2. 2.2. Степенная производственная функция комплексного аргумента с действительным показателем степени

Самый простой вариант степенной производственной функции комплексного аргумента с действительным показателем степени выглядит так:

(2.2.1)

Здесь, как и в предыдущем параграфе, Q_t– объём производства,K_t– затраты капитала,L_t– трудовые затраты.a– коэффициент пропорциональности, аb– показатель степени. Как видно, в правой части данной производственной функции затраты производства представлены комплексным числом, а результат производства – в левой части комплексным числом, в котором.

Представим производственную функцию (2.2.1) в экспоненциальной форме:

(2.2.2)

Учитывая то, что Qпо своей природе не может быть отрицательным, знак модуля можно опустить. Полярный уголφположительного действительного числаQравен,. Кроме того, так какL_t>0иK_t>0, то всегда будет выполняться равенство. Равенство (2.2.2) соблюдается лишь при равенстве соответствующих модулей и полярных углов комплексных чисел:

, (2.2.3)

Второе уравнение в системе (2.2.3) выступает ограничением для производственной функции (2.2.1). Причём это ограничение может быть выражено одним из двух следующих способов:

1. , , (2.2.4)

2. , . (2.2.5)

В случае, когда , условие (2.2.4) преобразуется в условие. Условие (2.2.5) в такой же ситуации трансформируется в условие. Получается, что производственная функция (2.2.1) преобразуется либо в, либо в. Такие производственные функции не представляют интереса для исследователя. Значит у функции (2.2.1) есть определённое ограничение на полярный угол числаQ_t– он не должен быть равен нулю. Тогда условие (2.2.4) преобразуется в следующее:

, , (2.2.6)

Для того, чтобы иметь чёткие представления о том, почему такое ограничение должно быть введено, рассмотрим как комплексное число затрат производства на одной комплексной плоскости отображается в действительное число результата производства на другой комплексной плоскости (или, что тоже самое, в комплексное число, у которого мнимая часть равна нулю).

Комплексное число на плоскости ресурсов с осями координатKиiLможет быть представлено вектором, выходящим из точки с координатами(0;0). У такого вектора есть полярный угол. Такое комплексное число показано на рисунке 2.4,a. Этому комплексному числу ресурсов соответствует действительное числоQ₀на комплексной плоскости результата производства (рис. 2.4,b), где осями координат выступают ось действительных чиселQи некая ось мнимых чиселiC. Что скрывается подC, нас не интересует, так как в любом случае вектор на этой плоскости имеет вид(так как мнимая часть результата в функции (2.2.1) равна нулю). У этого вектора так же есть полярный угол,. Это действительное число, представленное на комплексной плоскости, показано на рисунке 2.4,b).

На рисунке 2.4 видно, что для того, чтобы вектор был отображён в вектор, его угол должен стать равным углу,, а значит должен либо уменьшиться на величину угла, либо увеличиться на величину. В нашей производственной функции нет свободных членов, так что изменение возможно лишь при умножении углаαна коэффициентb. Для первого случая должно выполняться условие:b=0. Во втором случае, уголαдолжен быть умножен на число.

На рисунке 2.4 показан случай, когда , а. В дальнейшем, для простоты расчётов будем пользоваться именно этими значениямиnиk. Тогда условие (2.2.6) примет вид:

(2.2.7)

Таким образом, мы исключаем из области значений коэффициента bотрицательные значения.

Из формулы (2.2.7) видно, что bотражает пропорции междуKиL. При этом, если, то. Если же, то в свою очередь. Другими словами, чем выше капитальные затраты по сравнению с трудовыми, тем больше коэффициентb, а чем больше на производстве трудовые затраты по сравнению с капитальными, тем меньше показатель степениb. Также стоит заметить, что, если.

Получается, что коэффициент bменяется в пределахи отражает пропорции труда и капитала, сложившиеся на производстве. Причём, если значенияbлежат в пределах, то можно сказать, что производство трудоинтенсивно. Если же, то производство капиталоинтенсивно. Коэффициентbв таком случае можно назвать коэффициентом «типа производства».

Стоит заметить, что коэффициент aлегко находится из (2.2.3). Рассчитывается он по формуле:

(2.2.8)

Этот коэффициент не несёт в себе никакого экономического смысла, а просто отражает отношение модуля действительного числа Q_tк комплексному.

Для того, чтобы построить производственную функцию (2.2.1) на конкретных статистических данных по затратам и результату производства, их надо привести к безразмерным величинам. Если приводить данные по первому наблюдению, то . Для последующих наблюденийbбудет либо увеличиваться, либо уменьшаться, что будет характеризовать тип производства.

По данным о Российском производстве в период с 1998 по 2003 гг. таблицы 3 приложения были построены производственные функции (2.2.1) и рассчитаны значения коэффициента bдля каждого наблюдения. Их значения приведены в таблице 4 приложения. По этим значениям видно, что производство в России с каждым годом становится всё более и более капиталоинтенсивным. По имеющимся статистическим данным можно также спрогнозировать, каким будет объём производства при сохранении тенденций измененияLиK. Этот вопрос подробней будет рассмотрен в следующем параграфе.

