2. 1.2. Основы теории производственных функций

Существует много определений производственных функций (ПФ) [53, 5; 89, 104; 104, 178], но все они сводятся к одному – это математическое описание зависимости между какими-либо результатами и факторами производства.

Исследователи по разным критериям выделяют несколько типов производственных функций:

• По наличию условия оптимальности:

  • Мажоритарные (те, которые описывают оптимальный производственный процесс при данных затратах факторов производства). Иногда ещё эти ПФ называют «детерминистскими» или «идеальными» [17, 16];

  • Дескриптивные (те, которые описывают существующий производственный процесс). В некоторых источниках они называются «эконометрическими» или «реальными» [17, 16];

• По учёту неопределённости:

  • Стохастические (учитывают условие неопределённости);

  • Детерминированные (не учитывают условие неопределённости);

[82, 65].

Дескриптивные производственные функции строятся путём обработки статистических данных о соотношении затрат производства и выпуска товара. В таких функциях существует предположение о том, что сложившиеся процессы производства оптимальны и модель в таком случае строится, в основном, для прогнозирования. Мажоритарные производственные функции являются своеобразными оптимизационными задачами без заданных в явном виде условий оптимизации. Вид и параметры таких функций определяются путём обобщения решений оптимизационных задач при меняющихся параметрах. Например, производственная функция отрасли получается в результате решения серии задач оптимального развития отрасли при меняющихся объёмах ресурсов. Такие функции чаще строятся для анализа производственных процессов.

«Процесс построения производственной функции включает этапы экономико-математического моделирования, в том числе выделения существенных факторов, включаемых в модель, выбор вида функции (математической модели), нахождение числовых значений параметров при помощи корреляционного и регрессионного анализа» [23, 169].

Мажоритарные производственные функции выводятся следующим образом.

Пусть обозначает вектор затрат ресурсов,,;- вектор объёмов производства,,. Совокупность технологических условий может быть формально записана как множествоZпар(X, Y), в неотрицательном ортанте пространстваR^n+m. Экономичный метод производства будет характеризоваться парой множеств(X^*,Y^*), такой, что, еслиX<X^*, аY>Y^*, то(X, Y) = (X^*,Y^*). То есть, не существует такой технологии, которая позволяла бы производить большее количество товара с меньшим или таким же количеством затрат ресурсов. Множество всех эффективных технологий производства обозначимZ^*.

Кроме того, существует два вида ресурсов: воспроизводимые предприятием, M₁, и не воспроизводимые,M₂. Соответственно,X₁– объёмы воспроизводимых ресурсов,X₂– объёмы не воспроизводимых ресурсов.

В итоге общая модель производственного планирования формулируется как задача векторной оптимизации:

. (1.2.1)

Множество Z^*можно описать с помощью многозначного отображенияF(X)– общей производственной функции, характеризующей максимально возможные объёмы производства продуктов при определённых затратах ресурсов.

По данным о входных переменных Xмажоритарная производственная функция позволяет определять эффективный выходY. В отличие от структурных оптимизационных моделей, в которых условия оптимизации задаются в явном виде, общая производственная функция представляет собой своеобразный «оптимизирующий чёрный ящик».

В прикладных исследованиях основное внимание уделяется частным видам общей производственной функции, так как построение и анализ общей производственной функции представляет собой исключительно трудную задачу.

Производственная функция

, , (1.2.2)

характеризует максимально возможный объём выпуска продукта jв зависимости от затрат всехmресурсов. Каждой точкесоответствует единственный максимальный выпуск. Если бы не существовало сложных, комплексных процессов производства, позволяющих выпускать сразу несколько видов продукции, то множество производственных возможностей можно было бы представить в виде:

(1.2.3)

Наличие технологических процессов, выпускающих комплексно несколько видов товаров, не позволяет использовать (1.2.3), но при этом не препятствует использованию (1.2.2) для технологических процессов, с производством одного вида товара.

