2. 3.2. Степенная производственная функция комплексных переменных с вещественными коэффициентами

В экономике линейные зависимости, как известно, встречаются очень редко, и лишь в отдельных достаточно коротких промежутках времени. В подавляющем же большинстве случаев превалируют нелинейные зависимости, которые, так же действуют в относительно небольших промежутках времени, поскольку одна нелинейная тенденция сменяет другую через некоторый временной интервал, обусловленный инерционностью объекта, сохраняющего во время этого интервала данную тенденцию.

Смена тенденций развития экономических процессов объясняется тем, что любой экономический объект эволюционирует, меняя свою структуру, состав элементов, взаимосвязи и взаимодействия с другими объектами.

Любой производственный процесс, развиваясь в целом по сложной циклической траектории, в отдельные промежутки времени может быть описан разными нелинейными моделями. Модельный ряд производственных функций существенно расширяют комплексные переменные ресурсов и производственных результатов.

Если обозначить комплексную переменную производственных ресурсов через , а комплексную переменную результатов производства через, то в общем случае производственная функция комплексных переменных будет выглядеть так:

. (3.2.1)

Вид функции может быть самым разнообразным – от линейных, изученных в предыдущем параграфе, до нелинейных по параметрам сложных моделей типа кривых Гомперца. В целом теория функций комплексных переменных предоставляет исследователю множество возможных моделей, но из них в диссертации исследуются только степенные функции комплексных переменных.

В общем виде степенные производственные функции комплексных переменных можно записать так:

. (3.2.2)

Здесь и- комплексные коэффициенты:

, . (3.2.3)

Рассмотрим самый простой из возможных случаев – случай, когда мнимые части комплексных коэффициентов (3.2.3) равны нулю, и функция (3.2.2) является степенной производственной функцией с действительными коэффициентами aиb.

Введём следующие исходные переменные для их подстановки в производственную функцию.

Производственные ресурсы, как и во второй главе, представим затратами трудовых ресурсов Lи затратами капитальных ресурсовKи отобразим в виде одной комплексной переменной:

. (3.2.4)

Здесь трудовые ресурсы L неслучайно отнесены в мнимую часть комплексной переменной ресурсов. Если во второй главе при использовании производственной функции комплексного аргумента было безразлично, какой ресурс отнести к мнимой части, то в нелинейной функции комплексных переменных это принципиально, поскольку обусловлено свойствами самой функции, как это будет показано далее. Принципиально важно также отнесение показателей производственной деятельности в вещественную или мнимую части комплексной переменной производственных результатов.

Запишем результат производства также в виде комплексной переменной следующего вида:

. (3.2.5)

Здесь C– издержки производства, аG– некоторый производственный результат, свойства которого нам откроются при изучении свойств предлагаемой функции. Очевидно, что все составляющие в (3.2.4) должны быть представлены в одних и тех же единицах измерения.

С учётом всего этого, степенная модель производственной функции комплексных переменных будет иметь вид:

. (3.2.6)

Так как эта функция является нелинейной, удобнее работать с экспоненциальной формой записи комплексной переменной производственных ресурсов. С учётом этого (3.2.6) запишется так:

. (3.2.7)

Здесь модуль комплексных ресурсов:

, (3.2.8)

а полярный угол θравен арктангенсу соотношения ресурсов:

. (3.2.9)

Не стоит забывать, что полярный угол комплексной переменной имеет периодичность . Однако в будущем мы будем опускать, считая периодичность как разумеющуюся.

Из экономического смысла исходных переменных, очевидно, что случаи, когда K=0илиK<0не существуют, так же, как не существуют случаи, когдаL=0илиL<0. То есть, выполняется обязательное ограничение на диапазон изменения производственных ресурсов.

L>0; K>0. (3.2.10)

Таким образом, полярный угол θвсегда будет однозначно определяться по формуле (3.2.9).