Рассмотрим более сложный вариант производственной функции – производственную функцию комплексного аргумента с комплексными коэффициентами. Данная функция имеет следующий вид:

(2.2.9)

Чтобы представить эту функцию в экспоненциальной форме, сделаем следующие преобразования:

1. Представим левую часть равенства (2.2.9) в экспоненциальной форме, а правую – как показательную логарифмическую:

, (2.2.10)

2. Затем представим комплексный коэффициент пропорциональности в экспоненциальной форме. Для этого по формуле (1.3.8) преобразуем логарифм комплексного переменного ресурсов в правой части (2.2.10), раскроем скобки и сгруппируем показатели степени:

, (2.2.11)

Здесь иопределяются условием (1.3.2). Равенство (2.2.11) выполняется только при равенстве соответствующих модулей и полярных углов комплексных переменных в правой и левой частях. Учитывая это, получаем систему двух уравнений:

, (2.2.12)

Стоит заметить, что всегда и , а, следовательно,определяется как,. Для облегчения расчётов при исследовании данной функции предположим, что .

Как видно из (2.2.12), у функции (2.2.9) нет таких жёстких ограничений на период полярного угла, как у функции (2.2.1), так как комплексные коэффициенты автоматически регулируют значение полярного угла результата. Однако необходимо отметить, что коэффициенты связаны друг с другом ограничениями – так, например, коэффициент b₀должен удовлетворять равенству, следующему из (2.2.12):

(2.2.13)

Для того чтобы выявить свойства функции (2.2.9), рассмотрим их последовательно, при показателях степени – действительном или мнимом. Сначала проанализируем функцию, в которой , то есть:

. (2.2.14)

Представив в экспоненциальной форме коэффициент пропорциональности и комплексную переменную ресурсов, получим:

,

откуда легко получить следующую систему уравнений:

(2.2.15)

Второе равенство в (2.2.15) представляет собой некое балансовое уравнение, связывающее все коэффициенты модели и её ресурсы. Из этого уравнения видно, что коэффициент b₀характеризует отношение полярных углов двух комплексных чисел – коэффициентаи переменной:

Однако для нас основной интерес представляет первое уравнение в (2.2.15), поскольку именно оно предопределяет связь между производственными ресурсами и результатом. С учётом того, что это равенство определяет поведение производственного выпуска в зависимости от двух ресурсов, модель может быть представлена графически (рис. 2.5).

Для простоты исследования функции введём следующее обозначение:

.

Тогда первое уравнение в (2.2.15) может быть записано так:

(2.2.16)

Примем радиус комплексного аргумента величиной постоянной. Тогда выражение в скобках равенства (2.2.16) также является величиной постоянной. Графически это означает следующее: при разных сочетаниях KиL, дающих в результате постоянство радиуса, модель будет генерировать одно и то же значение производственного результатаQ. Условие, как известно, определяет уравнение окружности на плоскости производственных ресурсов. Поскольку производственные ресурсы определены в первом квадранте этой плоскости, то для нашего случая мы имеем четверть окружности. Чем больше радиус комплексного аргумента, тем больше становится производственный результат при положительном значении коэффициентаb₀. Поэтому уравнение (2.2.14) описывает поверхность в пространстве «объём - капитальные ресурсы - трудовые ресурсы».

Если показатель степени b₀ равен единице, то увеличение радиуса комплексного аргумента производственных ресурсов на единицу ведёт к увеличению производственного результата на a. Графически это означает уравнение плоскости, проходящей через нулевую точку и, в силу имеющихся ограничений, имеющую допустимую область, находящуюся в первом квадранте пространства и ограниченную на плоскости «объём – капитальные ресурсы» данного пространства линиейQ=aK, а на плоскости «объём – трудовые ресурсы» - линиейQ=aL.

Если же показатель степени b₀не будет равен единице, то уравнение (2.2.14) описывает нелинейные поверхности в первом квадранте пространства.

На рисунке 2.5 изображён случай, когда b₀<1. Здесь линейное увеличение объёмов привлекаемых ресурсов приводит к уменьшающейся их отдаче, проявляющейся в замедляющемся росте производственного результата. Нелинейная поверхность, соответствующая рассматриваемому случаю модели, изображена на рис. 2.5 жирными линиями. Модель, как видно, будет характеризоваться линиями окружности на поверхности с радиусами, исходящим из оси объёмов.

Для другого случая, когда показатель степени b₀>1 , модель изменит свой характер – линейное приращение ресурсов будет приводить к нелинейному росту производственного результата, причём этот рост будет превышать рост ресурсов. Этот случай показан на рис. 2.6. Здесь поверхность, моделируемая с помощью функции (2.2.14), нанесена жирными сплошными линиями.