В качестве критерия классификации производственных функций, кроме уже указанных, надо упомянуть ещё и о критериях «по типу ресурсов»:

1. Производственные функции со взаимозаменяемыми ресурсами;

2. Производственные функции со взаимодополняемыми ресурсами;

Предположение о взаимозаменяемости ресурсов в производственной функции означает, что один и тот же объём выпуска продукции может быть достигнут при разных комбинациях использования ресурсов, отличающихся величиной затрат одних ресурсов от других.

Далее мы будем опускать индекс j, когда речь идёт о функциях производства одного продукта.

Существует два свойства производственных функций с взаимозаменяемыми ресурсами [23, 170]:

1. Если X=0, то иy=0;

2. Если , то, причём, если, то; из этого, в частности, следует, чтопри. В том случае, когда увеличение производственных затрат какого-либо ресурсаsсверх величиныприводит к уменьшению объёма производства, надо непосредственно использовать, а излишекоставить в резерв. Еслиy=0при положительных затратах многих ресурсов, но приx_s=0, то это означает, что ресурсsабсолютно необходим для производства хотя бы в малых количествах (например, труд, электроэнергия и т.п.).

Множество точек, удовлетворяющих условию постоянства объёма выпуска , называется изоквантой.

На рисунке 1.2 изображены изокванты – кривые в пространстве двух ресурсов. Эти изокванты соответствуют объёмам выпуска Q₁,Q₂,Q₃. В общем случае изокванты – это поверхности вm-мерном пространстве ресурсов. Поскольку, то все изокванты находятся в неотрицательной четверти системы координат.

Из общих свойств производственных функций вытекает ряд свойств изоквант:

1. Изокванты никогда не пересекаются друг с другом;

2. Большему выпуску продукции соответствует более удалённая от начала координат Изокванта.

3. Если все ресурсы абсолютно необходимы для производства, то изокванты не пересекают оси координат.

Эффективность использования ресурсов характеризуется двумя показателями:

1. Средняя эффективность ресурса – функция .

2. Предельная эффективность ресурса – частная производная производственной функции .

показывает на сколько увеличится выпуск продукции, при изменении затрат ресурса iна единицу.

Из свойства предельной эффективности ресурса производственных функций следует, что . Как правило,.

Если , то это означает, что эффективность использования ресурса падает. Данное условие называют «законом убывающей предельной эффективности ресурсов». Стоит, однако, учитывать, что уменьшение предельной эффективности ресурса перестаёт быть законом, как только начинает учитываться научно-технический прогресс. Тогда средняя и предельная эффективность определённого (i-го) ресурса при увеличении других ресурсов изменяется иначе и, как правило, выполняются отношения:

, , (1.2.4)

, , (1.2.5)

Это объясняется тем, что увеличение затрат ресурса kулучшает условия применения ресурсаi. Например, производительность труда зависит не только от качества самого труда, но и от фондовооружённости.

Изменение выпуска продукции при небольших изменениях затрат ресурсов может быть приближённо выражено дифференциалом . В таком случае условие эквивалентной взаимозаменяемости ресурсов в точкевыводится из формулы:

(1.2.6)

В частности, предельная норма эквивалентной взаимозаменяемости каких-либо двух ресурсов kиlопределяется формулой:

(1.2.7)

Процессу эквивалентного замещения одних ресурсов другими соответствует движение вдоль кривой изокванты. Таким образом, изокванты – убывающие функции по отношению к каждой оси координат. Предельные нормы эквивалентной взаимозаменяемости – это тангенс угла между касательной к изокванте и соответствующей осью координат. На рисунке 1.2 ,и– предельные нормы эквивалентной взаимозаменяемости второго ресурса по отношению к первому.

Комбинации ресурсов, для которых предельные нормы эквивалентной замены равны, образуют в пространстве ресурсов кривые, называемые изоклиналями. На рисунке 1.2 изображены изоклинали IиII.

При увеличении использования ресурса lего предельная эффективность падает, и поэтому дополнительные затраты этого ресурса высвобождают всё меньшее количество ресурсаk. Таким образом, предельная норма эквивалентной взаимозаменяемости уменьшается:

(1.2.8)

Это означает, что в пространстве двух ресурсов изокванты представлены вогнутыми кривыми. Если эта особенность проявляется на множестве всех mресурсов, то изокванты обладают двумя дополнительными свойствами:

1. Множества – выпуклые.