С учётом обозначений (3.2.8) и (3.2.9) модель степенной производственной функции комплексных переменных имеет вид:

. (3.2.11)

Запишем эту же функцию в тригонометрической форме, которую также будем использовать далее:

. (3.2.12)

Отсюда легко найти взаимосвязь между действительной частью комплексного производственного результата и исходными производственными ресурсами:

. (3.2.13)

В силу свойств комплексного числа получим зависимость, вытекающую из условия равенства мнимых частей левой и правой части равенства (3.2.12):

. (3.2.14)

Полученные выше зависимости позволяют провести модельные эксперименты с целью изучения свойств степенной производственной функции комплексных переменных на условных примерах, и определить смысл производственного результата G.

Это исследование проводилось следующим образом. Задавались положительные значения коэффициентов aиbфункции (3.2.6), а затем определённым образом менялись значения производственных ресурсов, что естественно влияло на производственный результат.

Вначале мы предположили, что капитальные ресурсы остаются неизменными, а трудовые ресурсы меняются циклично в соответствии с синусоидальным законом, что в экономической практике встречается повсеместно, например, в сезонных производствах. В результате расчётов выяснилось, что переменная Gи переменнаяСтакже меняются периодично, совпадая по фазе с изменением трудовых ресурсов. При этом амплитуда колебаний результатаGсущественно ниже, чем амплитуда колебаний издержек производстваС. Поведение издержек в зависимости от такого изменения производственных ресурсов вполне объяснимо – чем больше привлекаются трудовые ресурсы при постоянстве капитальных ресурсов, тем больше фонд оплаты труда и тем больше издержки производства. Отметим на будущее, что производственный результатGс ростом трудовых ресурсов растёт в меньшей степени, нежели издержки производства.

Затем мы предположили обратную ситуацию, а именно, что трудовые ресурсы остаются неизменными, а циклично по синусоиде меняются капитальные ресурсы. В этом случае на этапе их роста растёт и переменная G, а издержки производства снижаются. На этапе уменьшения капитальных ресурсов переменнаяGтакже уменьшается, а издержкиСвозрастают.

Эта особенность поведения модели (3.2.6) позволяет сделать вывод о том, что же представляет собой производственный результат G.

Рост капитальных ресурсов в производстве означает автоматизацию и механизацию производства, внедрение инноваций, что, как известно, ведёт к снижению себестоимости, в том числе и за счёт повышения производительности труда. Эта зависимость описывается предложенной моделью и подтверждает правильность использования в мнимой части комплексного производственного результата показателя издержек производства С. Очевидно, что и снижение объёмов использования капитальных ресурсов при постоянстве трудовых ресурсов ведёт к снижению производительности труда, а, следовательно, к росту издержек производстваС.

Таким образом, видно, что зависимость издержек производства от капитальных и трудовых ресурсов моделируется степенной производственной функцией комплексных переменных (3.2.6) адекватно происходящему в реальной экономической действительности.

Какое же экономическое толкование имеет переменная G, которая при постоянстве капитальных ресурсов и росте затрат труда а, значит и росте объёмов производства, увеличивается, но в меньшей степени, чем издержки производства, а при постоянстве трудовых ресурсов и увеличении капитальных ресурсов растёт, в то время как издержки снижаются? Из всех экономических показателей подобным образом ведёт себя только один, а именно – валовая прибыль. Действительно, снижение издержек производства при постоянстве объёма выпуска товара ведёт к увеличению прибыли, поэтому моделируемое движение результатаGв "противофазе" движению издержекСв точности соответствует реальной ситуации. Таким образом, можно сделать вывод о том, что модель (3.2.6), представляет собой производственную функцию, в которой валовая прибыльGи издержки производстваСпредставлены в виде нелинейной зависимости от затрат капитальныхКи трудовыхLресурсов.

Следует отметить, что производственные функции, построенные с использованием только действительных переменных, не дают такого соответствия.

Таким образом, полученный результат наглядно демонстрирует обоснованность и рациональность использования комплексных переменных в экономике, поскольку преимущества модели (3.2.6) перед её возможными аналогами в области действительных переменных очевидны.

Итак, проведённые исследования показали, что комплексный производственный результат модели (3.2.6) в действительной части представляет валовую прибыль G, а в мнимой – издержки производства С.