Функция, которую мы рассматриваем, имеет смысл и при отрицательном показателе степени, то есть, когда b₀<0. В этом случае модель (2.2.16) примет вид:

. (2.2.17)

Особенности этой модели определяются абсолютной величиной показателя степени b₀, но модель всегда будет иметь следующий характер: если радиус комплексного аргумента равен нулю, то объёмы производства равны бесконечности; с увеличением количества привлекаемых ресурсов объёмы производства начинают снижаться, стремясь к нулю при стремлении радиуса комплексного аргумента ресурсов к бесконечности. Особого интереса эта модель не представляет, но знать её свойства важно, поскольку при использовании степенной функции комплексного аргумента с комплексными коэффициентами (2.1.14), складывается сложная динамика от влияния действительного и мнимого показателей степени.

Рассмотрим модель комплексного аргумента при мнимом показателе степени:

, (2.2.18)

В экспоненциальной форме эта модель будет иметь такой вид:

. (2.2.19)

С учётом того, что мнимая составляющая левой части равенства равна нулю, для коэффициентов модели имеем балансовое уравнение:

. (2.2.20)

Действительная часть равенства (2.2.19), которая, собственно говоря, нас и интересует, будет:

. (2.2.21)

То есть, объём выпуска на прямую не зависит от объёма привлекаемых ресурсов, а полностью определяется пропорцией между ними, которая, очевидно, отражается полярным углом φкомплексного аргумента. Приb₁=0объём производства будет численно равен модулю коэффициента пропорциональности. Также следует отметить, что при любом показателе степени, в случае, когда полярный угол равен нулю (φ=0), объём производства также будет численно равен модулю коэффициента пропорциональности.

Рассмотрим теперь случай, когда b₁>0, а полярный угол возрастает. Это означает, что увеличивается доля привлекаемых трудовых ресурсов, а доля капитальных ресурсов уменьшается. Как легко убедиться из (2.2.21), объём производства при этом уменьшается (рис. 2.7). С учётом того, что перед нами экспоненциальная зависимость, это уменьшение будет носить нелинейный характер.

Характер убывания результата с изменением полярного угла определяется показателем степени b₁, но следует отметить, что в любом случае, если область допустимых значений выходит за пределы первого квадранта и определена на всей комплексной плоскости, то после того, как полярный угол делает полный поворот на 2π, результат Q уменьшается в раз, так как:

. (2.2.22)

В том случае, когда показатель степени является величиной отрицательной (b₁<0), характер поведении модели меняется на противоположный. С ростом полярного угла комплексного аргумента ресурсов одновременно растёт и производственный результат. Начинается он при φ=0, когда Q=a. Этот рост, как легко понять, также является нелинейным (рис. 2.8).

Опять-таки, если говорить о ситуации, когда модель определена на всей комплексной плоскости, то полярный угол делает полный поворот на 2π и модель продолжает увеличивать результат. Понятно, что за полный поворот полярного угла, результат Qувеличивается в раз.

Следует ещё раз подчеркнуть, что и в первом, и во втором случаях объём производства не зависит от количества применяемых ресурсов, а только от полярного угла. То есть, пунктирным линиям на комплексной плоскости рис. 2.7 и 2.8, представляющим собой проекции прямых линий, лежащих на описываемой моделью поверхности, соответствует одно и только одно значение производственного результата вне зависимости от того, как далеко от нуля располагается на комплексной плоскости ресурсов точка, характеризующая затраты ресурсов.

Если в первом случае поведения изучаемой функции (2.2.14), при равенстве нулю мнимой составляющей показателя степени, производственный результат не зависел от полярного угла, а определялся только радиусом комплексного аргумента, то во втором случае, когда показатель степени был мнимым, производственный результат не зависел от объёма привлекаемых ресурсов, а определялся исключительно пропорцией между ними. Это означает, что функция (2.2.14) в случае, когда обе составляющие комплексного показателя степени не равны нулю, отражает сложный характер поведения производственного процесса.

Как видно из (2.2.12), производственный результат зависит и от количества привлекаемых производственных ресурсов (величины радиуса комплексного аргумента), и от пропорции между ними (полярный угол комплексного аргумента ресурсов).

Если в результате оценивания параметров модели (2.2.14) установлено, что коэффициент b₀>0, то это свидетельствует о тенденции роста производственного результата при увеличении количества привлекаемых производственных ресурсов. В случаях, когда0<b₀<1, имеем экстенсивный рост, в том случае, когдаb₀>1, имеем интенсивный рост. Отрицательность этого коэффициента возможна только в случае кризисных явлений в производстве.

При этом определённую диагностирующую роль играет другой коэффициент – b₁. Если он положителен, это говорит о том, что дополнительное привлечение трудовых ресурсов ухудшит производственные результаты. В этом случае дальнейшее привлечение капитальных ресурсов улучшит производственные показатели. Когда же коэффициент b₁ оказывается меньше нуля, это свидетельствует о том, что путь улучшения производственных результатов лежит через привлечение дополнительных трудовых ресурсов.

Очевидно, что многофакторные модели такого рода в экономико-математическом моделировании ещё не встречались, поскольку их создание в области действительных переменных невозможно.

Рассмотрим далее, как можно определить коэффициенты всех рассмотренных функций по нескольким наблюдениям.