2. Изокванты имеют асимптоты, совпадающие с осями координат.

Для характеристики влияния каждого ресурса на объём выпуска используют помимо показателей эффективности использования ресурсов, и показатель эластичности выпуска от затрат различных ресурсов:

(1.2.9)

_iпоказывает на сколько изменится объём выпуска при изменении затратi-го ресурса на единицу. Коэффициент эластичности, рассчитанный по формуле (1.2.9) называется точечным. В общем же случае коэффициент эластичности – это непрерывная функция отX⁰.

Однако в экономических расчётах чаще используются средние коэффициенты эластичности, определяемые не для каждой точки X⁰, а для некоторых интервалов изменения компонент вектораX⁰. Такие коэффициенты называются дуговыми коэффициентами эластичности и рассчитываются по формуле:

(1.2.10)

Наряду с понятием эластичности выпуска продукции от затрат ресурсов применяется понятие эластичности взаимозаменяемости ресурсов. Коэффициент эластичности взаимозаменяемости ресурсов _klхарактеризует отношение относительного изменения соотношения затрат ресурсовkиlк относительному изменению предельной нормы эквивалентной взаимозаменяемости ресурсов:

(1.2.11)

Например, говорит о том, что для увеличения нормы предельной взаимозаменяемости ресурсов_klна 1% необходимо увеличить соотношение затрат ресурсовkиlна 5%.

Чем выше эластичность взаимозаменяемости ресурсов, тем в более широких пределах они могут заменять друг друга. При бесконечной эластичности ресурсы абсолютно взаимозаменяемы. При эластичности равной нулю, возможность замены отсутствует. В этом случае ресурсы дополняют друг друга и обязательно должны использоваться в определённом комплекте.

На рисунке 1.3 изображены изокванты с различными коэффициентами эластичности взаимозаменяемости ресурсов в интервале . «Прямоугольная ломаннаяABC– изокванта с эластичностьюозначает, что сокращением одного ресурса нельзя увеличить использование второго, то есть ресурсы абсолютно не взаимозаменяемые (σ₁<σ₂<σ₃). ПрямаяАСпредставляет собой изокванту с бесконечной эластичностью. Она выражается формулой, гдеa₁иa₂– положительные числа» [9, 269].

Предельная норма замены ресурсов на этой изокванте постоянна и равна:

(1.2.12)

В экономическом моделировании используются аддитивные и мультипликативные производственные функции.

Аддитивные производственные функции имеют вид:

(1.2.13)

Линейные производственные функции являются аддитивными. Стоит отметить, что все члены в правой части равенства (1.2.13) должны иметь одинаковую размерность, совпадающую с размерностью функции y, иначе их нельзя складывать. Постояннаяa₀ при этом соответствует той части выпуска, которая может быть приписана действию условно-постоянных затрат, т.е. затрат, не зависящих от интенсивности выпуска. Это относится ко всем аддитивным производственным функциям [23, 113].

Процессу, для которого выбрана функция (1.2.13) должна быть присуща постоянная отдача на единицу масштаба и постоянная предельная эффективность факторов производства.

При i=2изоквантами функции являются прямые. Следовательно, предельные нормы замещения ресурсов постоянны, т.е. предполагается, что определённый уровень выпуска может быть достигнут также при соответствующих затратах только одного какого-либо фактора. Этим свойством любая аддитивная функция отличается от мультипликативной.

Основной недостаток аддитивной функции заключается в том, что производственный результат будет положительным даже в том случае, когда один из ресурсов не используется вовсе, то есть, когда . Это означает следующее: например, не привлекая к производству ни одного человека, будет получаться какой-то производственный результат. Очевидно, что это противоречит здравому смыслу.

Именно поэтому чаще всего в экономических исследованиях используют мультипликативные производственные функции, в частности однородные производственные функции, так как они удобны для содержательной интерпретации и вычислений. Функция называется однороднойn-й степени, если выполняется следующее соотношение [23, 182]:

(1.2.14)

Это означает, что с ростом затрат производства в λраз результат производства вырастет вλⁿ раз. Показатель степени однородностиnхарактеризует изменение эффективности производства с ростом производственных затрат.