Интересно, что если перейти к абсолютным, а не относительным значениям показателей производства, то в предложенной модели валовый выпуск продукции определяется суммой действительной и мнимой частей комплексного выпуска Q=G+C, а тангенс угла наклона комплексной переменной производственного результата представляет показатель рентабельности по себестоимости:ctgθ=G/C. В данной комплексной переменной ясными являются как её составляющие (мнимая и действительная части), так и смысл угла наклона. Неясным же остаётся экономический смысл модуля комплексного результата:

. (3.2.15)

Аналогов этому показателю в системе показателей эффективности производства нет, поэтому свойства этого нового показателя предстоит исследовать в дальнейшем. Пока что, исходя из экономической сути составляющих комплексного результата, можно только определить границы его изменения.

Нижней границей показателя (3.2.15) выступает величина издержек производства. Действительно, валовая прибыль может принимать нулевые значения при ненулевых издержках, но нулевые значения издержек производства при ненулевой валовой прибыли невозможны. Поэтому в том случае, когда валовая прибыль равна нулю, модуль комплексного результата производства будет равен издержкам производства. При этом показатель (3.2.15) всегда будет меньше величины валового выпуска продукции. Таким образом, новый показатель результатов производства (3.2.15) меняется в следующих пределах:

. (3.2.16)

Следовательно, в первом приближении модуль Sможно интерпретировать как масштаб производства. Теперь, зная экономическую суть каждой переменной производственной функции (3.2.6), им можно задать следующие ограничения:

K>0, L>0, C>0. (3.2.17)

Прибыль Gможет принимать любые значения, как отрицательные, так и положительные. ЕслиG>0, то производство является прибыльным. ЕслиG<0, то производство является убыточным. В случае, когдаG=0, производство является самоокупаемым. Для случая убыточной работы (приG<0) обязательно должно выполняться условие:

, (3.2.18)

поскольку убыток от выпуска продукции в общем случае не может превышать затраты на этот выпуск.

Аналогично можно определить и пределы для (3.2.6).

Как следует из формулы (3.2.14), коэффициент aне может быть отрицательным, так как тогда иCбудет отрицательным, а это невозможно, поскольку затраты на производство не могут быть отрицательными (3.2.17). При,GиCбудут равны нулю, но ситуаций, когда для производства привлекаются трудовые и капитальные ресурсы, а издержки при этом равны нулю, не существует. Значит, коэффициентaв данной модели должен быть положительным.

Аналогично для показателя степени bимеем, что ситуация, для которойне имеет экономического смысла, поскольку отрицательность показателя степени означает, что возводимая в эту степень переменная находится в знаменателе и между ней и результатом будет обратная зависимость. Для нашей модели это означает, что чем меньше используемые капитальные и трудовые ресурсы, тем выше издержки производства, и наоборот, чем меньше используются ресурсы производства, тем выше его издержки, что является абсурдом. Приb=0из (3.2.12) получаем, что, а, то есть, издержки производства раны нулю. Однако, как уже было показано, издержки производства не могут быть равны нулю при затратах K и L, отличных от нуля. Это означает, что показатель степени также положителен, то есть:

a>0, b>0. (3.2.19)

Теперь можно уточнить, что модель степенной производственной функции комплексных переменных представляет собой основное уравнение (3.2.6) при ограничениях (3.2.17) – (3.2.19).

Для того чтобы реализовать модель (3.2.6) на практике, необходимо показать, как находятся коэффициенты этой модели. Для этого представим левую часть модели (3.2.6) в экспоненциальной форме. Тогда с учётом полученной ранее экспоненциальной формы модели степенной производственной функции комплексных переменных (3.2.11) получим:

, (3.2.20)

где находится по условию (1.3.2). Из (3.2.20) легко найти искомые коэффициентыaиbмодели. Модули комплексных переменных в (3.2.20) должны быть равны друг другу:

. (3.2.21)

Из него легко вывести формулу для вычисления показателя степени bпроизводственной функции:

. (3.2.22)

Из равенства полярных углов комплексной переменной результата и комплексной переменной затрат производства в (3.2.20), в свою очередь следует другое равенство, позволяющее сразу же найти величину того же показателя степени:

