров, однако границы изменения G,CиQрасширяются с увеличениемk.

Исследования на условных примерах (график 2 приложения) показали, что интереснее всего функция (3.3.1) ведёт себя при фиксированных значениях K,L,a₀,a₁,b₁и изменении коэффициентаb₀во времени с неким постоянным шагом. В таких исследованиях, конечно же, нужно учитывать найденные границы (3.3.40), в которых функция (3.3.1) ведёт себя аналогично исследованной в предыдущем параграфе функции с действительными коэффициентами (3.2.6).

Поведение степенной производственной функции комплексных переменных с комплексными коэффициентами при фиксированных значениях K,L,a₀,a₁,b₀и изменении коэффициентаb₁во времени с постоянным, можно охарактеризовать как более спокойное: при увеличенииb₁, издержкиСвозрастают, достигают своего максимума, а затем начинают убывать (график 3 приложения). ПрибыльGна всём промежутке (3.3.41) убывает.

Также весьма интересно поведение функции (3.3.1) при некоторых фиксированных значениях коэффициентов и линейном изменении затрат ресурсов KиL(либо одного из них, либо обоих). В таком случае значенияGиCмогут изменяться циклически либо колебаться. Получается, что производственная функция (3.3.1) позволяет моделировать сложные колебательные производственные процессы. Пример такого поведения функции представлен на графике 4 приложения.