Теоретически возможны три случая:

1. Эффективность остаётся постоянной (n=1);

2. Эффективность падает (n<1);

3. Эффективность растёт (n>1).

Как это ни парадоксально, снижение эффективности производства при увеличении его объёма есть следствие рационального ведения хозяйства. Это объясняется тем, что по мере увеличения производства приходится использовать всё менее эффективные ресурсы и технологические процессы [23, 102].

Если однородные функции f₁иf₂удовлетворяют соотношению, то они имеют одно и то же семейство изоквант, но для функций с большим показателем степениnизокванты сдвинуты ближе к началу координат.

Для однородных функций справедливо уравнение Эйлера:

(1.2.15)

Разделив обе части уравнения (1.2.15) на y, получим:

(1.2.16)

В соответствии с (1.2.9), выражение – это коэффициент эластичностиδ_i. Поэтомуnравно сумме коэффициентов эластичности выпуска по затратам ресурсов.

При n=1формула (1.2.16) приобретает следующий экономический смысл:

. Так как - предельная эффективность единицы ресурсаi, томожно интерпретировать как объём продукции, произведённой за счёт ресурсаi. Весь объём производстваyтаким образом как бы складывается из частей, произведённых за счёт использования каждого ресурса по отдельности.

Однако изложенная экономическая интерпретация выражения имеет сугубо условный характер, так как нельзя забывать, что на самом деле продукция не может создаваться только путём сочетания ресурсов. Если какой-либо ресурс sабсолютно необходим для производства, то никакие затраты других ресурсов не могут привести к созданию продукции. Конструктивное значение показателей предельной эффективности заключается не в том, что он определяют роль каждого ресурса, а позволяют оценить степень влияния каждого из них на изменение объёмов выпуска.

Широкое применение в теоретических и прикладных исследованиях получили степенные производственные функции вида:

(1.2.17)

Такие функции обладают рядом достоинств: они включают небольшое число параметров, имеющих явный экономический смысл, имеют производные высших порядков, в большинстве случаев удовлетворительно выравнивают эмпирические данные и удобны при оценке параметров. Кроме того, эти функции включают безусловно необходимые ресурсы. Если какой либо из них x_s=0, то и объём выпускаy=0.

Параметр αинтерпретируется как показатель общей эффективности ресурсов.

Применительно к рассматриваемой производственной функции имеем:

- средняя эффективность ресурса s.

- предельная эффективность ресурса s.

- предельная норма эквивалентной замены ресурсов.

- коэффициент эластичности производства по ресурсу i.

- коэффициент эластичности замены ресурсов.

Частным случаем функции (1.2.17) является однородная функция первой степени, в которой и. Коэффициенты эластичности такой функции определяют условное разложение объёма производства на части, создаваемые за счёт использования каждого ресурса в отдельности.

В экономических исследованиях такая функция была впервые применена К. Коббом и П. Дугласом.

В 1924 г. Поль Дуглас, изучая данные по объему промышленного выпуска США за разные годы и количества используемых труда и капитала в это время, случайно обнаружил зависимость, которая впоследствии с помощью его друга-математика Кобба была выражена функцией, имеющей вид:

, (1.2.18)

где Q– объём выпуска продукции,L– затраты труда,K– затраты производственных фондов или «капитала». При этом обязательным условием существования функции является:

0<α<1. (1.2.19)

Функция достаточно точно отражала зависимость суммарного выпуска промышленности от общего объема использования труда и капитала [29; 57, 85]. Эта производственная функция имела постоянную отдачу от масштаба, а доли факторов производства в продукте зависели от коэффициента α.

Для функции Кобба-Дугласа уравнение изокванты имеет следующий вид:

.

Соответственно, предельная норма замещения будет:

,

а коэффициенты эластичности: E_L = α;E_K = 1 – α.

На рисунке 1.4 показана кривая замещения (изокванта) при фиксированном значении объёма Q. Подобный вид изокванты логичен и легко объясним с экономической точки зрения – при неизменном объёме выпуска продукции увеличение объёма основных производственных фондовcK₁доK₂ приводит к сокращению трудовых ресурсов отL₁доL₂, причём

При увеличении объёма производственных фондов, возможности замены живого труда овеществлённым уменьшаются.