. (3.2.23)

Коэффициент aлегко находится с помощью (3.2.22) и (3.2.23). Поскольку равны левые части указанных равенств, должны быть равны друг другу и их правые части. Тогда получим:

, (3.2.25)

откуда легко найти коэффициент пропорциональности a:

. (3.2.26)

Коэффициент aявляется простым действительным коэффициентом пропорциональности функции (3.2.6), хотя и находимым с учётом (3.2.26) не самым простым образом. С ростом этого коэффициента растут и прибыль, и издержки производства, а с уменьшением его значений соответственно уменьшаются значения валовой прибыли и издержек производства. Этим его свойства, интересные для изучения, и завершаются. Значительно более интересен для исследования показатель степениbстепенной производственной функции комплексных переменных. Поэтому сконцентрируем своё внимание на изучении его свойств.

Введём следующие обозначения полярных углов комплексных переменных, составляющих равенство (3.2.20):

, . (3.2.27)

С учётом этого показатель степени bможно представить в другой форме:

, (3.2.28)

Как известно, отношение валовой прибыли производства к его издержкам называется рентабельностью продукции, а отношение капитальных затрат к затратам труда– капиталовооружённостью труда. В том случае, когда в качестве показателя используемых в производстве капитальных ресурсов в производственной функции употребляется величина фондов предприятия, то последнее отношение будет характеризовать фондовооружённость труда. Из этого можно определить экономический смысл показателя степениbстепенной производственной функции комплексных переменных.

Угол αявляется полярным углом комплексной переменной используемых производственных ресурсов (K+iL), а уголβ– полярным углом комплексной переменной производственных результатов (G+iC). Тогда можно сказать, что коэффициентbхарактеризует некоторое соотношение между рентабельностью продукции и капиталовооружённостью труда. Причём, как следует из (3.2.28), чем больше капиталовооружённость, тем меньше уголαи тем больше коэффициентb(), а также: чем больше рентабельность, тем меньше уголβи коэффициентb(). Соответственно, чем ниже капиталовооружённость труда, тем меньше коэффициентb, чем меньше рентабельность, тем больше этот показатель степени.

Значит, высокое значение показателя степени bотвечает условиям, при которых производство малорентабельно или имеет высокую капиталовооружённость. Малое значение этого показателя в определённой степени свидетельствует о высокой рентабельности производства или низкой капиталовооружённости труда. Понятно, что это толкование весьма условно, поскольку функция (3.2.28) является нелинейной относительно таких показателей как капиталовооружённость и рентабельность производства.

Исследуем более тщательно соотношение между ростом показателя степени bи характеристиками производственной функции.

Показатель степени b, как уже это было показано выше, положителен. При постоянстве отношенияон достигает своего максимально допустимого значения при отрицательной прибыли в точке(–G)=C. Это максимально допустимое значение показателя степениbлегко найти из (3.2.23):

. (3.2.29)

Если b примет значение, большееb₄, то получится, что, а это невозможно. Поэтому областью допустимых значений данного коэффициента с учётом (3.2.19) будет:

. (3.2.30)

В этой допустимой области прибыль Gвначале растёт с ростом значений показателя степени, достигая некоторого своего максимального значения, а затем снижается и уходит в область отрицательных значений. Значениеb, при котором прибыль находится на границе между положительными её значениями и отрицательными, то естьG(b)=0, легко находится из (3.2.23):

. (3.2.31)

Найдём теперь экстремумы функций (3.2.13) и (3.2.14) по параметру b. Для этого, определив их частные производные по параметруb, и приравняв их нулю, решим полученные уравнения:

1. (3.2.32)

2. (3.2.33)

Разделим левую и правую части (3.2.32) и (3.2.33) на . Это возможно сделать, так как множительне равен нулю. Теперь разделим обе части равенств (3.2.32) и (3.2.33) на. Далее, проведя небольшую группировку, получим следующие уравнения:

1. (3.2.34)

2. (3.2.35)

Проведя ряд простых математических действий над уравнениями (3.2.34) и (3.2.35), получим точки-экстремумы для функции (3.2.13) и (3.2.14). Так функция валовой прибыли G(b)принимает свои экстремальные значения при:

, . (3.2.36)

Функция же издержек производства C(b)принимает экстремальные значения при следующих условиях:

, . (3.2.37)

Любопытно, что при ,G(b)принимает максимальное значение в пределах допустимых её значений, аC(b)выходит за эти рамки. ПриG(b)выходит за рамки допустимых значений,C(b)же принимает максимальное значение на этом промежутке. ПрииG(b), иC(b)выходят за пределы (3.2.30). Таким образом, в точке:

, (3.2.38)

функция G(b)принимает наибольшее значение. ФункцияC(b)же принимает наибольшее значение при другом значении переменнойb, а именно при:

. (3.2.39)

Таким образом, мы получили 4 переломных точки, после которых функция (3.2.6) начинает вести себя иначе: точку максимума прибыли b₁, точку отсутствия прибылиb₂, точку максимума затратb₃и точку прекращения производстваb₄. Однако, часто при моделировании производственных процессов также требуется узнать, при каких условиях доход организации достигает своего максимума. Степенная производственная функция комплексной переменной позволяет провести и такие расчёты.

Для этого, зная, что , используя (3.2.13) и (3.2.14), получим, что надо найти экстремумы функции:

. (3.2.40)

Вынесем за скобки и помножим правую часть равенства (3.2.40) на. Смысл равенства (3.2.40) в таком случае не изменится. Получим следующее равенство:

. (3.2.41)

Как известно, . Внесёмв скобки и представим его как синус и косинус соответствующего угла. Тогда равенство (3.2.41) преобразуется в следующее:

(3.2.42)

В правой части (3.2.42) видим формулу приведения , известную ещё из школьного курса алгебры. Используя эту формулу, придём к следующей, упрощённой формуле нахождения доходаQ:

. (3.2.43)

Найти экстремумы функции (3.2.43) значительно легче, чем функции (3.2.40). Для этого вычислим производную функции (3.2.43) по bи приравняем её нулю. Решив полученное уравнение, найдём искомое значение точкиb:

.

Стоит отметить, что при , значениеQ(b)становится отрицательным, аbпринимает значения, выходящие за рамки (3.2.30). При,Q(b)принимает максимальное значение в этих пределах, а приеё значения опять становятся отрицательными, иbвыходит за рамки (3.2.30).

Таким образом, при вычислении b_Q, при котором доход становится максимальным, надо использовать значение. То есть, искомая точка находится по формуле:

. (3.2.44)

Теперь можно дать интерпретацию поведения модели степенной производственной функции комплексных переменных в зависимости от значений, которые принимает показатель степени bэтой функции. Для этого по модели степенной производственной функции комплексных переменных выполнены расчёты на условных примерах, с помощью которых удалось изучить зависимость изменения её параметров от изменения показателя степени в пределах (3.2.30). Зафиксировав величину комплексного ресурса, изменялись значения показателя степениbпроизводственной функции, и оценивался комплексный производственный результат. Полученные результаты демонстрируют сложный нелинейный характер этой зависимости, по которой можно выделить следующие варианты производства, идентифицируемые по определенным в (3.2.29), (3.2.31), (3.2.38), (3.2.39) и (3.2.44) характерным значениям показателя степениb(по мере возрастания этого показателя):

1. –производство эффективно, поскольку, несмотря на рост издержек производства C, растёт и прибыльG. ДоходQтакже растёт.

2. –точка оптимального производства, в которой прибыльGдостигает наибольшего значения. В нашем примере это точка .

3. –производство эффективно, но прибыль Gснижается, а издержкиCрастут. ДоходQ продолжает увеличиваться.

4. –точка, в которой Kне влияет наC, аLне влияет наG, как видно из формулы (3.2.6),,.

5. –прибыль Gснижается, но доход организации всё ещё продолжает расти.

6. –точка максимума доходаорганизации. В нашем условном примере

7. –производство всё ещё эффективно, прибыль Gуменьшается, а издержки продолжают расти. ДоходQуменьшается.