На рисунке 1.4 показаны изоклинали для производственной функции Кобба-Дугласа. Они показывают, какими будут объёмы производства при сохранении пропорций в производстве, то есть, когда .

Во многих исследованиях помимо упомянутых производственных функций линейной и степенной форм, в экономических исследованиях используется производственная функция с постоянной эластичностью замены (ПЭЗ). Её общий вид:

(1.2.20)

Функция (1.2.20) является однородно производственной функцией степени nи получается путём решения дифференциального уравнения (1.2.11) приσ=const. В функции ПЭЗ все эластичности замены ресурсов равны между собой, то есть:. При этомили.

Если , то, если же, то. Прифункция ПЭЗ преобразуется в степенную функцию (1.2.17) [52, 169].

Как уже отмечалось ранее, σопределяет форму изоквант. Если, тои форма изоквант приближается к линейной. Если же, тои форма изоквант приближается к прямоугольной.

В экономико-математическом моделировании в наше время часто используются мультипликативные степенные производственные функции (чаще – функцию Кобба-Дугласа) [81; 37; 38; 32; 83; 95] либо функция ПЭЗ, и практически не появляются какие-либо новые виды производственных функций. Всё, что происходит в этом направлении на данный момент (начиная с 70-х годов) – это внесение модификаций в уже существующие модели. Так, например, в своё время появилась производственная функция с учётом научно-технического прогресса (НТП), которая в самом простом виде может быть записана следующим образом:

, (1.2.21)

где j– параметр НТП, аt– время.

Существует несколько видов функций, учитывающих НТП, но все они почему-то строятся, на основе производственной функции Кобба-Дугласа. Вот что говорят по поводу появления учёта НТП: «Началом исследований в этом направлении послужило замеченное систематическое отклонение фактических показателей развития экономики США от их значений, вычисленных по функции Кобба-Дугласа. В частности, анализ с её помощью темпов роста валового национального продукта показывал наличие систематического расхождения между его значением, соответствующим левой части формулы производственной функции и величиной её правой части.

Пока указанный «остаток» был сравнительно мал, его приписывали действию различных несущественных факторов. В последующем экономист Р.Солоу предположил, что этот «остаток» отражает влияние автономного научно-технического прогресса и ввёл для его оценки в формулу Кобба-Дугласа время в качестве самостоятельного фактора» [23, 120]. Для того, чтобы понять почему требуется учитывать НТП, стоит обратиться к методу оценивания параметров данной производственной функции.

А производится это оценивание чаще всего методом наименьших квадратов после линеаризации первоначальной функции (именно такой метод использовали Кобб и Дуглас во время выведения своей производственной функции [16, 217]). То есть оценивается не само уравнение (1.2.18), а следующее:

(1.2.22)

Основным методом, с помощью которого оцениваются параметры этой модели, является метод наименьших квадратов. Очевидно, что оценки модели (1.2.22) будут несмещёнными, состоятельными и эффективными [77, 576].

Если с помощью оценок модели (1.2.22), полученных МНК, описывать реальный процесс, то равенство будет выполняться при условии:

, (1.2.23)

где ε– случайная составляющая, имеющая нулевое математическое ожидание и минимальную дисперсию (так как модель оценена с помощью МНК).

Проэкспонировав левую и правую части равенства (1.2.23), получим:

(1.2.24)

Сравнивая (1.2.21) и (1.2.24), получим, что .

То есть ошибка аппроксимации ε, которую Р.Солоу приписал НТП, и является причиной смещения [63, 79].

Итак, в настоящее время производственные функции используются в основном как инструмент для расчётов конкретных показателей, хотя их аппарат значительно богаче и недооценён экономистами, и при этом в моделировании в подавляющем большинстве случаев используются лишь производственная функция Кобба-Дугласа и функция ПЭЗ, а также их различные модификации, которые ещё далеки от совершенства. Поэтому задача развития инструментария производственных функций является важной и актуальной.