8. –точка бесприбыльного производства(известная в экономическом анализе как «критическая точка»). Здесь, доходQравен издержкамC. В нашем примере.

9. –неэффективное производство. Прибыль отрицательна, но по модулю меньше издержек (то есть, товар приходится продавать по цене, ниже себестоимости), издержки Cрастут, доходQ уменьшается.

10. –точка максимального убытка. Это точка-экстремум, в которой издержки принимают наибольшее значение, прибыль отрицательная и по модулю меньше издержек. В нашем примере.

11. –производство крайне неэффективно. Издержки, прибыль и доход снижаются

12. –точка отсутствия дохода– точка прекращения производства, так как прибыльGпо модулю равна издержкамC, а доходQравен нулю. В нашем примере.

На графике 1 приложения показано изменение функций Q(b),G(b)иC(b), а также отмечены все точки и зоны.

Таким образом, по значениям показателя степени bможно судить о состоянии производственного процесса, то есть, производственная функция комплексной переменной (3.2.6) может использоваться в аналитических целях.

Наличие точки оптимального функционирования (b₁) позволяет получить уникальную характеристику предлагаемой степенной функции комплексных переменных, а именно – определить уровень эффективности производства. Ранее мы говорили, что существует зона, в которой производство является эффективным, то есть рентабельным. Но можно также определить уровень этой эффективности, как показатель того насколько приближается производство к оптимальному уровню. Показатель, отражающий этот уровень и логично вытекающий из всех предыдущих рассуждений может быть найден по:

. (3.2.45)

Как видно из этой формулы, коэффициент всегда положителен, и будет равен единице в том случае, когда значение показателя степени совпадает с величиной его оптимального значения, то есть, когда b=b₁. В зоне эффективного производства, коэффициентSбудет больше единицы. Чем дальше значениеbот оптимальногоb₁, тем меньшее значение принимает коэффициентS. Он будет близок к нулю в том случае, когда значение показателя степени будет существенно превышать его оптимальное значениеb₁.

Следующий этап модельных исследований был связан с изучением влияния на производственный результат отдельных составляющих комплексной переменной ресурсов производства.

При постоянном значении одного из ресурсов – трудового или капитального, мы меняли значения второго ресурса. Расчёты выполнялись многократно с различными значениями показателя степени bпроизводственной функции комплексных переменных.

Так при увеличении затрат капитальных ресурсов K, растёт и валовая прибыльG, что вполне соответствует экономической сути производственных процессов. Соответствует также экономической сути производства и рост издержек производстваCс ростом затрат капитальных ресурсов. Такая тенденция наблюдается на всём допустимом промежутке изменения показателя степениb, определяемом условием (3.2.30). При этом следует отметить удивительное совпадение этих выводов с реальными экономическими процессами: в нашей модели с ростом капитальных ресурсов возрастают издержки производства и значительно быстрее возрастает валовая прибыль. В реальных производственных процессах наблюдаются аналогичные зависимости – чем больше инвестиций в производство, тем более совершенной становится технология производства, и тем самым, выше производительность труда и оборудования, а, следовательно, выше валовая прибыль и рентабельность. Себестоимость уменьшается, но издержки в целом (с ростом объёмов производства) несколько возрастают. Таким образом, предложенная функция и в этой части зависимости обеспечивает совпадение с реальными производственными процессами.

Другая исходная переменная, оказывающая влияние на производственный результат – это показатель затрат трудовых ресурсов L. Модельные эксперименты, проведённые при фиксированных значениях коэффициентов производственной функции и капитальных затрат и возрастающих затрат трудовых ресурсов показали следующее.

Если показатель степени лежит в пределах , валовая прибыльGрастёт быстрее издержекC. Этот промежуток значений показателя степени производственной функции характеризует такой тип производства, при котором наблюдается рост производительности труда. Привлечение дополнительных трудовых ресурсов ведёт к росту рентабельности.

В том случае, когда показатель степени b лежит в следующем промежутке допустимых значений, а именно, издержки производстваCрастут быстрее валовой прибылиG. То есть, в данном случае производство остаётся прибыльным, но привлечение дополнительных трудовых ресурсов снижает эффективность производства, так как снижается не только рентабельность, но и производительность труда.

Для производственных процессов, состояние которых характеризуется моделью производственной функции, при которой показатель степени превышает единицу , с ростом трудовых затрат валовая прибыльGснижается, а издержки производстваCрастут.

Последний промежуток возможных значений показателя степени производственной функции , характеризуется следующим. Любое увеличение трудовых ресурсовLведёт к резкому снижению валовой прибыли и резкому росту издержек производства. Эти две тенденции достаточно быстро приводят к ситуации «прекращения производства», то есть, когда.

Таким образом, в предложенной модели наблюдается закономерность: при увеличении затрат Kвсегда растёт валовая прибыль производстваG, а при увеличенииLвсегда растут издержки производстваC. Это в точности соответствует реальным производственным ситуациям. При этом следует отметить, что если для линейных производственных функций комплексных переменных нет особой разницы в том, к какой части относить ту или иную экономическую переменную – к действительной или мнимой, то в степенной производственной функции комплексных переменных месторасположение всех исходных переменных – как ресурсов, так и производственных результатов менять нельзя. Если это допустить, модель потеряет всякий смысл. Следовательно, в степенной производственной функции комплексных переменных производственный результат должен состоять из валовой прибыли (действительная часть комплексной переменной) и издержек производства (мнимая часть комплексной переменной), а производственные ресурсы должны состоять из капитальных ресурсов (действительная часть комплексной переменной) и трудовых ресурсов (мнимая часть комплексной переменной).

Теоретические построения и выводы необходимо апробировать на примерах реальных хозяйствующих субъектов, иначе вопрос практической ценности полученных результатов останется открытым.

По данным Диатомового комбината в г. Инзе, с которыми мы работали в предыдущей главе, с учётом предоставленных нам значений прибыли этого производства (таблица 8 приложения), была построена следующая модель степенной производственной функции комплексной переменной:

. (3.2.46)

Здесь все исходные переменные были приведены к безразмерным величинам следующим образом. Валовую прибыль (руб/мес) по каждому наблюдению мы делили на значение издержек для первого наблюдении , которая измеряется также, как и валовая прибыль – (руб/мес):

.

Издержки производства (руб/мес) мы также разделили на значение издержек для первого наблюдения:

.

Таким образом, приведя все переменные к безразмерным величинам, мы сохранили отношение между ними. Такое приведение потребовалось для учёта в модели размера прибыли организации. Далее по каждому из показателей находились средние значения для всех наблюдений, а затем вычислялись значение параметра aпо формуле (3.2.26), и значение параметраbпо формуле (3.2.23) (можно использовать и формулу (3.2.22)).

Для того чтобы с помощью полученной функции охарактеризовать производственный процесс, дать его интерпретацию, были определены переломные точки данного производства, а именно – b₁,b₂,b₃,b₄иb_Q. Они оказались такими:

b₁= 0,685; b₂= 1,718; b₃= 2,403; b₄= 2,577, b_Q=1,544.

Область, когда производство является оптимальным, соответствует значениям коэффициента b, лежащего в пределах от нуля доb₁. Коэффициентыbмодели (3.2.6), найденные по результатам производственной деятельности Диатомового комбината в результате интерпретации их значений, показывают что производство комбината эффективно, но не оптимально, поскольку показатель степени производственной функции комплексных переменных лежит в интервале:

b_Q=1,544 < b=1,693 < b₂=1,718.

Кроме того, используя формулу (3.2.45), можно рассчитать значение показателя эффективности производства:

Полученное значение Sговорит о том, что производство предприятия далеко от оптимального. При данных затратах капитала и труда и сложившейся производственной технологии предприятие могло бы получать большую прибыль и нести меньшие затраты.

Модель (3.2.46) может быть использована руководством комбината для многовариантных расчётов: например, для расчёта объёма прибыли и издержек при различных количествах затрат на основные производственные фонды и персонал. Можно найти и такое сочетание исходных переменных, чтобы добиться равенства b=b₁и т.п. Это означает, что степенная производственная функция комплексных переменных в том случае, если она хорошо описывает производственный процесс, может использоваться в целях оптимизации производства, поскольку критерий оптимизации любого рыночного производства – максимум валовой прибыли, соответствует в степенной производственной функции комплексных переменных критерию равенства фактического значения показателя степениbего оптимальному значениюb₁. Обоснование этой возможности и разработка процедуры такой оптимизации в данной работе не рассматриваются.

Кроме того, используя более новые данные о работе этого предприятия (таблицы 9 и 10 приложения) можно рассчитать значения коэффициента b(по формуле (3.2.22) или (3.2.23)) для каждого наблюдения, а также рассчитать значения коэффициента эффективности (3.2.45). Мы получили значения, представленные в таблице 11 приложения.

Расчёт коэффициентов показал, что эффективность работы предприятия с каждым кварталом увеличивается, но само предприятие при данной технологии производства могло бы работать эффективней.

Таким образом, модель степенной производственной функции комплексных переменных показывает практическую применимость её на микроуровне.

Получим подтверждение этого на другом примере – макроуровня. Воспользуемся для этого примером из экономики России.

Для построения модели (3.2.6) были использованы статистические данные по промышленности России за 1998-2004 годы, приведённые в таблице 12 приложения.

Непосредственно подставлять их в модель (3.2.6) нельзя. Во-первых, все они представлены в разных единицах измерения, следовательно, надо их привести к общей размерности или к безразмерным величинам; во-вторых, есть данные по объёму промышленной продукции и рентабельности, а нужны данные по валовой прибыли и издержкам производства. Тем не менее, по данным таблицы 12 легко восстановить эти необходимые значения, которые в таблице 13 приложения вновь представлены как безразмерные величины, приведенные к относительным величинам (к 1998 году). По ним выполнены расчёты коэффициентов модели степенной производственной функции комплексных переменных.

Модель имеет следующий вид:

. (3.2.47)

Для расчёта параметров модели воспользовались тем же алгоритмом, что и при расчёте коэффициентов производственной функции для Диатомового комбината. Для того чтобы дать интерпретацию полученным значениям, вычислены ключевые точки функции на имеющихся данных:

b₁= 10,66; b₂= 11,19; b₃= 21,84; b₄= 16,78; b_Q=16,25.

Показатель степени b, который найден для производственной функции, лежит в промежутке от нуля доb₁:

0< b=10,06 < b₁=10,66.

Это свидетельствует о том, что функционирование промышленности России можно назвать эффективным ().

Этот пример вновь подтвердил приемлемость предложенной функции для целей моделирования производства на макроуровне.

Рассчитаем уровень эффективности производственного процесса России так же, как мы это делали для Диатомового комбината. Он будет равен:

,

что свидетельствует об очень высоком уровне эффективности производства.

Функция (3.2.6) обладает кроме всего прочего одним преимуществом по сравнению с производственными функциями действительных переменных – она позволяет вывести обратную функцию. Вообще, построение обратной функции – это вывод такой зависимости , при которой выполняется равенство. Функцию видабудем называтьобратной производственной функцией. Выведем её для функции (3.2.6). Для этого представим левую часть равенства (3.2.6) в экспоненциальной форме:

Далее, проведя элементарные преобразования, получим:

(3.2.48)

Если теперь правую часть равенства (3.2.48) представить в тригонометрической форме, то мы получим:

, (3.2.49)

а это равенство выполняется лишь при равенстве соответствующих действительных и мнимых частей комплексных чисел:

, (3.2.50)

. (3.2.51)

Формулы (3.2.50) и (3.2.51) позволяют узнать, какими должны быть затраты труда и основных производственных фондов для достижения требуемых прибыли и издержек производства (при сохранении технологии производства). То есть, используя эти формулы, можно проводить многовариантные расчёты с целью планирования.

Однако, помня, что по условию и, не стоит забывать об ограничениях для (3.2.50) и (3.2.51), которые могут быть выражены:

и

Это ограничение выполняется только тогда, когда . Другими словами, формулы (3.2.50) и (3.2.51) применимы только для такихGиC, что выполняется условие:.